應用自適應節點生成物理信息網絡計算地震波旅行時

摘要：求解程函方程能夠獲得震源定位、層析成像等地球物理反演所需的地震波旅行時，常用算法包括快速推進法（FMM）和快速掃描法（FSM）等。物理信息神經網絡（PINN）是一種新穎的無網格方法，可將偏微分方程中的微分形式約束條件融入到神經網絡的損失函數中，從而獲得帶物理信息約束的神經網絡。文中聚焦訓練過程中的節點優化配置，采用基于殘差分布的自適應采樣方法改善PINN的訓練效果，提出了基于自適應節點生成的物理信息網絡旅行時計算方法。Marmousi模型和起伏地表模型的測試結果均表明，該方法相較于固定節點生成方法具有更穩定的訓練過程并且旅行時計算結果能保持較高的精度。

關鍵詞：旅行時計算，程函方程，物理信息神經網絡（PINN），殘差，自適應節點生成，無網格方法中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.20240086

Traveltime calculation method with physics-informed neural network byresidual-based adaptive node generation

TANG Jie12， WANG Haicheng12，FAN Zhonghao12，PAN Deng12，REN Limin3，ZHANG Jingdong （1.SchoolofGeosciencesChina UniversityofPetroleu（EastChia）Qingdao，hndong2658O，Chna;2.Laboratoryforie MineralResourcesQingdaoNationalLaboratoryforMarineScienceand TechnologyQingdao，Shandong 266071，China ;3.BGP Equipment，CNC，Zhuozhou，HebeiO751，China;4.GeologicalResearchCenterGPIc.，ZhuozhouCNPC，HebeiOCina）

Abstract： Seismic wave traveltime information required for geophysical inversion such as source localization and tomographic imaging can be obtained by solving the eikonal：equation. Common algorithms for this purpose include the fast marching method （FMM） and the fast sweeping method （FSM）.Physics-informed neural network （PINN） is a novel mesh-free method that incorporates the constraints of partial differential equations into the loss function of the neural network，thus embedding physical information into the network. Focusing on optimizing node distribution during training，this study adopts an adaptive sampling strategy based on residual distributio to improve the training performance of PINN and proposes a travel-time calculation method using PINN with adaptive node generation. Application tests on the Marmousi model and an iregular topography model show that， compared with the fixed node-generation method，the proposed approach yields a more stable training process and maintains high accuracy in traveltime calculations.

Keywords：traveltime calculation，eikonal equation，physics-informed neural network（PINN），residual，adaptive nodegeneration，mesh-free method

唐杰，王海成，范忠豪，等，應用自適應節點生成物理信息網絡計算地震波旅行時[J].石油地球物理勘探， 2025，60（4） ：840-851. TANG Jie， WANG Haicheng，FAN Zhonghao，et al.Traveltime calculation method with physics-informed neural network by residual-based adaptive node generation[J]. Oil Geophysical Prospecting，2025，60（4）：840-851.

0 引言

波初至旅行時，是地震資料處理和成像所需的重要信息[1-3]。傳統的程函方程求解主要有兩種常用算法，分別是快速推進法（FastMarchingMethod，FMM）和快速掃描法（FastSweepingMethod，程函方程（EikonalEquation）常被用來計算地震

FSM）。Sethian4采用迎風差分格式離散程函方程，再通過FMM計算旅行時分布。FSM將旅行時場傳播方向分成多組，對每組分別利用Gauss-Seidel迭代方法求解離散化后的方程[5-6]。這兩種方法都能夠計算初至旅行時，但是對于結構復雜模型，在精度和計算效率方面仍有提升空間。

近年來，深度學習方法得到了廣泛的研究及應用。神經網絡可以看作一個通用的非線性函數逼近器[]，使用神經網絡求解偏微分方程（Partial Dif-ferentialEquation，PDE）亦成為研究熱點[8-9]。Raissi等[10開發了基于物理信息神經網絡的深度學習框架，可用來求解PDE。Smith等提出了一種求解程函方程的深度學習網絡EikoNet，能夠獲得三維速度結構中的初至旅行時場，但是在高維情況下面臨計算效率和精度的挑戰。Waheed等12將因式分解后的程函方程結合物理信息網絡計算旅行時，需利用局部自適應激活函數提高網絡收斂效果和旅行時求解精度，如果激活函數設計不合適，會影響在復雜地形條件下收斂效果。Grubas等[3提出一種求解程函方程的全連接網絡架構，可以在存在焦散情況下保證旅行時求解的穩定性，但計算復雜度較高。

