淺析提高“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)質(zhì)量的一些方法

摘 要：“數(shù)學(xué)分析”是大學(xué)本科數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生的核心基礎(chǔ)課，如何提高課程教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平至關(guān)重要，這將直接影響到學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)和未來的職業(yè)發(fā)展。本文提出了一些通過預(yù)習(xí)來促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)并提高其教學(xué)質(zhì)量的思考。預(yù)習(xí)是學(xué)生對要學(xué)習(xí)的新知識自主開展的預(yù)先學(xué)習(xí)，學(xué)生在預(yù)習(xí)中對新的知識建立初步的感知和理解，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，能為上好課打好扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行有效的預(yù)習(xí)能進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。本文將結(jié)合已有預(yù)習(xí)案的設(shè)計，淺談利用預(yù)習(xí)案提高學(xué)生“數(shù)學(xué)分析”課程學(xué)習(xí)質(zhì)量的一些方法。

關(guān)鍵詞：預(yù)習(xí)案；數(shù)學(xué)文化；確界；數(shù)列極限；斂散性

中圖分類號：G642

“數(shù)學(xué)分析”作為師范類院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，其學(xué)習(xí)成果將影響學(xué)生的整個大學(xué)生涯甚至更遠(yuǎn)，由于具有抽象性、嚴(yán)密性和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，所以很多剛接觸“數(shù)學(xué)分析”的學(xué)生很難快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。而且，“數(shù)學(xué)分析”的學(xué)習(xí)水平對后繼課程如“實(shí)變函數(shù)”“復(fù)變函數(shù)”“常微分方程”“泛函分析”及“數(shù)學(xué)物理方程”的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。但地方師范類院校本科生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀卻很不理想，究其原因，一方面是學(xué)生初學(xué)階段很難將思維從初等數(shù)學(xué)的思考方式轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)的思考方式，事實(shí)上這一轉(zhuǎn)變需要一定的時間；另一方面是由于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力整體較差。本文將討論如何在“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生提高自主學(xué)習(xí)能力，通過預(yù)習(xí)案，學(xué)生能夠預(yù)先學(xué)習(xí)并完成一定的作業(yè)及思考題，并且也可將課程思政融入預(yù)習(xí)案，通過思政內(nèi)容提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。眾所周知，“數(shù)學(xué)分析”課程知識點(diǎn)多而雜，授課教師總感覺時間不夠，事實(shí)上我們完全可以通過預(yù)習(xí)案讓學(xué)生提前學(xué)習(xí)查找一些自己完全有能力自學(xué)的知識點(diǎn)，這將有助于教師節(jié)約時間并集中精力講解更重要和更難懂的知識點(diǎn)。

關(guān)于如何提高“數(shù)學(xué)分析”的教學(xué)質(zhì)量，眾多研究者已經(jīng)給出了一些方法和思考，如參考文獻(xiàn)［1—7］。事實(shí)上，關(guān)于將數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)課程甚至“數(shù)學(xué)分析”課堂中的研究也有眾多文獻(xiàn)，如參考文獻(xiàn)［8—13］。但是如何通過預(yù)習(xí)案提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的討論在大學(xué)本科階段比較少見，基本出現(xiàn)在基礎(chǔ)教育階段，但筆者認(rèn)為通過一系列的預(yù)習(xí)案督促學(xué)生提前思考問題，并帶著問題進(jìn)入課堂的教學(xué)效果是很顯著的。本文將首先給出一個完整的講解參考文獻(xiàn)［14］時的預(yù)習(xí)案，其次分析預(yù)習(xí)案各部分的主要內(nèi)容及設(shè)置原因，最后再總結(jié)近年來的一些思考和總結(jié)。

1 預(yù)習(xí)案案例——以集合的確界為例

1.1 章節(jié)及內(nèi)容

第一章第二節(jié)，內(nèi)容為數(shù)集和確界原理。

1.2 重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：確界的等價定義、嚴(yán)格定義及證明。難點(diǎn)：利用稠密性等工具證明數(shù)集的確界，理解確界和最大最小數(shù)的關(guān)系。

1.3 預(yù)習(xí)主要內(nèi)容

（1）數(shù)集和鄰域，寫出下列數(shù)集的定義及在數(shù)軸上畫出其圖像。①開區(qū)間；②閉區(qū)間；③半開半閉區(qū)間；④U（a，δ）；⑤U°（a，δ）；⑥U+°（a，δ）；⑦U-°（a，δ）。關(guān)于區(qū)間和鄰域你有什么困惑嗎？

