具有飽和感染率的脈沖控制SIR模型的全局動(dòng)力學(xué)分析

中圖分類號(hào)：0175.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1000-2367（2025）05-0097-08

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，全球范圍內(nèi)多次暴發(fā)傳染病，一系列突發(fā)公共衛(wèi)生事件引起了國(guó)際社會(huì)的關(guān)注，并對(duì)人口健康、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)和生態(tài)環(huán)境的變化，新發(fā)和再發(fā)傳染病不斷涌現(xiàn)，持續(xù)威脅全球公共衛(wèi)生.例如，COVID-19疫情、埃博拉病毒、西尼羅河病毒、寨卡病毒等傳染病對(duì)人類健康構(gòu)成了嚴(yán)重挑戰(zhàn)[1-2].因此，建立合適的傳染病數(shù)學(xué)模型，研究其動(dòng)態(tài)特性和傳播規(guī)律，并據(jù)此制定有效的防控策略，已成為至關(guān)重要的任務(wù)[3].

疫苗接種是預(yù)防和控制各種傳染病的重要方法，已經(jīng)取得了顯著成效，例如成功消滅了天花[4和大幅減少了麻疹的發(fā)病率[5.傳統(tǒng)的疫苗接種通常以連續(xù)的方式進(jìn)行，許多研究認(rèn)為這是控制疾病傳播的有效策略[6].然而，常規(guī)連續(xù)接種在應(yīng)對(duì)疾病迅速傳播的情況下可能不足以迅速遏制疫情.為此，脈沖疫苗接種策略逐漸引起人們的關(guān)注.這種策略通過定期或不定期的脈沖接種，能夠在短時(shí)間內(nèi)迅速提高免疫覆蓋率，特別適用于應(yīng)對(duì)高傳染性、快速傳播的疾病.

脈沖疫苗接種的理論研究最早由 AGUR 等[7提出.此后，眾多研究者研究了一系列脈沖疫苗接種模型[8].先前的研究很多都將疫苗接種假設(shè)在固定的離散時(shí)間進(jìn)行[9]，這符合實(shí)際中非連續(xù)定期實(shí)施干預(yù)措施的做法.然而，這種固定時(shí)刻的脈沖方式?jīng)]有考慮到傳染病的流行對(duì)干預(yù)措施的影響，可能導(dǎo)致醫(yī)療資源的浪費(fèi).因此，基于感染者或易感者數(shù)量來(lái)決定干預(yù)措施的實(shí)施時(shí)間可能更符合實(shí)際.

在傳染病模型中，感染率是一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，常見的形式包括雙線性感染率 βSI^[10] 、標(biāo)準(zhǔn)感染率[1] （其中 N 為總?cè)丝跀?shù)）和飽和感染率[12] 等.當(dāng)易感者人數(shù)較多時(shí)，與感染者接觸的易感者不會(huì)無(wú)限增大，感染率不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)，而是趨于一個(gè)定值，也就是說，易感者與患病者之間的有效接觸會(huì)趨于飽和狀態(tài)，此時(shí)采用飽和感染率_BSI 率1+αS 這種形式，更能準(zhǔn)確地揭示真實(shí)情形.

提出一類更能反映上述背景的具有飽和感染率 的狀態(tài)依賴反饋控制SIR模型，即考慮當(dāng)易感者規(guī)模達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，采取綜合控制策略，如對(duì)易感者進(jìn)行脈沖接種，對(duì)感染者進(jìn)行脈沖治療，更有效地控制疾病傳播，最大限度地減少感染人數(shù).該模型中，控制措施的具體實(shí)施時(shí)間和強(qiáng)度取決于易感人群的閾值水平 S_t .文中定義了基本再生數(shù) R₀ 和控制再生數(shù) R_c ，并分析了 R₀ 對(duì) R_c 的影響.同時(shí)證明了無(wú)病周期解的全局穩(wěn)定性，并利用離散單參數(shù)族映射的分岔理論探討了系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象.最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論，

1模型構(gòu)建

考慮具有飽和感染率的SIR傳染病模型：

其中 為出生率， δ 為死亡率，γ為恢復(fù)率， β 為傳播率， α 為半飽和常數(shù)，記 和R（t） 分別為 Ψ_t 時(shí)刻的易感者、感染者和康復(fù)者， N（t）=S（t）+I（t）+R（t） 為總?cè)丝冢蓪⑵淇醋饕粋€(gè)常數(shù).考慮康復(fù)者 R（t） 不會(huì)二次感染，那么模型（1）變?yōu)?/p>

定義基本再生數(shù) ，有如下引理.

