基于學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)的新定義題目的教學(xué)研究

在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要體現(xiàn)在運(yùn)算能力和推理能力的培養(yǎng)上.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出：“通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生邏輯與發(fā)展過程，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系；能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題；能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過程[1]”

新定義題型在題設(shè)中給出學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過的新概念、新運(yùn)算、新定理等，并要求學(xué)生借助新給的信息來解決問題[2].新定義題的解決過程需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)相關(guān)定義，這是對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)閱讀與理解能力的考查，新定義題又往往會(huì)與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，考查了學(xué)生對已有知識(shí)的掌握情況，以及思維的靈活性[3]．本文以北京課改版七年級(jí)數(shù)學(xué)新定義題為例，賞析其命制思路，以期得到教學(xué)啟示.

1題目呈現(xiàn)

現(xiàn)將偶數(shù)個(gè)互不相等的有理數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩排，需滿足第一排中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)

越來越小.例如，將“1，2，3，4”進(jìn)行如下分組[4]：

然后把每列兩個(gè)數(shù)的差的絕對值進(jìn)行相加，定義為該分組方式的“ M 值”.

例如 以上分組方式的‘ ?_M 值”為 M= ∣1-4∣+∣2-3∣=4.

（1）另寫出“1，2，3，4”的一種分組方式，并計(jì)算相應(yīng)的“ M 值”；

（2）將4個(gè)自然數(shù)“ a ，6，7，8”按照題目要求分為兩排，使其“ M 值為6，則 a 的值為 .

（3）已知有理數(shù) c，d 滿足 c+d=2 ，且 c，9 按照題目要求分為兩排，使其“ M 值”為18，求 d 的值.

2 題目分析

本題考查了學(xué)生的思維能力，是一種重要的題型.題目圍繞“M”值的定義展開，雖然定義看似簡短，但其用詞精準(zhǔn)、簡潔，符合數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范.該題綜合考查了文字語言與數(shù)學(xué)語言的結(jié)合，要求學(xué)生簡潔地理解并準(zhǔn)確描述定義，并深入理解定義的內(nèi)涵和本質(zhì).

2. 1 概念理解—突破第（1）問

第（1）問較為簡單，結(jié)合絕對值的定義和性質(zhì)以及“M”值的定義即可完成，由于“1，2，3，4”需滿足第一排中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)越來越小，這樣的排列不止于一種，根據(jù)不同排列，計(jì)算\"M”值.

第一種排列：第一排1，3；第二排 4，2;M=

∣1-4∣+∣2-3∣=4 M=|1-3|+|4-2|=4 第二種排列：第一排

1，4；第二排3，2；M=|2-4|+|3-1|=4 第三種排列：第一排

2，3；第二排4，1；M=|2-3|+|4-1|=4 第四種排列：第一排

2，4；第二排3，1；M=|3-2|+|4-1|=4 第五種排列：第一排

3，4；第二排2，1；通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：“1，2，3，4”四個(gè)數(shù)滿足第一排

中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)越來越小，這樣的排

列不止于一種，通過排列發(fā)現(xiàn)：一共有6種排列方

法，根據(jù)排列，計(jì)算得出“M”值都等于4.也可以從

數(shù)形結(jié)合的角度來考慮.

圖1

圖2

通過數(shù)形結(jié)合，將差的絕對值轉(zhuǎn)化成數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離來理解，就可以得到，只要四個(gè)數(shù)確定，按照題目要求，雖然排列不同，但是得到“M”值相同.