（2）有界集和無界集的定義，并舉兩個有界集和無界集的例子（分別在R1和R2上）。

（3）數(shù)集確界的定義和你對確界定義的理解。

（4）設(shè)E是有界非空數(shù)集，maxE或minE一定存在嗎？

1.4 經(jīng)典習(xí)題及方法

（1）見參考文獻(xiàn)［8］第6頁例2：設(shè)S={x|x∈（0，1）∩Q}。證明：supS=1，infS=0。通過該例，理解掌握證明集合確界的方法。

（2）證明自然數(shù)集有下界而無上界。通過該例，理解掌握證明集合無界的方法。

（3）（0，1）的上確界是比1小的第一個數(shù)，這種說法對嗎？

1.5 數(shù)學(xué)文化

以代數(shù)結(jié)構(gòu)思想為例，群的概念首先是拉格朗日提出的，在探討代數(shù)方程的一般解時提出了置換群的概念，形成了群論的初步思想。拉格朗日給出了n≤4時，一元n次方程有根式解，而對n≥5時的無根式解的結(jié)果并沒有給出嚴(yán)格的證明，該結(jié)論的嚴(yán)格證明是由阿貝爾給出的，但阿貝爾的結(jié)論并不排除一些特殊的高次方程有根式解。高次方程有無根式解的問題是由伽羅華解決的，他引入了群論的思想，引入了一系列數(shù)學(xué)概念，包括群、極大正規(guī)子群、可解群、伽羅華群等。群論思想對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響：使代數(shù)學(xué)的研究進(jìn)入了一個從局部性的研究轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析研究的階段。自從群論產(chǎn)生以后，相繼產(chǎn)生研究各種結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支，如研究序結(jié)構(gòu)的格論；研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的拓?fù)鋵W(xué)；研究環(huán)和群的復(fù)合結(jié)構(gòu)的模論；研究同時具有幾種結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎蛄靠臻g、微分流形、纖維叢等，可以說結(jié)構(gòu)思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中最基本、最重要的思想之一。群論已成為解決數(shù)學(xué)難題的有力工具，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步統(tǒng)一。群論思想擴(kuò)大了數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用領(lǐng)域，促進(jìn)了其他科學(xué)的發(fā)展。

以上是一節(jié)課的完整的預(yù)習(xí)案，下面對預(yù)習(xí)案各部分進(jìn)行逐一說明。

第一部分是授課章節(jié)及本節(jié)的重難點(diǎn)。第二部分是預(yù)習(xí)主要內(nèi)容，這是學(xué)生主要需要完成的部分，大多學(xué)生完全可以通過讀書自行學(xué)習(xí)這部分知識點(diǎn)，基本是課本上的概念和簡單結(jié)論，一般我們還將在該部分讓學(xué)生提出各自在本節(jié)學(xué)習(xí)過程中的一些疑惑，我們將在授課過程中對一些相對比較集中的問題進(jìn)行解釋。第三部分是經(jīng)典習(xí)題及方法，其實(shí)，分析學(xué)中的很多基本方法都在眾多定理的證明和一些經(jīng)典習(xí)題中，在這一部分中我們將所授章節(jié)中的經(jīng)典例題和基本方法單獨(dú)羅列，使學(xué)生明白這些知識點(diǎn)對“數(shù)學(xué)分析”課程及后繼課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，這一部分也是該預(yù)習(xí)案的特色所在。最后，在每一個預(yù)習(xí)案的結(jié)尾給出一些數(shù)學(xué)文化小知識，主要介紹數(shù)學(xué)史上的奇聞趣事、數(shù)學(xué)大師介紹、數(shù)學(xué)分支介紹及數(shù)學(xué)前沿問題介紹等內(nèi)容。

2 預(yù)習(xí)案各部分設(shè)置背景及教學(xué)效果分析

筆者在此之前已結(jié)合預(yù)習(xí)案進(jìn)行“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)四年兩輪，現(xiàn)已形成了覆蓋“數(shù)學(xué)分析”課程所有教學(xué)內(nèi)容的近120份預(yù)習(xí)案。筆者在預(yù)習(xí)案的設(shè)計和利用預(yù)習(xí)案教學(xué)的過程中積累了一些經(jīng)驗(yàn)，主要有如下幾個方面。