引理1模型（2）總有無(wú)病平衡點(diǎn) E₀=（K，0） ，當(dāng) R₀≤1 時(shí)， E_?0 為一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

引理2模型（2）在 R₀gt;1 時(shí)，有唯一的地方病平衡點(diǎn) E^?（S^?，I^?） ，其中

引理3當(dāng) R∈（1，R₁]∪[R，+∞） 時(shí)， E^?（S^?，I^? ）是一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng) R₀∈（R₁，R₂） 時(shí)，E^?（S^?，I^?） 是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn).其中，

2 Poincaré映射及其性質(zhì)

當(dāng)易感者規(guī)模達(dá)到閾值 S_t 時(shí)實(shí)施綜合控制策略，系統(tǒng)（2）引入如下脈沖控制措施

其中 η₁∈[0，1] 為最大疫苗接種率， η₂∈[0，1] 為最大治療率.

對(duì)于系統(tǒng)（2）定義等傾線為： .令l：S=S，，l4：S=Sa， （20其中 S_q=（1-η₁）S_t ：

定義以下兩個(gè)集合 V_st={（S，I）∣S=S_t，I≥0}，V_sq={（S，I）∣S=S_q，I≥0}. 2

易知初始點(diǎn) 在時(shí)刻 t 到達(dá)點(diǎn) 處，且 可以用 I_k⁺ 來(lái)定義 I_k+1 ，即 I_k+1=P（I_k⁺） .如果在點(diǎn) P_k+1 處發(fā)生脈沖，則有 P_k+1⁺=（S_q，I_k+1⁺） ，其中 I_k+1⁺=（1- η₂）I_k+1 .因此，Poincaré映射 P_M 可以定義為： P_M（I_k⁺）=P（I_k⁺）+B（I_k+1）=I_k+1⁺ ，其中 B（I_k+1）=-η₂I_k+1 定義模型（3）的脈沖集為 M={（S，I）∣S=S_t，0≤I≤I_m} ，若 R≤1 ，則 I_m=P（I_sq） .定義連續(xù)函數(shù)為 .令 h（I）=（1-η₂）I ，定義相集 N=H（M）={（S⁺， I⁺）∣S⁺=S_q，0≤I⁺≤h（I_m）}

針對(duì)模型（3），重點(diǎn)關(guān)注以下區(qū)域： 定義 I₀⁺=Y 其中 Y∈N 并且 Ysq ，即 ，則 Y））dx ，其中 S_q≤S≤S_t .故 中的Poincaré映射 P_M 具有形式 P_M（I_k⁺）=I_k+1⁺=I（S_t，I_k⁺）+B（I（S_t，I_k⁺）） ，P_M（Y）=I（S_t，Y）+B（I（S_t，Y））=h（I（S_t，Y））.

定理1系統(tǒng)（3）在 R₀≤1 時(shí)，其Poincaré映射 P_M 的遞增和遞減區(qū)間分別為 [0，I_sq] 和 [I_sq，+∞] ，并且 P_M 在區(qū)間 [0，I_sq] 上是凹的.

證明 由式（4）可得 以及 2βS（Λ-δS）（1+αS）（βS-q（1+αS）） .如果R。≤1并且S，≤S， 0和 由柯西-利普希茨參數(shù)定理知： 此外，由 P_M（Y）=（1-η₂）I（S_t，Y）= h（I（S_t，Y）） 有 I（x，Y））dx） ，且 dx.顯然（204號(hào) h^′（I（S_t，Y））gt;0. 韓若 Y∈（0，I（S_q）] 則 聖且 ，即 P_M（Y） 連續(xù)可微在 （0，I_sq] 上凹.另外，也可得 P_M（Y） 在區(qū)間 （0，I_sq] 和 （I_sq，+∞） 上單增和單減.

