定滑輪連動在非慣性系下的運動問題探究

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2025）8-0068-5

定滑輪是工程與機械應用中的常用部件，因而定滑輪連動是運動學中經常涉及的問題，成為物理學中的典型模型之一[]。定滑輪連動的物體表現出的運動模式存在一定的關聯特性[2-3]，而這些關聯特性在慣性系下的常規應用通常會使分析者形成慣性思維，從而把這些關聯特性錯誤地應用于非慣性系。當定滑輪連動裝置處于變速體系中，即參照物為非慣性系的情況下，這種關聯特性的常規應用將會導致在問題分析中出現錯誤，并最終致使結論錯誤。這種定向思維的根本原因在于沒有明確并統一定滑輪連動的物體所體現的關聯特性的參照對象，導致在應用這些關聯特性時將不同參考系混淆，使得在非慣性系下錯誤應用了慣性系的牛頓第二定律4，而沒有將物理量通過伽利略變換或者慣性力的引入統一參考系[5]。

通過列舉兩類典型的定滑輪連動問題，從易錯解法著手，分析關聯特性應用容易出錯的根本原因，并分別列舉以慣性系和非慣性系為參考系的正確解法，從而剖析定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下求解的關鍵點，歸納定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下的解析思路，總結此類問題的求解方法，明確定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下的分歧與統一。

1連動的兩物體運動方向相對于定滑輪垂直

如圖1所示，在質量為 M 的小車上放有質量為 m₁"的物塊。用不可伸長的細繩通過固定在小車上的滑輪與質量為 m₂"的物塊相連，物塊 m₂"靠在小車的前壁上而使懸線垂直，忽略所有摩擦及滑輪的質量。當用水平力 F 推小車使之沿水平桌面加速前進時，小車的加速度為多大？

圖1變速運動的小車及定滑輪連動兩物塊的示意圖

問題分析如果運動過程中， m₂"的高度不變，則 m₁"相對于 M 也沒有水平位移， ，M_?m₁"和 m₂"的運動狀態一樣，可以用整體法求解。 m₂"豎直方向受力平衡，繩中的拉力 T=m₂g ，使 m₁"獲得加速度a=m₂g/m₁"，則合外力 F=（M+m₁+m₂）m₂g/m_1o"除此特殊情況以外， m₂"的高度在運動過程中將發生改變，則 m₁"相對于 M 也存在水平位移，三者的運動

收稿日期：2025-04-23

狀態不同，不能采用整體法求解。這種情況下，定滑輪連動的 m₁"和 m₂"仍然存在關聯運動。即 m₂"相對于定滑輪的豎直加速度與 m₁"相對于定滑輪的水平加速度的大小保持一致。因此，需采用分體法，分別對 m₁…m₂"和 M 進行受力分析，采用牛頓第二定律求解[6]

1.1 易錯解法

設 M 對地面的水平加速度為""和 m₂"相對小車 M （或定滑輪）的加速度大小分別為 a₁"和a₂"，如圖2所示。依據小車和兩物塊的受力分析圖，建立動力學方程。