（1）預(yù)習(xí)案中重難點(diǎn)的提供有利于學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，制訂適合自身的學(xué)習(xí)計劃。一般情況下，重難點(diǎn)都存在于教師的教案中，授課過程中告訴學(xué)生并按照重難點(diǎn)進(jìn)行課程安排，但通過預(yù)習(xí)案將重難點(diǎn)陳列給學(xué)生更有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。事實(shí)上要提煉出一節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)并不容易，這需要對知識點(diǎn)進(jìn)行深入思考并和同行進(jìn)行深入交流，最后才能總結(jié)出合理的重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容，如上述預(yù)習(xí)案中對確界原理一節(jié)中難點(diǎn)的提取。事實(shí)上，證明集合的確界的方法很多，而且不同的問題有不同的方法，但結(jié)合初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的不同特點(diǎn)，我們覺得利用稠密性證明集合的確界應(yīng)該是最核心的，因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)沒有提到稠密性的概念，所以我們應(yīng)該特別提出并安排學(xué)生多做訓(xùn)練，事實(shí)上這個知識點(diǎn)也是“數(shù)學(xué)分析”課程的核心知識點(diǎn)之一。對于部分章節(jié)的教學(xué)重難點(diǎn)，我們?nèi)栽谟懻撎剿髦校覀円部梢愿鶕?jù)實(shí)際情況進(jìn)行修改凝練。

（2）預(yù)習(xí)內(nèi)容是預(yù)習(xí)案的主要內(nèi)容，有利于學(xué)生提前學(xué)習(xí)，并通過讀書帶著自己不懂的問題聽課，這樣目的更明確，聽課效果更好。以前，授課教師總糾結(jié)于“數(shù)學(xué)分析”課程知識點(diǎn)太多太雜，上課時間不夠用，通過該部分內(nèi)容，我們完全可以放手讓學(xué)生完成自己可以完成的部分，這樣一方面可以節(jié)省時間，另一方面可以讓學(xué)生聽課更有效率。三年的教學(xué)過程中，最讓筆者驚訝的是學(xué)生在提出自己疑惑時的創(chuàng)造力和創(chuàng)新思維，有些問題是我們所無法想象的，有些問題也是我們始料未及的。比如，有些學(xué)生認(rèn)為（0，1）的上確界是比1小的第一個數(shù)，對于一個只有初等數(shù)學(xué)知識的學(xué)生而言，經(jīng)過思考能得到這樣的結(jié)果是讓教師感到很欣慰的，因?yàn)閷W(xué)生確實(shí)經(jīng)過了思考。再比如，《數(shù)學(xué)分析（下冊）》中的反函數(shù)和隱函數(shù)存在定理，由于其抽象難懂，通過經(jīng)典教學(xué)方法很難讓學(xué)生學(xué)明白這些內(nèi)容。通過預(yù)習(xí)案中的提問環(huán)節(jié)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生預(yù)習(xí)完之后提出來一些我們沒有想到的、但事實(shí)上是一些很本質(zhì)的問題。比如，給出一個隱函數(shù)或隱函數(shù)組之后它最后到底確定了什么？為什么要用這種方式給出其表達(dá)式？隱函數(shù)存在定理冗長，應(yīng)該如何合理使用該定理？帶著這些問題對學(xué)生講授課程，尋找更直觀的方式幫學(xué)生解釋這些問題讓我們覺得更能提高教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在教師的講授過程中能得到自己提出的疑惑的答案，自然也聽得更認(rèn)真仔細(xì)。

（3）經(jīng)典習(xí)題和方法部分主要是總結(jié)本節(jié)課中一些重要的結(jié)果及證明方法，這些方法的積累及對這些經(jīng)典例題的分析將對“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)起到事半功倍的作用。事實(shí)上，《數(shù)學(xué)分析》教材中的很多例題有其深刻的背景，其解決方法也包含了分析學(xué)中的基本而重要的技巧。比如，在《數(shù)學(xué)分析（下冊）》多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)中，很多課本例題和課后習(xí)題都來源于《數(shù)學(xué)物理方程》，而且對這些問題稍做分析和引申即可將其引入熱傳導(dǎo)方程和反應(yīng)擴(kuò)散方程、波動方程以及橢圓方程和極小曲面方程中，而這些問題都是現(xiàn)代科技的重要基礎(chǔ)。還有就是很多證明和解題技巧，如加項(xiàng)減項(xiàng)技巧、截斷技巧、適當(dāng)放縮技巧等，這些技巧在很多后續(xù)課程中都能用到，甚至學(xué)生在今后研究生階段的學(xué)習(xí)和科學(xué)研究中都可以用到，但如果不單獨(dú)列出來很難引起學(xué)生的注意，所以這部分內(nèi)容對提高學(xué)生的分析能力和水平很有幫助。