2.2 強(qiáng)化概念 -突破第（2）問

第（2）問中將 Δ_a 個(gè)自然數(shù) ?_{a，6，7，8}，9 按照要求

將其分為兩排，使其“ M 值為6，則 a 的值;通過第一

問的分析可以得到：只要四個(gè)數(shù)確定，按照題目要求

排列，無論是哪一種，得到“M”值都相同.為了計(jì)算

方便，我們可以將四個(gè)數(shù)從小到大進(jìn)行排序，為此第

（2）問中只要四個(gè)數(shù)的確定了，只需列出一種排列，

計(jì)算“M”值即可.因?yàn)?a 個(gè)自然數(shù) ?_{a，6，7，8}，9 4所以可以為‘ ?_{a，6，7，8⁹} 或者為“ 6，7，8，a ”當(dāng)四個(gè)數(shù)從大到小排列后可以為‘ _{?a，6，7}

8”時(shí)，排列為：第一排 _a，6 ；第二排8，7；M=|8-a|+|7-6|=6， 所以 a=3 ：當(dāng)四個(gè)數(shù)從大到小排列后可以為 ?6，7，8，a ；排列為：第一排6，7；第二排 ^a，8 ：M=|a-6|+|8-7|=6. 所以所以 a=11 ：所以 a=3 或 a=11 2.3模型探索—突破第（3）問第（3）問中有理數(shù) c，d 滿足 c+d=2 ，且 c

可以得到：因?yàn)橛欣頂?shù) c，d 滿足 c+d=2 ，且 c1 ：因此將6個(gè)有理數(shù)“ i_c，d，-5，-2，2，4^* 按照題

目要求分為兩排時(shí)，由于 c，d 的范圍不同，排序就會(huì)

不同，得到的排列就會(huì)不同，因此根據(jù) d 的范圍不

同，可以分成以下三類：（1）當(dāng) 1*-5，-2，c，d，2，4^* 第一排： -5，-2，c=2-d ，第二排 ，M=|4-（-5）|+|2-（-2）|+|4-（2-d）|=

18.所以 因?yàn)?1*-5，-2，c，2，d，4^* ：第一排： -5，-2，c=2-d ，

18第二排：4， d ，2，（20 d=3，5 ：因?yàn)?24 時(shí)， clt;-2 ① 當(dāng) 4，， ，第一排： -5，c=2-d，-2 ，M=∣d-（-5）∣+∣4-（2-d）∣+∣2-

（-2）|=18 第二排： d ，4，2，（204號(hào) d=3.5 ：因?yàn)?47 時(shí)， clt;-5 6個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為： ?_c，-5，-2，2，4，d^，， ，第一排： c=2-d，-5，-2 第二排： d ，4，2，d=3.5M=|d-（2-d）|+|4-（-5）|+

∣2-（-2）∣=18 d=3.5 .因?yàn)?dgt;7 ，所以不成立.綜上所述： d=3.5 第（3）問中所涉內(nèi)容豐富，可全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．本題的三問具有一定的難度梯度，但實(shí)則是引導(dǎo)學(xué)生深人理解定義，強(qiáng)化應(yīng)用、拓展思維.

3教學(xué)建議

通過分析新定義題目的解題思路與方法，從教材中核心概念出發(fā)，靈活運(yùn)用關(guān)聯(lián)知識(shí)，并通過巧妙的分類討論可以有效突破這類問題的解答難點(diǎn).以下是幾點(diǎn)教學(xué)建議：

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，融合知識(shí)

新定義題目經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，通常以一些基礎(chǔ)概念為背景，融入關(guān)聯(lián)知識(shí)形成新定義.解析過程為活用基礎(chǔ)知識(shí)、合理綜合、逐步突破．本考題主要考查不等式、方程組的相關(guān)知識(shí)，深入理解新定義是解題的關(guān)鍵.圍繞問題背景進(jìn)行知識(shí)回顧，開展知識(shí)關(guān)聯(lián)拓展，完善知識(shí)體系，以絕對值為例，關(guān)聯(lián)相關(guān)知識(shí)，構(gòu)建不等式，形成“分類討論”與“數(shù)形結(jié)合”的轉(zhuǎn)化思路[4].

3.2 規(guī)范語言，強(qiáng)化閱讀

此類題目有兩大特點(diǎn)：一是語言精練，二是符合數(shù)學(xué)規(guī)則，能夠綜合文字語言和數(shù)學(xué)符號(hào)精準(zhǔn)地描述新的定義.該類問題突破的基礎(chǔ)是準(zhǔn)確理解定義，挖掘定義特性.以上述新定義“ M 值”為例，根據(jù) M 值的定義，結(jié)合兩個(gè)數(shù)的差的絕對值可以轉(zhuǎn)化為距離．因此，建議教師注重?cái)?shù)學(xué)三種語言教學(xué)，重視代數(shù)推理.

