紙盒折邊機折紙段凸輪連桿機構的優化設計

中圖分類號：TH122；TH112 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.08.020

0 引言

在凸輪連桿組合機構的設計中，為使機構以最佳狀態運行，需要對各部分的尺寸和相對位置進行優化設計。目前常采用優化算法進行機構設計，周紅妮等采用多目標遺傳算法（NSGA-Ⅱ）實現了汽車前橋轉向機構的多目標優化。李秀蘭等2采用修正的遺傳算法對目標函數進行了全局搜索，獲得了最佳的凸輪輪廓和連桿長度。顧寄南等3以曲柄齒輪齒條的齒輪擺角、齒輪角加速度以及齒輪齒條重合對為優化目標，運用NSGA-Ⅱ算法對設計參數進行了多目標優化，并從解集中確定了最優設計方案。

為獲得設計合理、結構緊湊的擺動從動件凸輪機構，華大年4基于類速度圖提出了根據許用壓力角設計最小尺寸擺動從動件平面凸輪的解析法。常勇等[5-6]對他提出的解析法進行了注記和補充，提出了華大年方法的適用范圍和不適用情況的產生原理。

在一款高檔紙盒的生產中，需要將過膠后的紙盒面紙的包邊側翻折 180^° ，并精確貼合到內側的灰紙板上7，針對該需求設計的紙盒折邊機采用凸輪連桿組合機構，使用2個凸輪推動連桿機構實現預定的工藝動作。本文針對紙盒折邊機的折紙段凸輪連桿機構進行設計，該機構采用凸輪擺桿與平面連桿組合從而實現預定的動作。在已知推桿運動規律和凸輪許用壓力角的條件下，結合凸輪許用壓力角設計最小尺寸的凸輪擺桿機構，并根據NSGA-Ⅱ優化算法對擺桿轉角、凸輪與擺桿中心距等參數進行多目標優化設計，從而獲取最優的結構設計方案，最終通過編制程序驗證設計的正確性。

1折紙段凸輪連桿機構的設計

圖1（a）所示為圍條未折邊時的狀態，即圍條底部和面紙初步貼合的狀態；圖1（b）所示為由上料機械手將未折邊圍條放到工位上進行預折邊的圍條；圖1（c所示為面紙包邊貼合到圍條后的狀態。

折紙段凸輪動作過程可分為推程段、遠休止段、回程段和近休止段4個部分，即將鏟刀由 M 點推到 N 點并返回，如圖2所示（虛線表示連桿機構部分最終位置），其中 O₂ 點位于 X 軸上， B 和 B^′ 點在同一豎直線上，其坐標分別為 B（130.12mm ， -51.65mm ）、

B^′（130.12mm，51.65mm） O₂A 與 O₂B 共線。其中未知的量有： O₁ 點 ，O₂ 點的位置，擺桿 O₂B 的長度以及 O₂ 點到滾子 A 的距離。

1）推程段。凸輪轉動從而推動滾子 A 帶動擺桿O₂B 繞 O₂ 點轉動，通過各個連桿推動鏟刀移動，當 B 點轉動到 B^′ 點時，鏟刀向前移動并完成面紙折邊動作，即從 M 點推動到 N 點，推程角 φ₁=π/3 。

圖2折紙段凸輪運動示意圖 Fig.2Origamisectioncammovementdiagram

2）遠休止段。凸輪使擺桿 O₂B 保持在 O₂B^′ 位置，此時鏟刀靜止保壓，以及等待其他工藝動作完成，遠休止角 。

3）回程段。鏟刀完成送紙動作后，凸輪進入回程，通過回程段廓線使滾子 A 平穩過渡到基圓上，將鏟刀從 N 點推回到 M 點，回程角 φ₂=π/6 。

4）近休止段。擺桿 O₂B 回到初始位置，近休止角φ_h=π/6

鏟刀在折紙過程中要盡可能無沖擊且速度變化平穩，以避免折邊的面紙出現褶皺現象，因此從動件運動規律采用正弦加速度運動規律。根據紙盒折邊機中組合機構的動作要求，凸輪采用槽道凸輪機構，故凸輪往返行程皆為推程。擺桿 O₂B 的運動規律表達式為

式中， ψ 為擺角； v 為角速度； a₀ 為角加速度； φ 為凸輪轉角， φ∈[0，?]， 其中， ? 為最大推程角； ψ_max 為擺桿 O₂B 的最大擺角。

2按許用壓力角設計凸輪最小尺寸

以擺動從動件的運動規律設計平面凸輪的輪廓線時，必須確定凸輪的基圓半徑、擺桿長度和兩者的中心距。在折紙段凸輪機構的設計實例中，凸輪和擺桿的中心距可根據機構總體尺寸確定大致范圍，但凸輪基圓直徑和擺桿長度未知。