令 I（t）=0 得系統(tǒng)（3）的無(wú)病子系統(tǒng)

記初始值 S₀=S（0⁺）=S_q ，可得周期解 S^T（t）=K+（S_q-K）exp（-δt） .當(dāng) S（t） 在 T 時(shí)刻與直線 l₃ 相交時(shí)，有S，=K+（S-K）exp（-δT）.因此.T= ，記模型（3）的周期解為 （S^T（t），0） ，則有以下結(jié)論.

定理2當(dāng) R₀≤1 時(shí)，模型（3）的無(wú)病周期解 （S^T（t），0） 是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 令（S，I）=S-S，q（S，I）=-S.β（s，I）=n則 （20 ，且 因此 tJ₁+J₂+J₃ ，其中， 進(jìn)一步9有 （204號(hào)

下證 ∣μ₂∣lt;1 ，即 J₁+J₃lt;0. 顯然若 R₀≤1 ，則 J₃lt;0 而 J₁ 的符號(hào)不易判定，由于 K-S]，則當(dāng)R≤1時(shí)，有丨μ丨lt;1，即系統(tǒng)（3）的無(wú)病周期解（S^T（t），0） 是軌道漸近穩(wěn)定的.

對(duì)于 k≥0 ，假設(shè) I_k⁺∈[0，S_q] 且脈沖點(diǎn)序列 I_k⁺ 在直線 l₄ 上當(dāng) R₀≤1 且 S≤S_t I_k⁺ s≤s_t I₀= 0.因此，系統(tǒng)（3）的無(wú)病周期解 （S^T（t），0） 是全局吸引的.

根據(jù)定理2的證明可知當(dāng) R₀lt;1 時(shí)有 μ₂lt;1. 因此，如果系統(tǒng)（2）不存在地方病平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)（3）的無(wú)病周期解 （S^T（t），0） 是全局穩(wěn)定的.那么，可以用乘子 μ₂ 表示控制再生數(shù)，記為

基本再生數(shù) 是在沒有任何干預(yù)措施的情況下，傳染病在完全易感人群中的傳播能力.它反映了疾病在不受干預(yù)的條件下傳播的潛在強(qiáng)度.而控制再生數(shù) R_c 是在考慮了干預(yù)措施的前提下，衡量疾病傳播能力的指標(biāo).當(dāng) R₀≤1 時(shí)，控制基本再生數(shù) R_c 恒小于1，并且隨著閾值 S_t 增加而逐漸下降，最終降至低于 R₀ 的水平.這意味著，在閾值 S_t 處實(shí)施綜合控制策略將獲得最佳控制結(jié)果.當(dāng) R₀gt;1 時(shí)，控制再生數(shù) R_c 會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的趨勢(shì).隨著 S_t 的增大， R_c 可能會(huì)超過1，從而系統(tǒng)出現(xiàn)分叉.此時(shí)若想控制效果達(dá)到最佳，可以將控制閾值取為 R_c 變化的最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 S_t 的值.

3 系統(tǒng)（3）的分岔現(xiàn)象

首先，將 R_c 視作為 η₁ 的函數(shù)，考慮 P_M（Y，η₁） 關(guān)于 η₁ 的分岔.易知 ，其中 K-S]，且S=（1-m）s，將R.（n））對(duì)n）求導(dǎo)得 δ（Aa+δ）（K-s））.易知，方程 有一個(gè)唯一解 S_q=S^* .因此，一定存在 ，且 當(dāng) 時(shí)，有S^?q ，則 ；當(dāng) ，有 S^*gt;S_q ，則 因此，若 ，則存在 η₁^*∈ （20 使得 R_c（η₁^*）=1 ；若 R_c（1）lt;1 ，則存在 使得 R_c（η₁^**）=1