3.3 分類討論，提升思維

分類討論思想是數(shù)學(xué)解題思想中的重要組成部分，是將數(shù)學(xué)問題分解后，將復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)簡單化的數(shù)學(xué)解題形式，能夠幫助學(xué)生厘清解題思路，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析，激發(fā)學(xué)生思維，為學(xué)生數(shù)學(xué)問題解答以及數(shù)學(xué)能力提升提供促進(jìn)作用[5].作為初中數(shù)學(xué)重要的思維訓(xùn)練方法，分類討論策略在教學(xué)實(shí)踐中具有廣泛適用性.教師可通過構(gòu)建分類框架，引導(dǎo)學(xué)生建立多維度分析問題的能力.具體實(shí)施時(shí)，應(yīng)著重規(guī)范分類標(biāo)準(zhǔn)的確立過程，通過典型案例剖析，幫助學(xué)生掌握討論范圍的科學(xué)方法，從而培養(yǎng)其填密的邏輯思維品質(zhì)，巧妙解題，實(shí)現(xiàn)“化整為零，各個(gè)擊破”的數(shù)學(xué)策略.因而，在平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中，從教材的知識(shí)內(nèi)容中提煉數(shù)學(xué)思想，從教材的例題和習(xí)題中提煉數(shù)學(xué)思想，從試題中提煉數(shù)學(xué)思想，并將這些數(shù)學(xué)思想歸類遷移，合理運(yùn)用，熟練掌握，可以有效提升學(xué)生思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[].

3.4 重視過程，培養(yǎng)能力

（1）重視數(shù)學(xué)閱讀過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力.通過閱讀，有助于學(xué)生理解概念，領(lǐng)會(huì)定理的深層含義，并在閱讀的過程中加深對其本質(zhì)的把握.在閱讀中體會(huì)證明題的推理過程、尋找邏輯關(guān)系.教師要在“細(xì)”字上做文章，教會(huì)學(xué)生勾圈畫.

（2）重視數(shù)學(xué)分析過程，培養(yǎng)分析能力.

（3）強(qiáng)化解題思維訓(xùn)練，提升問題解決能力.解題是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐應(yīng)用的綜合過程.教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生明確解題目標(biāo)，規(guī)范解題步驟，幫助學(xué)生精準(zhǔn)把握問題關(guān)鍵.

（4）加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，發(fā)展探究應(yīng)用能力.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)嚴(yán)格遵循新課標(biāo)要求，通過規(guī)范化的操作實(shí)踐，系統(tǒng)培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和動(dòng)手能力.

4結(jié)語

布魯諾指出：“課堂教學(xué)是一種持續(xù)不斷提出問題和解決問題的過程.”數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師應(yīng)選擇典型例題，難度由低到高，形式由簡潔直觀到隱晦抽象，著力引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位分析問題，通過方法異構(gòu)充分挖掘問題本質(zhì)，提升學(xué)生對方法的處理和篩選能力.學(xué)生在探究過程中，能夠逐步拓寬自身的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建構(gòu)起新的知識(shí)體系，鍛煉思維能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，為核心素養(yǎng)落地打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]黃滔，楊文.初中數(shù)學(xué)“新定義”問題的解題策略研究[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2019（6）：42-44.

[3」王芳芳，唐恒鈞.2017年浙江省中考數(shù)學(xué)新定義題賞析及教學(xué)啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（5）：42-45.

[4]沈磊.中考數(shù)學(xué)新定義問題的解題策略[J].中學(xué)教學(xué)參考，2018（35）：21-22.

[5」璟.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用策略[J].試題與研究，2021（27）：177—178.

[6]陳明雙.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版）：下半月，2018（8）：3.