（4）最后一部分是數(shù)學(xué)文化，這部分對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣至關(guān)重要。數(shù)學(xué)是枯燥和乏味的，其部分定義比較晦澀，缺乏生動性。教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)在講解很多基礎(chǔ)內(nèi)容時學(xué)生很難有興趣。但通過數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史中的很多富有傳奇色彩的數(shù)學(xué)家的故事，以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并能幫助學(xué)生建立對數(shù)學(xué)的自信和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。該部分內(nèi)容主要是讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)之趣、數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)之用。比如，上述數(shù)學(xué)文化部分介紹了代數(shù)結(jié)構(gòu)思想的來源和應(yīng)用。與之類似的還有其他一些數(shù)學(xué)思想的介紹，如微積分思想、隨機(jī)數(shù)學(xué)思想及模糊數(shù)學(xué)思想等。對于一個大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生而言，這些思想的了解對其綜合素質(zhì)的提升至關(guān)重要，可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣并對其建立遠(yuǎn)大的目標(biāo)幫助很大。

3 結(jié)語與展望

筆者已進(jìn)行了三年結(jié)合預(yù)習(xí)案的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)，三年期間效果顯著，部分學(xué)生明顯在課堂上能帶著問題聽講，教學(xué)效果也明顯發(fā)生了變化。未來，我們還希望對預(yù)習(xí)案進(jìn)行優(yōu)化更改，一方面思考提取更準(zhǔn)確的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，重難點(diǎn)的精準(zhǔn)把握有利于學(xué)生分配學(xué)習(xí)時間，掌握正確的學(xué)習(xí)方向；另一方面優(yōu)化預(yù)習(xí)內(nèi)容，加入更適宜學(xué)生能力水平的問題。將一節(jié)課需要講的內(nèi)容中最基本的、可以自己掌握的內(nèi)容列出，讓學(xué)生自己在課本中尋找。比如《數(shù)學(xué)分析》基本初等函數(shù)部分，由于高中基本不講正割余割函數(shù)，也不講反三角函數(shù)，而學(xué)生通過自學(xué)完全可以掌握這些知識，但如果要授課教師全在課堂上講解的話費(fèi)時費(fèi)力，不如將這些知識全部安排成學(xué)生自學(xué)，教師只需要收集學(xué)生的疑惑并解答疑惑即可。最后，將一節(jié)課的內(nèi)容分為基本知識、必須理解的知識和提高知識三部分。以數(shù)學(xué)極限部分為例，其中基本知識為學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，內(nèi)容相對簡單，主要是課本上的基本概念、基本結(jié)果和簡單計算，如數(shù)列極限中的ε-N定義、數(shù)列極限的基本計算方法等。必須理解的知識主要是面向期末考試的水平，主要是一些必須掌握的計算方法和證明方法，如數(shù)列極限中的利用ε-N定義證明數(shù)列的極限，利用單調(diào)有界原理和迫斂性判斷數(shù)列極限的存在性等。提高知識主要面向考研和參加數(shù)學(xué)競賽水平的知識點(diǎn)，如利用柯西收斂準(zhǔn)則判斷數(shù)列極限是否存在，利用柯西命題和施篤爾茨公式判斷數(shù)列的斂散性并求數(shù)列的極限，以及斯特林公式與沃利斯公式的使用等。這樣將可以使學(xué)生學(xué)習(xí)的時候更富有層次感，因?yàn)閷τ跍?zhǔn)備考研的學(xué)生和數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的學(xué)生而言，“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)可能是一個漫長的過程，而且不能急于求成，需要一遍一遍地學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)促提高，這種將知識點(diǎn)分層次的方法可以幫助他們明確各階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

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作者簡介：彭聰明（1980— ），男，漢族，甘肅天水人，博士研究生，副教授，研究方向?yàn)榉蔷€性Schrdinger方程。