對 m₁"，沿 x （水平）方向，有

T₁=m₁a₁

對 m₂"，沿 x （水平）方向，有

沿 y （豎直）方向，有

m₂g-T₂=m₂a₂

對 M ，沿 x （水平）方向，有

F-N₂-T₁=Ma

對定滑輪連動的物塊，滿足

T₁=T_"1=T_"2=T_"2，N₂=N_"2，a₁=a₂

聯立上式，可得

圖2變速運動的小車及定滑輪連動兩物塊的受力分析圖（慣性系下）

誤區剖析求解過程中涉及多個研究對象與物理量，在應用牛頓第二定律時，參考系混淆，沒有統一。核心問題在于，求解時將慣性系中成立的關聯特性直接移植到非慣性系下進行應用。需明確，定滑輪連動的兩物塊 m₁"和 m₂"的運動狀態的關聯特性是相對于定滑輪而言的[1-2]。此問題中定滑輪處于非平衡狀態，如果選擇定滑輪為參考系，則為非慣性系。由于繩不可伸長， m₁"和 m₂"相對于定滑輪的位移、運動速度與加速度的大小保持一致。在該問題中，表現為 m₂"相對于定滑輪的豎直加速度與 m₁"相對于定滑輪的水平加速度大小相等，而定滑輪固定在小車 M 上，即 m₂"相對于 M 的豎直加速度 a_2y"與 m₁"相對于 M 的水平加速度 a_lx"的大小相等，而小車 M 相對于地面以加速度 a 運動，因此 m₁"相對于地面的水平加速度并不是 a₁"，上述求解過程中的方程（1）并不成立。上述求解中，選擇地面為慣性參考系，因此，對m₁"，沿 x （水平）方向的合外力滿足牛頓第二定律F=m₁a_1×1+1×1 。而 a_1×?f?f?f?f"則需通過伽利略變換""（204 得到[7]。而對 m₂"，相對 M 的豎直加速度 a_2y"與相對地面的豎直加速度相同，方程（2）仍然成立。

綜上，定滑輪連動問題求解時，需明確連動的兩物塊間關聯的運動特性源自繩長不變，兩物塊位移、運動速度與加速度的大小保持一致，這種一致性是相對于定滑輪而言的。因此，如果選擇地面為參考系，應用牛頓第二定律求解時，必須應用伽利略變換，得到物塊相對于地面的加速度。如果想直接使用相對于滑輪的加速度構建方程，可以選擇滑輪或小車這類非慣性系作為參照物，此時應用牛頓第二定律求解，在受力分析時需引入慣性力這個虛擬力[8-9]，以保證牛頓第二定律的適用性。以下列出選擇慣性系與非慣性系的具體求解方法。

1.2 正確解法一

選擇地面為慣性參考系（圖2），設 M 對地面的水平加速度為""和 m₂"相對小車 M （定滑輪）的加速度大小分別為 a₁"和 a₂，m₁"和 m₂"相對地面的加速度分別為ai對地和a2對地

對 m₁"，沿 x （水平）方向，有

對 m₂"，沿 y （豎直）方向，有

m₂g-T₂=m₂a_2×↓↓↓

沿 x （水平）方向，有 N₂=m₂a

對 M ，沿 x （水平）方向，有 F-N₂-T₁=Ma

由伽利略變換可知，水平方向的加速度滿足（204""，即"

代人（3）式，得T=ma對車x+ma

由于 M 沒有對地面沿豎直方向的加速度，因此， m₂"對小車的豎直加速度即為對地面的豎直加速度，即a2對地y=a2對車y=a2y

對定滑輪連動的物塊，滿足

聯立，可得

正確求解關鍵點其一，定滑輪連動的兩物塊 m₁"和 m₂"運動狀態的關聯特性，表現為 m₂"相對于定滑輪的豎直加速度""與 m₁"相對于定滑輪的水平加速度 a_1xy?x 的大小相等，此特性是相對于定滑輪而言的。其二， m₁"沿 x （水平）方向所受的拉力 T₁=m₁a₁×1×1× ，此式中的加速度是相對于地面而言的。其三， ?_m1"對地面的加速度 a₁×…+1+11 需通過伽利略變換，由 m₁"對小車的加速度""與小車對地面的加速度a矢量求和得到，即""核心問題在于，不同研究對象的相關物理量在應用中需統一參考系。