定理3若 S^*tc（1）lt;1 且 ，那么在 η₁=η₁^* 和 η₁=η₁^?* 處 P_M（Y，η₁） 發(fā)生跨臨界分岔現(xiàn)象，這表明當(dāng) η₁ 減小并低于 η₁^? 或增加并超過 η₁^** 時(shí)， P_M（Y，η₁） 出現(xiàn)不穩(wěn)定的正不動(dòng)點(diǎn).即存在 εgt;0 足夠小，使得當(dāng) η₁∈（η₁^*-ε，η₁^*）?（η₁^**，η₁^**+ε） 時(shí)，模型（3）出現(xiàn)不穩(wěn)定的正周期解.

證明由于 I（S;S_q，Y）=I（S，Y） ，那么 P_M（Y，η₁）=I（S_t，Y） .顯然 P_M（0，η₁）=I（S_h，0）=0 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第1個(gè)條件.由定理1的證明可知 ，則 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第2個(gè)條件.此外 （2號(hào) （204號(hào) 表明 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第3個(gè)條件.

下面驗(yàn)證引理 A.2^[13] 的第4個(gè)條件，易知 （2a1（x，0）dx.令f1（x） 顯然 z₁（S_t）=R_c（η₁） 且z₁（S_q）=1-η₂ 又 令 （204號(hào) 若 η₁=η₁^* ，則 .由 f₁（x） 的不單調(diào)性，可得對(duì)于 x∈[S_q，S^?] ，函數(shù) z₁（x） 單調(diào)遞減，對(duì)于 x∈[S^?，S_t] 則反之.因此 z₁（S_t）=R_c（η₁^?）= 1且 Z₁（S_q）=1-η₂ ，即對(duì)于任意的 x∈[S_q，S_t] 有 z₁（S^*）1（x）≤1 此外，由于 z_Φ2^′（Φ_x）= （（A-δx）（1+ax）2gt;0，則z2（x）在[S，S，]上單調(diào)遞增.進(jìn)一步有」] .由于 ，則 類似可以得出 ，證畢.

接下來(lái)，將 R_c 視作為 S_t 的函數(shù)，考慮 P_M（Y，η₁） 關(guān)于 S_t 的分岔.易知 R_c（S_t）=（1-η₂）exp（J₁₃（S_t）） 其中 計(jì)算可得 （2號(hào) 令 ，則0 .若 S_q≤S^* ，則 u（S_q）≤0 ，又 （20號(hào) 若 S_qgt;S^* ，則 u（S_q）gt;0 ，又有 當(dāng) R₀gt;1 即 （αΛ-δ）S^*+Λ）≥（-αδ（S^*）²+（αΛ-δ）S^*+Λ）gt;0， ，因此 2^′（s）gt;0. 從而 （20號(hào) （204 η₁）_ν（S_q）gt;0. （204

另外，由于 βα 因此有 ，其中S_t^*∈（S^?，K） .因此，根據(jù) 和引理 A.2^[13] 可得下列定理.

定理4若 S^*t0gt;1 ，那么在 S_t=S_t^* 處 P_M（Y，S_t） ）會(huì)發(fā)生跨臨界分岔現(xiàn)象，這表明當(dāng)S_t 減小并低于 S_t^* 時(shí)， P_M（Y，η₁） 會(huì)出現(xiàn)一個(gè)不穩(wěn)定的正不動(dòng)點(diǎn).也就是說，存在 εgt;0 足夠小，使得當(dāng) S_t∈ （S_t^?-ε，S_t^? ）時(shí)，模型（3）會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的正周期解.

