融合APOS與HPM理論：解鎖初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)新路徑

1理論基石：APOS與HPM理論解析

1.1 APOS理論深度剖析

APOS理論包含活動(dòng)、過程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段.活動(dòng)階段，學(xué)生通過具體操作活動(dòng)，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成基礎(chǔ)，這一過程讓學(xué)生初步接觸概念，為后續(xù)理解做鋪墊.過程階段，學(xué)生在活動(dòng)基礎(chǔ)上，對(duì)操作步驟和思維過程進(jìn)行內(nèi)化，在頭腦中構(gòu)建概念的形成過程，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡.對(duì)象階段，學(xué)生將概念視為一個(gè)獨(dú)立對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行各種運(yùn)算和推理，加深對(duì)概念本質(zhì)的理解.圖式階段，學(xué)生把所學(xué)概念與已有知識(shí)結(jié)構(gòu)相融合，形成完整的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與運(yùn)用.四個(gè)階段的教學(xué)應(yīng)該有條不紊，逐步深人，不可跨越.也就是說，教學(xué)不應(yīng)該局限于具體的、直觀的階段，而應(yīng)該通過深入地思考和實(shí)踐，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為抽象的知識(shí).

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，APOS理論具有獨(dú)特價(jià)值.它遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從具體活動(dòng)逐步引導(dǎo)學(xué)生深人理解概念，有助于學(xué)生更好地掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)思維能力.

1.2 HPM理論內(nèi)涵闡釋

HPM理念致力于將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育緊密結(jié)合，旨在通過融入數(shù)學(xué)史來提升數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.在數(shù)學(xué)教學(xué)觀念方面，它促使教師轉(zhuǎn)變教學(xué)視角，不再局限于單純的知識(shí)傳授，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)置于歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，拓寬教學(xué)視野，

對(duì)于學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)，HPM理論發(fā)揮著重要作用.通過引入數(shù)學(xué)史，學(xué)生能在歷史背景中感受數(shù)學(xué)家的思維方式和探究精神，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).同時(shí)，數(shù)學(xué)思想文化的滲透也得以實(shí)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要地位，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)同感和學(xué)習(xí)興趣，

1.3 兩者融合的邏輯架構(gòu)

APOS與HPM理論融合具有可行性與必要性.從可行性來看，APOS理論注重學(xué)生的認(rèn)知過程，HPM理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，二者目標(biāo)一致，都是為了促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念.數(shù)學(xué)史中的諸多實(shí)例和故事，能為APOS理論各階段提供豐富的素材，使學(xué)生在歷史情境中完成概念的認(rèn)知構(gòu)建.

在必要性方面，兩者相互補(bǔ)充.APOS理論為教學(xué)提供了清晰的認(rèn)知路徑，但缺乏歷史文化的融入.HPM理論雖能豐富教學(xué)內(nèi)容，卻缺少系統(tǒng)的認(rèn)知指導(dǎo).融合后，HPM理論的數(shù)學(xué)史素材可助力APOS理論各階段的實(shí)施，如在活動(dòng)階段創(chuàng)設(shè)歷史情境，在過程階段展示概念的歷史演變；APOS理論則為HPM理論的應(yīng)用提供框架，確保數(shù)學(xué)史素材的運(yùn)用符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，協(xié)同促進(jìn)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué).

2初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀審視

2.1 傳統(tǒng)教學(xué)模式的困境

傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式存在諸多亟待解決的問題.一方面，教師往往忽視概念的形成過程，直接將概念灌輸給學(xué)生，學(xué)生只是機(jī)械地記憶，卻不理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵.例如在講解“函數(shù)”概念時(shí)，教師可能直接給出函數(shù)的定義，讓學(xué)生背誦，卻沒有引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)概念是如何在實(shí)際問題中產(chǎn)生和發(fā)展的.