物理信息神經網絡（Physics-InformedNeuralNetworks，PINN）將非線性微分方程編碼為神經網絡框架的一個組成部分，將PDE中的微分形式作為約束條件融入神經網絡的損失函數，從而獲得帶物理機制約束的神經網絡[14]。這樣訓練出來的神經網絡不僅能夠逼近觀測數據，而且能夠滿足PDE所遵循的物理規律[15]。PINN求解程函方程是一種無網格方法，需要選取節點進行訓練，節點的選取方法會影響網絡的應用效果，以往的研究對于節點選取方法分析較少。近年來國內外學者開發了許多節點生成方法，如基于重要性的采樣和加權采樣方法等[16-17]。Das 等[18]比較了PINN的幾種常用節點生成方法，結果表明Hammersley采樣方法與其他方法相比具有明顯優勢。Peng等[19]引入了具有局部規則性的變密度節點生成方法，能夠自適應地生成具有可變密度的局部準均勻節點。但這兩種節點方法并未用于物理信息網絡的旅行時計算。此外，物理信息網絡旅行時計算在訓練階段通常保持訓練節點位置不變，沒有考慮訓練過程中殘差的空間分布特征，導致部分區域的計算結果存在較大偏差。

針對PINN計算旅行時固定節點分布導致的局部誤差過大的問題，本文提出了一種基于殘差分布的自適應節點細化調整方案。對于復雜速度模型，基于該方案使用PINN求解程函方程，能夠有效獲得高精度的旅行時結果，模型測試驗證了該方法的有效性。

1理論

1.1 程函方程因式分解

程函方程可用于計算高頻近似下的地震波旅行時。對于各向同性速度模型，程函方程可表示為

式中： τ 為地震波旅行時； ?=（?_x，?_y） 為空間坐標 x 處的梯度算子； v（x） 為速度模型。該方程定義了受震源位置 x_s=（x_s，y_s） 處旅行時 τ（x_s）=0 約束的固定震源在速度模型 v（x） 中的初至波旅行時場。

具有單個隱層和有限個神經元的神經網絡可以用來表示任意精度的有界連續函數。對于程函方程而言，物理信息網絡將模型的空間位置信息以及速度信息轉化為旅行時信息。

程函方程的解在源點處的奇異性會降低該區域解的精度[20-21]。使用因式分解方法可以避免這一問題[22-23]。將旅行時分解為兩個函數，其中一個函數是解析指定的，另一個函數在源鄰域中是光滑的，即

式中： R=|x-x_s| 為距離變量，即模型速度為1時的解 ;f（?） 是神經網絡輸出 ，f（x） 表示位置 x 處的神經網絡預測的結果； γ（?） 是邊界函數，即非均勻性導致的小偏差。由于做了因式分解，所以將 和 R 相乘后得到 x 處的旅行時。

考慮到旅行時必須為正，即 τ（x）gt;0，?x≠x_sc （204號由于 R?0 ，則邊界函數 γ 必須始終是正的。假設單位速度為最小值，那么 R 限制了 γ 值域為 （0，1] 任何速度模型都有速度范圍 v_minmax ，即允許用范圍 [1/v_max，1/v_min] 約束 γ ，則限制了旅行時解的范圍 τ∈[R/v_max，R/v_min]， ，即限制在最快和最慢的解之間，這種方法能夠加快物理信息網絡的訓練效率。

邊界函數滿足

（3）式中 σ 可以是在[0，1]范圍內定義的任意函數，本文選取

1.2基于殘差分布的自適應節點調整

PINN將PDE作為神經網絡的物理約束。與經典計算方法相比，需要平衡神經網絡的逼近誤差和泛化誤差。其中逼近誤差主要來自神經網絡的逼近能力，泛化誤差是模型對未知數據的預測能力，主要與訓練中參與計算損失函數的節點有關[24-25]。PINN在選擇殘差計算節點方面有很大的靈活性，以往的做法是在訓練開始時選擇固定的節點位置，可以是規則網格點或隨機點，在訓練過程中不再更改它們的位置。殘差通常在計算域中隨機分布，但對于某些區域呈現陡峭梯度的PDE，殘差會出現分布異常，需要在陡峭梯度區域及附近布設更多的節點，即對殘差較高的區域進行細化，通過引入具有局部規則性的變密度節點生成方法改進訓練節點的分布，能夠在使用相同數量訓練節點的情況下獲得更精確的結果。