4數(shù)值模擬

本節(jié)將給出系統(tǒng)（3）的數(shù)值模擬.令 Λ=1，η₁=0.2，Λ=2.5，η₁=0.5 ，且令

β=0.015，α=0.001，δ=0.08，γ=0.3，η₂=0.1

可得圖1結(jié)果.從圖1可以看出，當(dāng) R₀≤1 時(shí)，控制基本再生數(shù) R_c 恒小于1，并且隨著閾值 S_t 增加而逐漸下降，最終降至低于 R₀ 的水平.當(dāng) R₀gt;1 時(shí)，控制再生數(shù) R_c 呈現(xiàn)出更復(fù)雜的趨勢(shì).此時(shí)， R_c 不再與閾值 S_t 呈現(xiàn)單調(diào)關(guān)系.隨著 S_t 的增大， R_c 超過1，但會(huì)出現(xiàn)一個(gè)最小值.這說明若想使控制效果達(dá)到最佳，可以將控制閾值取為 R_c 變化的最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 S_t 的值.

圖1不同條件下""對(duì)R的影響

若取 Λ=1，η₁=0.2，S_t=6.78 和 Λ=2.5，η₁=0.4，S_t=27.5 ，其他參數(shù)同式（6），可以得到圖 2.圖2（a）滿足定理2的條件，可以看出系統(tǒng)（3）的無(wú)病周期解是全局漸近穩(wěn)定的.此外，從圖 2（b）可以看出，當(dāng) R₀gt;1 時(shí)，地方病平衡點(diǎn) E^? 和無(wú)病周期解穩(wěn)定共存.

圖2系統(tǒng)（3）的動(dòng)力學(xué)行為

Fig.2Dynamical behavior of system （3）

若取 Λ=2.5，η₁=0.2，S_t=20 ，其他參數(shù)同式（6），可以得到圖3.可以看出，系統(tǒng)在無(wú)脈沖控制的情況下會(huì)靠近平衡點(diǎn) E^?（S^?，I^?） 從而導(dǎo)致疾病持久，而在實(shí)時(shí)控制的情況下，疾病可以消滅.

若分別取 Λ=2.2，η₂=0.08，S_t=27 和 Λ=2.5，η₁=0.2 ，其他參數(shù)同式（6），可以得到圖4（a）和圖4（b）.對(duì)于圖4（a），其參數(shù)值滿足定理3的條件，此時(shí)在 η₁=η₁^* 和 η₁=η₁^* 處會(huì)發(fā)生跨臨界分岔現(xiàn)象.對(duì)于圖4（b），其參數(shù)值滿足定理4的條件，此時(shí)在 S_t=S_t^* 處 P_M（Y，S_t） 會(huì)發(fā)生跨臨界分岔現(xiàn)象.

圖3 S_t≤S^*

圖4跨臨界分岔現(xiàn)象

Fig.4 Transcritical bifurcation phenomenon

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了具有飽和感染率的狀態(tài)依賴脈沖控制的SIR 模型，定義了基本再生數(shù) 和控制再生數(shù)R_c ，研究了無(wú)病周期解的全局漸近穩(wěn)定性，分析了Poincaré映射的性質(zhì)并給出它發(fā)生跨臨界分岔的充分條件.最后利用數(shù)值模擬觀察了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為，并檢驗(yàn)了理論的正確性.本文的研究具有一定的應(yīng)用性，但模型的簡(jiǎn)化限制了其在實(shí)際事件中的應(yīng)用.因此，建立一種更復(fù)雜更貼合實(shí)際的模型是下一步的研究重點(diǎn).

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Dynamic analysis of a state-dependent feedback control SIR model with saturation incidence

Xie Dongliang，Jiao Caixia，Huang Song，Li Yongfeng （Zhengzhou Universityof Light Industry，School of Mathematics and Information Science，Zhengzhou 45ooo2，China）

Abstract：A state-dependent impulsivecontrol SIR model with asaturated infection rateis studied.The expression for theequilibriumpointsofthebasemodelandtheconditionsfortheirstabilityaregiven.Theexistenceandglobalstabilityof the disease-freeperiodic solutionof themodel withimpulsivecontrolare discused.Thepropertiesof the Poincaré mapare analyzed，andthebifurcatiophenomenaatthediseasefreeperiodicslutionareexamined.Finall，thecorrctnessof theonclu sions is verified through numerical simulations.

Keywords： infectious diseases； SIR model; saturation infection rate; pulse vacination; bifurcation

[責(zé)任編校 陳留院 楊浦]