為獲得整體輕便緊湊且受力較好的凸輪機構，需要凸輪的基圓尺寸盡可能小，基圓尺寸又與壓力角有直接關聯，而這兩者又是矛盾的。為解決這一問題，按許用壓力角設計凸輪最小尺寸便成了最優選擇。

如圖3所示，在直角坐標系 O₂XY 中，原點 O₂ 為擺桿軸心， X 軸沿擺桿初始位置 O₂A₀ ，由 X 軸以 O₂ 點為軸心沿逆時針旋方向轉 90^° 得到 Y 軸， O₂A_m 為擺桿終止位置， ψ_m 為擺桿動程角。

圖3 槽道凸輪軸心位置圖

Fig.3Diagram of slottedcamaxisposition

2.1擺桿推程與凸輪轉向相同時曲界線I

如圖3所示，當擺桿推程與凸輪轉向相同時，設擺桿在某位置 O₂A ，在上面取 AH=lψ^′ （其中，為擺桿 O₂A 的長度； ψ^′ 為擺桿類角速度， ），過H點作與HA夾角為 γ （許用傳動角）的直線 h-h ，其方程為

式中， .l.γ 均為常數； ψ，ψ^′ 均為關于凸輪轉角 φ 的函數。因此，式（2）可寫為 F（X，Y，φ）=0 的形式，為關于變量φ 的直線族。當凸輪轉角 φ 變化時，直線族將會形成一條包絡曲線，包絡線的坐標可根據微分幾何求解，即

將式（3）聯立求解，即可得包絡曲界線I為

式中， N 為符號變量，且當擺桿推程與凸輪轉向相同時， N=1 。

2.2擺桿推程與凸輪轉向相反時曲界線IV

如圖3所示，當擺桿推程與凸輪轉向相反時，設擺桿在某位置 O₂A ，在上面取 AH^′=lψ^′ ，過 H^′ 點作與 H^′A 夾角為 γ 的直線 h^′–h^′ ，其方程為

式中， N=-1 。

此時，按照由式（2）推導出式（4）的方法可推導出曲界線V的方程。因此，式（4）為兩曲界線（I，V）的通用表達式，且當擺桿推程與凸輪轉向相反時， ?N=-1 。

2.3 槽道凸輪機構

在槽道凸輪機構中，擺桿往返皆為推程，根據文獻[8]的研究，凸輪軸心應位于2個曲界線I和V所圍成的陰影區域內，其最小基圓半徑位于2個曲界線的交點，如圖3（b）所示。由于該交點在擺桿往返時對應的擺角一般不重合，所以在應用式（4）時，推程段設N=1，ψ=ψ₁ ；回程段設 N=-1，ψ=ψ₂ 。由此可得

式中， ψ₁√ψ₁^′J/J₁^′′ 和 ψ₂、ψ₂^′、ψ₂^′′ 對應的角位移分別為 φ₁ 和φ₂ 。將式（6）、式（7）聯立消去 X，Y 得

式（8）為含有 φ₁，φ₂ 這2個變量的非線性方程組，可采用牛頓法進行求解，并將求解后的結果代入式（6）或（7）得到 X 和 Y ，可得出計算式為

r₀=O₁A_?0（a/O₁O₂）

l=a/O₁O₂

將 X 和 Y 代入式（9）式（10），根據選取的實際中心距 a ，代人式（11）式（12）可解出凸輪基圓半徑 r₀ 和擺桿 O₂A 長度 l

3基于NSGA-II算法的優化設計

在工程實際中，常遇到需要在給定范圍內尋找多個目標均為最佳情況的優化問題，而多個數值目標在給定區域內的最優問題稱為多目標優化問題[10]NSGA-Ⅱ算法是當前應用最廣泛的遺傳算法之一，具有速度快，解集收斂性較好的特點。由于多目標優化問題中的多個子目標是相互沖突的，所以NSGA-Ⅱ算法得出的解不是唯一解，而是一組最優解集合，稱為Pareto解集[1]。當獲得Pareto解集后，根據工程實際經驗選出一組比較滿意的解。

3.1 目標函數

凸輪機構的尺寸大小往往取決于凸輪的大小，為使機構更加緊湊，應盡量減小凸輪的基圓半徑[12]145-148。因此定義凸輪的基圓半徑作為第1優化目標，即

minf（1）=r₀

擺桿 O₂B 是由滾子 A 推動而轉動的， O₂A 與 O₂B 長度的比值越小，機構的傳力比越大，其摩擦產生損耗也就越大，凸輪軸受到的壓力也越大。因此，定義 O₂A 與 O₂B 長度 l 和 L 的比值為第2優化目標，即

minf（2）=-l/L

由于采用的算法是以自標函數分量取極小值為目標，所以對 l 和 L 的比值取負值以進行優化。

3.2 設計變量

優化變量的選取要能影響優化目標且可以獨立控制 [12]145–148 。如圖2所示，根據已知參數， B 點和 B^′ 點之間距離 H₀=103.3mm，X 軸為 BB^′ 的垂直平分線，設擺桿從 O₂B 到 O₂B^′ 的轉角為 ψ_m ，則擺桿 O₂B 長度 L 為

