最速降線

“最速降線”最早由伽利略提出：在兩個高度不同的點之間連接一個軌道，小球從高點沿軌道滾下，在不考慮摩擦力的情況下，問軌道呈什么形狀，小球能最快到達低點？

直覺告訴我們可能是沿直線，因為兩點間直線最短。但伽利略發現不是，他懷疑是一段圓弧，但又沒找到證明的方法，這個問題就這樣懸而未決。直到約翰·伯努利把它求證出來，他發現原來這應該是一條擺線——一個圓在地面上滾，圓上面的一點走過的軌跡就是一條擺線。

約翰發現在重力場下，小球走最快軌跡應該和光穿過一層層材質不同的玻璃一樣，連續發生折射，最后走出了一條擺線，因為光總會選擇最快的路徑。

“最速降線”告訴我們，最短的距離不見得用時最少；相反，應該先犧牲距離，獲得足夠的速度，最終反而能更快到達。

“最速降線”還是一條等時線，無論在這條軌道上的什么位置放開小球，到達終點所需時長都一樣。這似乎在暗示著：只要選對了路，無論早晚，都會成功。

（摘自微信公眾號“蔡爸談數學”）