固定節點的生成方法包括隨機采樣和Hammersley采樣。隨機采樣方法在指定范圍內隨機生成點，由于點的位置隨機，可能會出現點聚集或空白區域。隨機采樣方法適用于對點分布均勻性要求不高的情況。Hammersley采樣是一種準隨機采樣方法，生成的點能更均勻地覆蓋整個采樣區域，并且在空間分布上更有規律，能夠有效減少采樣點之間的間隙和重疊。

給定樣本的總數為 N ，可以生成在 [0，1]× [0，1]分布的二維點集。Hammersley法生成的二維點集滿足

式中： 為樣點序號， a_m 是 i 用二進制表示時的各個系數，即 i= a₀+a₁×2+a₁×2²+…+a_n×2^m 。根據具體的模型尺寸可以對節點與節點之間的距離進行縮放。

基于殘差分布的自適應節點調整方案將殘差分布與計算域中動態改變采樣半徑的方法相結合，能夠在訓練過程中基于殘差分布動態改變節點的位置和密度，進而能夠局部細化高殘差區域上的節點密度，改進PINN訓練效果。本文采用Fornbergamp;Flyer法生成基于殘差分布的自適應節點。該方法是一種變密度的網格節點生成方法，在殘差大處節點密集，在殘差小處局部節點稀疏2，即節點間距隨殘差的變化調整，同時能避免節點分布過稀或過密。變密度網格節點生成的步驟如下。

（1）如圖1a所示，隨機將矩形中的一些節點初始化為潛在點集 A ，并將所選節點集 B 初始化為空集。隨后在潛在節點集 A 中找出 y 軸方向最低的節點標紅，并將該點作為一個新的點添加到節點集 B 中。

（2）如圖1b所示，以在步驟（1）中所選中的節點為中心，通過其左右兩側的兩個相鄰點確定一個圓，圓的半徑可控制生成節點的密度。

（3）如圖1c所示，保留作為圓心的節點，刪除該圓內其他所有節點。在該圓的上半圓周上生成5個新的等間距節點，并將它們添加到點集 A 。

（4）重復上述（2）、（3）步，直到所選的節點數超過上限。

圖1Fornbergamp;Flyer法節點生成示意圖

節點處殘差的絕對值越大，表示節點附近的區域越需要細化。由于殘差的范圍可能變化很大，首先將殘差值標準化為 [0，1） 之間的數ε。采樣半徑函數直接控制Fornbergamp;Flyer算法在每個位置的生成半徑 h

采樣半徑 h 能夠控制局部節點密度，而采樣參數r 和 s 決定了最大和最小生成半徑。比率參數 r 控制最大與最小半徑的比率，從而確定最大與最小密度的比率，且 。縮放參數 s 控制半徑的總體縮放。標準化殘差 控制采樣半徑函數 h ，殘差大的位置的采樣半徑較小，節點密度更高；殘差小的位置處的采樣半徑較大，節點密度較低。

根據網絡輸出的殘差調整節點生成半徑，從而在殘差值較高的區域生成更多節點，在殘差值較小的區域生成較少節點。圖2為三種不同的采樣方式生成1000個節點獲得的節點分布，節點分布的密度大小由核密度估計值體現。核密度估計值通過高斯核平滑技術，估計每個點周圍的概率密度，其值越大，表示該點附近的樣本點越密集。當然，從樣本點的分布也可以看出不同位置樣本點的疏密程度。可見，除了隨機節點分布以外，Hammersely方法生成的節點分布比較均勻，但仍存在局部聚集現象，而Fornbergamp;Flyer方法生成的節點不僅更加均勻，而且節點的生成半徑可以根據具體需求調整，是最理想的方法之一。

圖2三種方法產生的節點分布對比

1.3 自適應節點調整的物理信息網絡

本文將自適應節點調整策略應用于求解程函方程的物理信息網絡，提出了一種基于殘差分布的自適應節點生成物理信息網絡（Residual-basedAdaptive-nodePhysics-informedNeural Network，RAN-PINN）。物理信息網絡計算程函方程的優勢在于訓練完成之后可以反復利用網絡獲得旅行時信息。RAN-PINN在物理約束條件下訓練網絡，調整網絡的權重和偏差，使解在給定訓練點集上的損失函數最小化，能夠減小較大的殘差，改善物理信息網絡的旅行時計算效果。圖3為針對因式分解程函方程設計的物理信息網絡旅行時計算的原理示意圖。