1.3 正確解法二

如圖3所示，選擇小車 M （定滑輪）為（非慣性）參考系。設 M 的加速度為""和 m₂"相對于小車 M （定滑輪）的加速度大小分別為 a₁"和 a₂"。

對 m₁"，引入水平慣性力 -m₁a ，沿 x （水平）方向，有 T₁-m₁a=m₁a₁

對 m₂"，引入水平慣性力 -m₂a ，沿 x （水平）方向，有 N₂-m₂a=0

沿 y （豎直）方向，有 m₂g-T₂=m₂a_2y

對 M ，沿 x （水平）方向，有 F-T^′₁-N^′₂=Ma

對定滑輪連動的物塊，滿足

a₁=a_2y，T₁=T₁=T₂=T₂

聯立，可得

a_2y=（m₂g-m₁a）/（m₁+m₂）

圖3變速運動的小車及定滑輪連動兩物塊的受力分析圖（非慣性系下）

正確求解關鍵點其一， ?_m1"沿 x （水平）方向除受到拉力外，還需引入水平慣性力""，才能應用牛頓第二定律。其二， m₂"在水平方向除受 M 的壓力外，同樣需引入水平慣性力-""，才能應用牛頓第二定律； m₂"沿 y （豎直）方向仍然受重力和拉力，不影響牛頓第二定律在豎直方向的應用。其三，由于選擇了小車（含定滑輪）為參照物，可以直接應用定滑輪連動的 m₁"和 m₂"的關聯特性，即 m₂"相對于定滑輪的豎直加速度""與 m₁"相對于定滑輪的水平加速度 a_1×±?x"的大小相等。核心問題在于，選擇非慣性參考系時，必須對各個研究對象引入慣性力[8]，以保證牛頓第二定律的適用性。

2連動的兩物塊運動方向相對于定滑輪平行

如圖4所示，質量分別為 m₁"和 m₂"的兩物塊用輕細繩相連接后，懸掛在一個固定于電梯內的定滑輪兩邊。滑輪和繩的質量以及所有摩擦均不計。當電梯以 a₀=g/2 的加速度下降時，求繩的拉力。

圖4變速運動的電梯及定滑輪連動兩物塊的示意圖

問題分析假設 m₁"大于 m₂"，運動過程中， m₁"相對于定滑輪下降， m₂"相對于定滑輪上升，且 m₁"和 m₂"存在關聯運動，相對于定滑輪（電梯）的加速度等大反向，即 m₁"相對于定滑輪的向下加速度與 m₂"相對于定滑輪的向上加速度的大小一致。采用分體法分別對 m₁，m₂"進行受力分析，用牛頓第二定律求解。

2.1 易錯解法

如圖5所示，設物塊 m₁"和 m₂"相對于電梯的加速度大小分別為 a₁"和 a₂"。

對 m₁"，沿豎直方向有 m₁g-T₁=m₁a₁"對 m₂"，沿豎直方向有 T₂-m₂g=m₂a₂"由定滑輪連動的關聯特性可知

a₁=a₂，T₁=T₂=T

聯立，可得

圖5變速運動的電梯內定滑輪連動兩物塊的受力分析圖（慣性系下）

誤區剖析核心問題在于，求解過程將慣性系關聯特性直接移植到非慣性系。小物塊 m₁"和m₂"連動，加速度等大反向的關聯特性是相對于定滑輪（電梯）而言的。上述求解過程，選擇地面為慣性參考系，應用牛頓第二定律建立方程時，加速度必須采用相對地面的加速度。對 m₁"，沿豎直方向的合外力滿足牛頓第二定律mig-T₁=m₁a_1×1×1×1"。對 m₂"，同樣滿足 T₂-m₂g=m₂a₂×+2 。而a₁×2=2 和 a₂×+2=3 則需通過伽利略變換""α梯對地得到。

2.2 正確解法一

選擇地面為慣性參考系。如圖5所示，設小物塊 m₁"和 m₂"相對于定滑輪（電梯）的向下和向

上的加速度大小分別為 a₁"和 a₂"，由伽利略變換a物對地=a物對梯+a梯對地可知，m1和m2相對于地面豎直向下的加速度分別為 a₀+a₁"和 a₀-a₂"。

對 m_i"，沿豎直方向有 m₁g-T₁=m₁（a₀+a₁） 對 m₂"，沿豎直方向有 m₂g-T₂=m₂（a₀-a₂） 由定滑輪連動的關聯特性可知

a₁=a₂，T₁=T₂=T

聯立，可得

正確求解關鍵點其一，明確定滑輪連動的兩物塊 m₁"和 m₂"相對于定滑輪（電梯）的加速度等大反向，表現為""，此特性是相對于定滑輪而言的。其二， m₁"和 m₂"對地面的加速度（204號""和 a₂×+2=12 需通過伽利略變換獲得。其三，選擇地面為參考系，應用牛頓第二定律時，加速度必須采用對地面的加速度，即""。核心問題在于，不同研究對象的相關物理量在應用中需統一參考系。