另一方面，學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài).課堂上，教師占據(jù)主導(dǎo)地位，學(xué)生缺乏主動(dòng)思考和探索的機(jī)會(huì).以“一元二次方程”概念教學(xué)為例，教師通常直接講解一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、各項(xiàng)系數(shù)等內(nèi)容，學(xué)生被動(dòng)接受，很少有機(jī)會(huì)參與到概念的構(gòu)建過程中.

這種教學(xué)模式導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不深，難以靈活運(yùn)用概念解決問題.學(xué)生在面對(duì)稍有變化的題目時(shí)，便會(huì)不知所措，無法準(zhǔn)確判斷題目所涉及的概念，學(xué)習(xí)效果不佳.

2.2 學(xué)生學(xué)習(xí)概念的難點(diǎn)

學(xué)生在初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中面臨著不少困難.抽象概念理解障礙是較為突出的問題之一.初中數(shù)學(xué)中的一些概念，如“無理數(shù)\"“數(shù)軸”等，具有較高的抽象性，學(xué)生難以將其與實(shí)際生活聯(lián)系起來，導(dǎo)致理解困難.

概念混淆也是常見的問題.例如，“單項(xiàng)式”與“多項(xiàng)式”，學(xué)生容易在判斷一個(gè)式子屬于哪種類型時(shí)出錯(cuò)，因?yàn)閷?duì)兩者概念的本質(zhì)區(qū)別把握不準(zhǔn).此外，“平方根”與“算術(shù)平方根”的概念，學(xué)生也常常混淆，在計(jì)算和應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

這些難點(diǎn)使得學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到阻礙，影響了他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性掌握，也打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自信心.

2.3 融合理論的迫切需求

在“學(xué)為中心”的教育理念下，教師應(yīng)當(dāng)重視提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和興趣，積極探究?jī)?yōu)化初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步深化學(xué)生對(duì)概念的理解，讓學(xué)生在解決問題的過程中鞏固所學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.融合后的理論能夠有效解決現(xiàn)有問題.APOS理論的系統(tǒng)認(rèn)知路徑，可引導(dǎo)學(xué)生逐步深人理解概念，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)忽視概念形成過程的缺陷.例如，通過活動(dòng)階段的具體操作，讓學(xué)生親身體驗(yàn)概念的產(chǎn)生，改變學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面.

HPM理論融人數(shù)學(xué)史，能將抽象的概念具象化，幫助學(xué)生克服理解障礙.以“無理數(shù)”概念為例，講述無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史，讓學(xué)生了解其產(chǎn)生背景，降低概念的抽象性.同時(shí)，數(shù)學(xué)史中的實(shí)例能清晰展示相似概念的差異，避免學(xué)生概念混淆.因此，融合這兩種理論是提升初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵.

3融合理論的教學(xué)模式構(gòu)建

基于APOS與HPM理論融合的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，旨在為學(xué)生提供一個(gè)系統(tǒng)、全面且富有深度的學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握.該教學(xué)模式框架呈現(xiàn)出清晰的階段銜接與遞進(jìn)關(guān)系，具體如下：

在“引入溯源”階段，教師借助HPM理論引入數(shù)學(xué)史素材，如在“勾股定理”教學(xué)中，講述古代中國(guó)、古希臘等不同文明對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)與早期研究，同時(shí)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的測(cè)量、拼圖等活動(dòng)（對(duì)應(yīng)APOS活動(dòng)階段），讓學(xué)生初步感受概念.

“探究建構(gòu)”階段，教師引導(dǎo)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的思考路徑，如畢達(dá)哥拉斯對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的探究過程，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論、自主探究（對(duì)應(yīng)APOS過程階段），深入理解概念本質(zhì).

“鞏固拓展”階段，教師給出數(shù)學(xué)史中的相關(guān)問題和案例，讓學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行解答（對(duì)應(yīng)APOS對(duì)象階段），加深對(duì)概念的掌握.