圖3RAN-PINN旅行時計算原理示意圖

RAN-PINN首先通過自適應節點方法初始化訓練節點，然后將訓練節點輸入全連接網絡，利用神經網絡作為函數逼近器的能力求解程函方程，根據PDE殘差分布自適應調整訓練節點，對殘差較大的區域進行重點訓練。定義的損失函數是在選定的一組訓練節點上最小化PDE殘差。式（3）的約束使得旅行時滿足邊界條件，損失函數只需要考慮程函方程。本文采用的損失函數為

式中： x_rc 是選定的配置節點； N_rc 是選定的配置節點數； q=2 時采用 L₂ 范數， q=1 時采用 L₁ 范數。節點生成模塊根據損失函數在每一輪訓練開始時生成新的計算節點，直到平均殘差小于給定的閾值 ε ，完成訓練并輸出旅行時 τ（x_rc） 。

2 模型測試

本文使用兩個模型驗證程函方程依托物理信息網絡計算旅行時的可行性及精度。

2.1垂向速度梯度模型

首先驗證本文方法的有效性。圖4a為一個具有恒定垂向速度梯度的模型，尺寸為 2km×2km ，垂向速度梯度為 0.5s^-1 ，橫向速度變化為0，震源位于中心處（圖4a黑星所示）。該模型的旅行時場解析解為

式中 g_v 和 g_h 分別表示垂直和水平方向的速度梯度。圖4b為旅行時解析解，圖4c為傳統FMM方法計算的旅行時，其中網格間距為 5m 。由圖4可以看出，對于恒定速度梯度模型，傳統的FMM方法能得出較高精度的旅行時解，因此本文將選用FMM方法求得的旅行時解與PINN解對比。圖5a和圖5c分別展示了隨機采樣、Hammersley采樣生成的節點分布，圖5b和圖5d分別為基于兩種固定節點分布的物理信息網絡解與FMM解的旅行時對比，兩種方法的結果均能夠有效地計算旅行時分布，盡管PINN的訓練過程中只使用了2500個訓練點，但能夠有效地獲取旅行時解。

圖4垂向梯度速度模型（a）的解析解（b）與傳統FMM方法計算結果（c）的對比

本文模型測試選取的全連接網絡包含4個隱藏層，每層70個神經元，針對固定節點分布的情況，一旦對網絡進行了訓練，就可以在一個規則的網格上評估網絡。圖6a為RAN-PINN第1次訓練后的PDE殘差分布、節點分布以及計算的旅行時，圖6b為第100O次訓練后的PDE殘差分布、節點分布以及計算的旅行時。隨著RAN-PINN的訓練，神經網絡會根據式（7）計算的PDE殘差來調整節點分布，新生成節點逐漸聚集到誤差較大的區域；并且隨著訓練次數的增加RAN-PINN的解會逐漸擬合解析解，同時二者之間的誤差也會減小。新生成的節點局部密度能夠根據當前PDE殘差自適應地變化，自適應采樣方法收斂速度快，細化局部區域將減少局部區域PDE殘差，一旦局部殘差減小則局部區域的節點密度也會自適應地減小；如果局部PDE殘差在幾次迭代中再次增加，將在該區域中再次采樣更多節點。

本文用相對平均絕對誤差（RMAE）評價旅行時計算精度

式中： N_rc 是選定的配置節點總數； τ_ref（x_rc，i） 為第 i 個節點旅行時解析解或者采用FMM計算的數值解；τ（x_rc，i） 為第 i 個節點采用RAN-PINN計算的旅行時。

PINN采用隨機采樣、Hammersley采樣和本文的自適應生成節點在網絡訓練5000次后的輸出旅行時的RMAE分別為 0.2506%0.2505% 和0.2494% ，可見，采用基于殘差分布的自適應節點生成物理信息網絡誤差更小。

圖7a給出了不同節點分布情況下的損失函數隨迭代次數的變化曲線。可見對于簡單模型，三種節點分布都能獲得較好的訓練結果。圖7b給出了自適應節點方法在迭代過程中使用的節點數變化，在PINN訓練過程中，可以于任意階段設置一組新的節點，而不是在訓練期間使用相同的節點。本文每500次迭代根據殘差分布調整一次節點分布（如圖7b所示），模型測試時使用的GPU型號為3060ti，迭代5000次所耗時間為 2min16.8s ，訓練所需時間與FMM、FSM求解程函方程所需時間相比還是可以接受的，并且隨著GPU算力的提高訓練網絡的時間還會有進一步的縮短。