2.3 正確解法二

如圖6所示，選擇電梯為非慣性參考系，設""和 m₂"相對于電梯向下和向上的加速度大小分別為a₁"和""和 m₂"分別引入慣性力""和-""，取豎直向下為正方向。

圖6變速運動的電梯內定滑輪連動兩物塊的受力分析圖（非慣性系下）

對 m₁"，沿豎直方向有""對 m₂"，沿豎直方向有""由定滑輪連動的關聯特性可知a₁=a₂，T₁=T₂=T

聯立，可得

正確求解關鍵點其一，選擇非慣性參考系時， m₁"和 m₂"除正常受力分析外，還需引入豎直慣性力-""和-""，才能使用牛頓第二定律。其二，由于選擇了電梯（含定滑輪）為參考系，可以直接應用定滑輪連動的 m₁"和 m₂"的關聯特性，即 m₁"和 m₂"相對于電梯的加速度等大反向，滿足"。其三，建立動力學方程時，需注意假定的正方向，受力方向和加速度方向與正方向同向取正，反向取負。核心問題在于，選擇非慣性參考系，必須對各個研究對象引入慣性力，以保證牛頓第二定律的適用性。

3 解題思路與方法

定滑輪連動問題求解時，核心問題在于弄清連動物體間的運動關聯源自繩長不變，決定了兩物體相對于滑輪運動的位移、速度與加速度的大小保持一致，需明確這些運動關聯性是相對于定滑輪而言的。如果定滑輪固定于變速運動的物體上，相對于定滑輪的連動特性只在包含定滑輪的非慣性系下才成立。因此，在求解過程中可以先設連動的兩物體相對于定滑輪的加速度，確定兩物體相對于定滑輪的加速度相關性，然后再選擇慣性系或非慣性系作為參考系進行求解。該解題思路可以推廣至定滑輪應用的其他運動體系中，比如，變速運動的斜面上的定滑輪問題，此類情況下，定滑輪連動的兩物體的相對運動速度既不平行也不垂直。解題過程中，同樣只要確定連動的兩物體相對于定滑輪的加速度大小一致，然后建立合適的坐標系進行加速度和受力分解。

對不同的研究對象以及不同的物理量構建動力學方程組時，務必保證參考系的統一性。如果選擇地面這類慣性參考系，應用牛頓第二定律求解時，必須應用伽利略變換，將已設定的相對于定滑輪的加速度轉換為物體相對于地面的加速度，才滿足動力學方程的參考系統一性。如果選擇滑輪或小車這類非慣性參考系，已設定的相對于定滑輪的加速度可以直接引用。但在對各個研究對象進行受力分析時，除傳統受力分析外，必須引入慣性力這個虛擬力，以保證牛頓第二定律的適用性。選擇慣性系與非慣性系求解是通過伽利略變換或引入慣性力來統一的。

4結論

針對定滑輪連動裝置處于變速體系中的兩類典型的運動模式，即連動的兩物體運動方向相對于定滑輪垂直或平行，進行了系統的問題解析與方法歸納。針對兩類非慣性系下的定滑輪連動問題，從易錯解法著手，分析連動特性應用容易出錯的根本原因，并列舉以慣性系和非慣性系為參考系的正確解法，從而剖析定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下求解的關鍵點，歸納定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下的解析思路，總結此類問題的求解方法，明確定滑輪連動問題在慣性系和非慣性系下的分歧與統一。指出在應用牛頓第二定律求解時，必須保證連動各物體與不同物理量的參考系一致，這種統一性可通過伽利略變換或者慣性力的引入實現。

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（欄目編輯 蔣小平）