“整合升華”階段，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)史中概念的發(fā)展歷程，將其與其他相關(guān)概念建立聯(lián)系（對(duì)應(yīng)APOS圖式階段），形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

通過這樣的教學(xué)模式框架，APOS與HPM理論相互滲透、協(xié)同作用，為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供有力支持，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

4教學(xué)實(shí)踐案例展示

4.1“相似三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)

課程設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，圍繞“三會(huì)四能”目標(biāo)體系展開深度建構(gòu).教學(xué)設(shè)計(jì)打破傳統(tǒng)知識(shí)傳授模式，通過“歷史情境活化 $$ 實(shí)驗(yàn)探究建模$$ 跨學(xué)科遷移 $$ 認(rèn)知體系重構(gòu)”四階進(jìn)階路徑，將數(shù)學(xué)眼光、思維與表達(dá)的培養(yǎng)貫穿全流程.課程采用雙線融合策略：縱向以數(shù)學(xué)史為脈絡(luò)構(gòu)建文化認(rèn)知鏈條，橫向以APOS理論搭建概念發(fā)展支架，形成立體化學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò).

在課程導(dǎo)入階段，教師創(chuàng)新性設(shè)計(jì)“古今測(cè)高挑戰(zhàn)賽”情境：一方面復(fù)現(xiàn)泰勒斯木桿巧測(cè)金字塔的歷史場(chǎng)景，引導(dǎo)學(xué)生通過日影比例關(guān)系推算教學(xué)樓高度；另一方面引入無人機(jī)航拍測(cè)繪技術(shù)，借助數(shù)字影像分析現(xiàn)代測(cè)量原理.通過 AR 增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)，將不同比例的三角板投影疊加于實(shí)景建筑，學(xué)生在虛實(shí)融合的場(chǎng)景中直觀感知相似三角形的縮放特性，完成從生活現(xiàn)象到幾何模型的數(shù)學(xué)抽象.這種時(shí)空對(duì)話式的導(dǎo)入設(shè)計(jì)，既培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題的敏銳度，又建立數(shù)學(xué)工具古今演變的認(rèn)知坐標(biāo)系.

核心探究環(huán)節(jié)采用“做數(shù)學(xué)”的沉浸式學(xué)習(xí)模式.學(xué)生分組操作“幾何實(shí)驗(yàn)箱”，對(duì)可變形三角形框架進(jìn)行角度鎖定與邊長(zhǎng)縮放，實(shí)時(shí)記錄數(shù)據(jù)并生成動(dòng)態(tài)比例圖表.通過對(duì)比全等變換與相似變換的參數(shù)差異，自主歸納“角度守恒、邊比協(xié)同”的數(shù)學(xué)規(guī)律.教師借助Geogebra軟件演示相似三角形家族譜系，當(dāng)相似比k值變化時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)生成周長(zhǎng)比k、面積比 k² 的立體函數(shù)圖像，將抽象性質(zhì)轉(zhuǎn)化為可視化的數(shù)學(xué)關(guān)系圖譜.在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷“猜想一驗(yàn)證一論證”的完整思維鏈條，不僅掌握判定定理的邏輯內(nèi)核，更深度理解相似比作為函數(shù)變量的數(shù)學(xué)本質(zhì).

能力遷移階段設(shè)置三級(jí)實(shí)踐任務(wù)：基礎(chǔ)層通過規(guī)范書寫證明過程強(qiáng)化符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)能力；進(jìn)階層解析山西應(yīng)縣木塔的斗拱結(jié)構(gòu)，利用相似三角形原理計(jì)算承重體系的力學(xué)分布；創(chuàng)新層開展“智慧校園縮微計(jì)劃”，運(yùn)用3D建模軟件將實(shí)體建筑轉(zhuǎn)化為等比數(shù)字模型，并通過激光測(cè)繪驗(yàn)證縮放精度.設(shè)置跨學(xué)科主題研討，如分析達(dá)·芬奇《維特魯威人》中的人體比例構(gòu)圖，探討藝術(shù)美學(xué)與幾何原理的深度融合.此類真實(shí)項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)工具從紙面演算到工程落地的完整轉(zhuǎn)化過程.