圖5垂向梯度速度模型兩種固定節點分布物理信息網絡解的對比

圖6垂向梯度速度模型RAN-PINN第1（a）和第1000（b）次迭代后的PDE殘差分布（左）、節點分布（中）以及旅行時分布（右）

7垂向梯度速度模型三種節點生成方法的網絡損失函數變化曲線（a）及RAN-PINN的節點數隨迭代過程變化曲

2.2Marmousi模型

當模型結構復雜時，PINN的計算精度會有不同程度的下降。使用Marmousi模型（圖8a）測試RAN-PINN的計算精度，并與傳統FMM的結果進行對比。模型尺寸為 3.5km×3.5km ，震源位于模型中心處。圖8b為采用FMM計算得到的旅行時。在PINN求解不同PDE的應用中，損失函數通常采用 L₂ 范數（即 q=2， ，但 L₂ 范數適用于正態高斯分布的誤差。對于任意非均勻速度模型，誤差分布可能不是高斯的。在回歸問題中，假設誤差具有隨機拉普拉斯分布， L₁ 范數（平均絕對誤差，即 q=1， 0可以提供對異常值魯棒的解。針對非均勻介質本文采用 L₁ 范數自標函數作為損失函數。

圖9給出了采用兩種固定節點方法生成的節點分布、PINN計算的旅行時以及PDE殘差分布。由圖可知，在模型復雜時，由于PINN存在譜偏差，會導致得到的PDE殘差相對于圖6b中平滑模型的PDE殘差大。比較FMM和PINN計算的旅行時等值線分布可知PINN計算的旅行時精度較高。

為了分析訓練節點數對網絡性能的影響，使用不同節點數對PINN進行訓練，計算旅行時的RMAE如表1所示。由表1可知適當的增加節點數量進行PINN訓練能夠減小不同節點分布方法的RMAE。針對復雜模型的物理信息網絡旅行時計算在構造數據集時，需要使用足夠數量的訓練樣本。對于平滑變速模型的測試，選擇總網格點可相對較少；而對于復雜模型，則需要選擇相對較多的網格點。

圖8Marmousi速度模型（a）及傳統FMM計算的旅行時（b）

圖10為Marmousi模型的自適應節點迭代調整過程，隨著網絡的不斷訓練，模型中各點的PDE殘差值在不斷減小，模型迭代后生成的節點更集中地分布在模型中速度分界面處。RAN-PINN能夠對PDE殘差較大的區域進行更密集的采樣。本文模型測試采用自適應節點生成方法的RMAE為0.7102% ，相較于兩種固定節點生成方法（見表1），其計算精度有所提升。當然，與傳統的數值求解方法相比，該方法的實際計算優勢取決于許多因素，包括網絡結構、優化超參數和采樣技術等。

本文采用的RAN-PINN在訓練過程中的節點數目可以根據殘差的分布自適應調整，無需人工參與，且實際采用的節點數目相對較少，能夠加快訓練速度。在Marmousi模型測試中，采用隨機和Hammersley這兩種固定節點生成方法的PINN訓練時間分別是190s和186s，而采用自適應節點生成方法的RAN-PINN的網絡訓練時間是 136s 。圖1la為不同節點分布情況下的損失函數曲線對比，可見，基于殘差分布的自適應節點生成物理信息網絡收斂速度相對較快。圖11b為自適應節點方法在迭代過程中使用的節點數變化曲線，開始使用了較多的節點，后續節點數目可以適當減少，以便節省訓練時間。

圖9Marmousi模型隨機（a）和Hammersley（b）方法的節點分布（左）、PINN計算旅行時（中）及PDE殘差分布（右）

圖10Marmousi模型本文自適應方法在第1（a）、第500（b）、第5000（c）次迭代后的PDE殘差分布（左）生成的節點分布（中）以及RAN-PINN計算的旅行時（右）的對比

