深度學習視域下落實數概念的一致性的實踐研究

數與運算作為小學階段數與代數領域的兩大主題之一，歷來備受教育者的深切關注。《義務教育數學課程標準》（2022年版）指出，小學數學的課程內容，要引導學生感悟數與運算本質上的一致性。數與運算的一致性是貫穿數與代數領域的重要大概念。然而，在小學數學教育的實際教學中，教師們往往過于聚焦于知識點的灌輸，教學組織上過分追求運算結果的得出，卻往往忽視了數與運算一致性這一深層次概念的滲透和理解。

一、深究數學本質，理解數概念的一致性

1.數的產生機制基本一致

史寧中教授指出：“事實上，整數、分數、小數本質上是一個整體：從數形成與發展的角度而言，整數除法運算出現不夠除的情形，產生了分數，分數運算不方便，產生了小數；從數組成的角度而言，整數、分數、小數均是基于“計數單位”建構的。”

在日常生產與生活中，我們起初從物體的量中抽象出具體的數量，隨后進一步提煉出整數。分數則源于對比1少的物體的量進行表達，它們同樣經歷了從具體到抽象的轉化。小數的產生基于十進制記數法的使用和分數概念的完善。分母為10、100、1000的分數可以用小數表示。整數、小數和分數的產生機制是基本一致的，都來源于對數量表達的需求。

2.“計數單位”的核心概念地位一致

“計數單位”是數與運算的核心概念。在研讀教材和參考資料的過程中，我們注意到，不同數域的“計數單位”均源自對“一”的累加或細分。在整數領域中，“一”作為最基本的計數單位，源自日常生活的基本需求。而“十”“百”“千”等更高級別的計數單位，則是通過十進制的“滿十進一”原則，由“一”不斷累加而成。在分數和小數領域中，計數單位“幾分之一”是基于對“一”的細分而產生的。隨著計數需求的不斷擴展，新的計數單位不斷涌現。每一個新“計數單位”都不是孤立存在的。它必須與以往的知識產生聯系，形成更為龐大的知識體系。更高的計數單位與低的計數單位相互聯系，分數與整數相互轉化，小數與整數相互聯結，共同構建了代數知識的龐大網絡。

3.計數機制一致，數計數單位的個數

吳正憲老師提出：“盡管自然數、分數、小數的意義不盡相同，但對于數學而言，這些數的表達是具有共性的，即借助計數單位的表達，更確切地說，無論是口語表達還是符號表達，數都是“多少個計數單位”的述說。”

在數的計數機制和數的表達中，“計數單位”扮演著無可替代的核心角色。數都是通過“計數單位個數 + 計數單位”的形式來呈現的。如：634表達的是6個百、3個十和4個一組合而成的結果， 表示3個 的和，而0.34則表示為3個0.1和4個0.01的和。計數單位作為計數的核心，在整數、小數和分數領域都發揮著相同的作用。無論是在哪個數域，計數機制都是通過數計數單位的個數來表達所含有的計數單位的數量。計數機制的一致性造就了運算的一致性。正因為整數、小數和分數都是以“計數單位個數 + 計數單位”的形式呈現，所以它們的四則運算都是計數單位個數的累加或細分。

二、開展深度學習，探究數概念的一致性

基于以上思考，在整數、小數、分數的認識教學中，依據深度學習理念，落實數概念的一致性，建構數的認識教學，以期學生能夠深度理解和靈活運用數的概念。實踐探索數的一致性的落實要點：

1.以真實情境重展數的產生

深度學習倡導聯想與結構，讓“人類認識成果”與“學生個體體驗”得以相互轉化。數的產生與生活密切相關，因此在設計數的認識的相關學習時，均可借助真實情境，設計學習任務，達到“聯結”的目的。如，二年級《1000以內數的認識》，學生在前期學習100以內數的認識時，已經積累了一根一根、十根十根地數小棒的活動經驗。本主題的學習從數黃豆的真實情境中設計學習任務，延續和發展數數方法。一百一百地數，10個一百就是一千，從而把計數單位“千”與“百”“十”建立聯系。體現“數是數出來的”這一觀念。又如，在分數的認識中，設計分一張比薩餅活動，讓學習者體會整數無法完全表達均分的量。為了表達比“1”更小的數，便產生了分數。

學生在真實情境中的學習活動中感悟、聯想、結構化，豐富其知識體系。在情境化的學習活動中，學生的經驗被喚醒、改造，再次歷經數產生的過程。這一過程中，他們將學習內容的關聯與結構內化為個人化的再關聯與再構建，從而對知識內容實現深度的理解。

2.以操作活動落實計數機制核心

學生是學習的主體而不是被動的接收者。設計操作的學習活動，可以讓學生重新經歷數學知識發現和發展的過程。

在計數機制這一關鍵問題上，可以采用多元表征方式，以不同的表征方式來學習和理解計數知識，讓學生體會計數的機制就是數有多少個計數單位。如，在整數的數數中，采用體積模型表征，出示一些方塊 （如圖1），問：有多少個小方塊？可以一個一個地數完所有的方塊，但是最快最好的方法，是先一百一百地數整百的數，再一十一十地數整十的數，最后一個一個地數完。這里的百、十、一，是這個整數的計數單位。分數的數數，出示一個學習任務（如圖2），使用面積模型表征分數。露出部分是一個整體的， ，這個整體是什么樣子的？二人小組合作擺一擺，并數一數剩余部分是這個整體的幾分之幾。學生通過操作發現，這個整體可以是一個圖形，也可以是一些圖形。剩余部分數一數，1個 2個5、3個1 4個1 剩余部分是這1 .個整體的。 。這里的 ，是這個分數的計數單位。小數的數數，使用數線模型表征小數。設置操作任務：把一條線段看作1米（如圖3），你能找到0.3米嗎？學習者量一量、畫一畫，把1米平均分成10份，每份是整體的十分之一，也就是0.1米。0.3就是有3個這樣的0.1，不管是從左邊取，還是從中間取，只要取夠了3個0.1，就是0.3。這里的0.1，是這個小數的計數單位。

通過操作活動，學習者經歷數數的過程，體會到不管是整數、分數還是小數，計數機制的核心就是數計數單位的個數，凸顯計數單位的重要地位，依此構建整數、分數、小數計數機的一致性。

3.以實踐任務驅動遷移與運用

對數學知識的本質的理解，是知識內化的過程。而知識的遷移與運用，則是將內在知識外化的過程，它讓我們能夠靈活運用所學知識去解決實際問題。只有完成了這兩個過程，我們才能真正實現對數學知識的深度理解。

為了推進學生對數學知識的理解，我們設計學習任務，指引學生主動調動知識解決問題。

這些任務促進學生更加深入地理解知識，提升對數學的情感態度，提升審美能力和創造力。

綜上所述，對于數的一致性在教學中應當如何落實的問題，課題組引領教師學習理論知識，深究數學本質。繼而引導學生開展深度學習，聯系真實情境、設計操作活動和實踐任務，探究數概念的一致性，讓學生深入理解數的概念和運算的本質，從而構建起一個連貫的數學認知體系。未來的教學實踐應繼續探索和完善這些策略，以實現數學教育的長遠目標，即培養學生的批判性思維和創新能力。

圖1

圖2

圖3

【注：本文系廣州市教育局“教育科研創新團隊項目”課題“基于深度學習理念的大單元教學”（課題編號：202214012）的研究成果之一】

責任編輯龍建剛