體系整合部分構(gòu)建“一縱一橫”認(rèn)知框架：縱向溯源從《九章算術(shù)》勾股測(cè)望到當(dāng)代衛(wèi)星遙感的技術(shù)迭代，梳理相似理論在人類認(rèn)知體系中的進(jìn)化軌跡；橫向通過概念拓?fù)鋱D聯(lián)結(jié)相似多邊形、位似變換及分形幾何等知識(shí)模塊，揭示比例原理在不同尺度空間的普適性.學(xué)生最終以“數(shù)學(xué)文化策展人”身份創(chuàng)作專題報(bào)告，對(duì)比解析古希臘幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的底層邏輯關(guān)聯(lián)，完成從知識(shí)掌握到文化理解的素養(yǎng)躍升.

4.2 設(shè)計(jì)理念解析

教學(xué)設(shè)計(jì)踐行“四能三會(huì)”素養(yǎng)培養(yǎng)機(jī)制：在“發(fā)現(xiàn)問題”維度，通過歷史難題與現(xiàn)代挑戰(zhàn)的認(rèn)知沖突激發(fā)探究動(dòng)機(jī)；“分析問題”環(huán)節(jié)依托數(shù)字化工具實(shí)現(xiàn)抽象關(guān)系的具象解構(gòu)；“解決問題”階段強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模與工程實(shí)踐的結(jié)合；“創(chuàng)新應(yīng)用”層面鼓勵(lì)學(xué)科交叉的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化.三會(huì)素養(yǎng)滲透于各環(huán)節(jié)AR可視化訓(xùn)練數(shù)學(xué)觀察的敏銳性，動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)推理的思維品質(zhì)，項(xiàng)目匯報(bào)錘煉精準(zhǔn)表達(dá)的學(xué)術(shù)能力.

技術(shù)賦能構(gòu)建新型學(xué)習(xí)生態(tài)：重塑\"觀察一猜想一驗(yàn)證一創(chuàng)造”的科學(xué)探究范式，通過古今測(cè)量技術(shù)的對(duì)比反思，引導(dǎo)學(xué)生洞察數(shù)學(xué)原理超越時(shí)代的永恒價(jià)值，在文化傳承中培育創(chuàng)新基因.

評(píng)價(jià)體系實(shí)現(xiàn)教一學(xué)－評(píng)閉環(huán)：采用三維度評(píng)估量表，過程性評(píng)價(jià)關(guān)注實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力，表現(xiàn)性評(píng)價(jià)側(cè)重項(xiàng)目成果創(chuàng)新度，發(fā)展性評(píng)價(jià)追蹤數(shù)學(xué)思維進(jìn)階軌跡，確保素養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)質(zhì)性落地.

5結(jié)語(yǔ)

融合APOS與HPM理論的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)前景廣闊.未來研究方向可聚焦于如何進(jìn)一步優(yōu)化兩者融合的教學(xué)模式，深人探索不同數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，APOS理論各階段與HPM理論的最佳結(jié)合點(diǎn).在教學(xué)創(chuàng)新方面可借助信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)更具沉浸感的數(shù)學(xué)史情境，讓學(xué)生身臨其境地感受數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷程.還可開展跨學(xué)科項(xiàng)自式學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)概念與歷史、物理等學(xué)科知識(shí)相融合，拓寬學(xué)生視野，提升綜合素養(yǎng).相信隨著不斷探索，這種教學(xué)模式將為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)帶來更多活力與創(chuàng)新，

【本文系2024年度合肥市教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“基于APOS一H理念的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式實(shí)踐研究\"（項(xiàng)目編號(hào)：HJG24205）的階段性研究成果】

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