表1兩種固定節點生成法節點數對PINN計算旅行時的影響分析

不同網絡架構的旅行時計算精度不同，通過改變隱藏層的數量和每個隱藏層中神經元的數量可以實現不同精度的旅行時計算。圖12為不同網絡架構的旅行時計算結果對比，表2給出了物理信息網絡預測解和FMM解之間的RMAE。可見，隨著層數和神經元數量的增加，網絡能夠近似更復雜的函數，計算精度也隨之提高。

圖11Marmousi模型三種節點生成方法網絡損失函數變化曲線（a）及RAN-PINN的節點數隨迭代過程變化曲線（b）

圖12Marmousi模型不同網絡架構的計算旅行時對比

表2不同網絡參數的RMAE對比

3 PINN全局特征分析

大多數基于有限差分的程函方程計算方法都受到所謂的一階收斂精度的影響，需要較小的網格間距以提高精度和穩定性。此外，通常需要從旅行時值及速度信息已知的點開始計算，并逐漸擴展波前以覆蓋整個區域，這意味著需要整個域的所有速度信息。而PINN具有全局特征解，只需要對計算域中總網格點的一部分進行訓練就可以可靠地預測旅行時。

3.1有限區域點模型

PINN具有外推插值能力，能夠在非間隙區域內精確地求解旅行時。使用斜向梯度速度模型（圖13a）分析神經網絡能否準確計算間隙中的旅行時。模型尺寸為 2000m×2000m ，垂向梯度為 0.5s^-1 橫向梯度為 0.4s^-1 ，震源位于模型中心。設置兩種含有速度間隙的模型（該區域不選擇訓練節點）如圖13b和圖13c所示。圖14給出了不同情況下的節點分布以及旅行時計算結果。由圖可知，PINN可以使用具有間隙的速度模型計算旅行時場，具有克服速度信息缺失的能力。當然，旅行時計算的不確定性會隨著間隙的增大而增加。間隙模型1的旅行時RMAE為 0.2460% ，間隙模型2的RMAE為0.2477% 。

圖13斜向梯度速度模型（a）及其含有間隙模型1（b）和模型2（c）

圖14斜向梯度速度模型RAN-PINN的節點分布（a）及其計算旅行時與解析解和FMM旅行時的對比（b）左：完整模型；中：含間隙的模型1；右：含間隙的模型2

3.2起伏地表模型

在陸上地震勘測中地表通常不平坦。圖15為一個起伏地表速度模型，震源位于黑星處。傳統求解方法是將笛卡爾坐標系轉換為曲線坐標系，以數學方式展平自由表面。但是這種方法增加了額外的計算成本，而且當地形急劇變化時可能導致計算不穩定。圖16為本文方法第1次和第500次迭代的節點分布和計算旅行時分布，通過逐步迭代，起伏地表附近的節點分布逐漸變密，能夠更好地適應起伏地表情況，與第1次迭代相比，第500次迭代的旅行時分布變得更加準確。與傳統方法相比，基于PINN的方法作為一種無網格方法，在處理起伏地表模型旅行時計算問題時，PINN不需要任何特殊處理，僅使用自由表面下方的節點訓練和評估網絡即可。

圖15起伏地表模型

圖16起伏地表模型本文方法第1（a）、第500（b）次迭代時生成的節點分布（左）、計算的旅行時分布（右）

4結論

不依賴地形，在起伏地表模型中不需要調整坐標系即可獲得穩定、準確的旅行時場。

本文提出了一種基于殘差分布的自適應節點調整、使用物理信息網絡（RAN-PINN）求解各向同性介質程函方程的旅行時計算方法，對于復雜速度模型能獲得穩定和準確的結果，有效減少誤差，得出的主要結論如下。

（1）基于神經網絡求解程函方程能夠通過將PDE嵌入損失函數來預測旅行時，利用神經網絡作為通用函數逼近器的能力，最小化在選定節點上的殘差分布。與純數據驅動的學習神經網絡相比，PINN在訓練過程中施加了物理信息約束，得到的結果能夠滿足偏微分方程中包含的物理約束。

（2）基于殘差的自適應節點生成方法通過引入變密度節點生成方法，能夠改進訓練點采樣和分布并提高旅行時的計算精度。

（3）由于PINN具有全局特征解，因此本文方法

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（本文編輯：宜明理）

作者簡介

唐杰副教授，1980年生；2003年獲中國科技大學地球物理專業學士學位；2008年獲中國科技大學地球物理專業博士學位；現在中國石油大學（華東）地球科學與技術學院主要從事深度學習與地球物理反演等方面的研究。