式中， ψ_m 為擺桿 O₂B 的最大轉角； a 為凸輪軸心 O₁ 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距。

擺桿 O₂B 長度直接影響第2優化目標 O₂A 與 O₂B （長度分別為 l，L） 的比值的取值，且由式（15）可知， H₀ 一定時，影響擺桿 O₂B 長度 L 的參數就只有擺桿 O₂B 的最大轉角 ψ_m 。此外，凸輪軸心 O_? 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距 a 決定了第1優化目標基圓半徑的取值。

因此，設定擺桿 O₂B 的最大轉角 ψ_m 和凸輪軸心 O₁ 和擺桿軸心 O₂ 之間的中心距 a 為設計變量，即

3.3 約束條件

考慮到紙盒折邊機機構整體的結構大小，限制實際中心距 a 的范圍為

0mm

由于擺桿轉角 ψ_m 關系到擺桿 O₂B 長度，太小會增大機構尺寸，太大會增大最大壓力角且使各部件之間的比例相差過大。因此，結合本實例，為確保機構尺寸合理，定義擺桿轉角 ψ_m 的范圍為

30^°?ψ_m?60^°

3.4優化結果及選擇

根據所推導出的各個變量之間的相互關系，采用Matlab軟件進行編程。設定優化算法種群數為50，迭代次數為100，運行后得到Pareto最優解解集，如圖4所示，*號表示NSGA-ⅡI算法得出的最優解分布。

圖4Pareto最優解集

Fig.4Paretooptimal solutionset

由圖4可以看出，左上角的解中， O₂A 與 O₂B 長度比值較大，凸輪推動擺桿的力較小，但此時的基圓半徑較大，整體結構尺寸較大；而右下角的解則相反，O₂A 與 O₂B 長度比值較小，將會導致機構在運動時凸輪所受到的力較大，機構的力學性能較差。因此，從Pareto最優解集中選取中間區域的8組方案（表1），在圖4紅色圈內，并利用多目標加權灰靶決策模型做決策，進而選取出一組最優的設計方案[13]。決策過程如下：

表18組Pareto最優解Tab.1 8groups ofPareto optimal solutions

1）8組解集對應的矩陣R為

在優化目標中， O₂A 與 O₂B 長度的比值影響著機構的力學性能，對機構運動狀態有主要影響，故取較大權重；基圓半徑和擺桿 O₂B 的長度 L 影響著機構的整體尺寸，對機構運動有一般影響，取較小權重，因此將權重設定為

e=（e₁，e₂，e₃）=（0.3，0.4，0.3）

式中， e₁，e₂，e₃ 分別對應基圓半徑和 O₂A，O₂B 長度的比值與擺桿 O₂B 的長度 L 的權重。

2）決策矩陣。工程項自的決策中，由于不同的指標有不同的量綱，在決策中無法直接進行比較，所以需要將決策矩陣進行標準化。 [-1，1] 區間決策算子可以對高于平均水平的決策賦0～1的正值，對低于平均水平的賦-1～0的負值，從而保證對于決策有獎有罰。本次主要針對的指標均為效益型指標，故采用表達式為

越大越好時，為

越小越好時，為

由式（21）～式（23）得出決策矩陣 K， 為

3）結合優化目標，求最佳結果向量 k=

[k₁⁰，k₂⁰，k₃⁰]， 即

k=[1.000，1.000，1.000]

4）計算各個方案向量與最佳結果向量的距離：

δ_i=|k_i-k|=

其結果分別為 δ₁=1.5244，δ₂=1 1692，δ₃=1 .337 9， δ₈= 1.3260，可以看出 δ₆ 最小，表示其距離最佳結果的距離最近。因此，選用第6組作為最優解決方案，即基圓半徑 r₀=93.3756mm ， O₂A 與 O₂B 長度比值 l/L= 0.2536 。此時對應的凸輪參數如表2所示。

表2凸輪參數Tab.2 Cam parameters

4 凸輪設計

根據式（1）中擺桿的運動規律和表2中擺桿轉角及凸輪基圓半徑，采用Matlab軟件繪制程序繪制凸輪理論輪廓線、實際輪廓線、基圓14，如圖5所示。

圖5凸輪理論輪廓線、實際輪廓線、基圓

編制凸輪壓力角程序，獲取凸輪的壓力角曲線，如圖6所示。

圖6凸輪壓力角 Fig.6 Cam pressure angle

由圖6可知，凸輪的最大壓力角為 40^° ，符合設定的許用壓力角 [α] ，滿足設計要求。

5基于Adams軟件的仿真分析

基于前文的計算，可以確定凸輪連桿機構中各個桿以及凸輪的各項參數。為了更直觀地驗證所設計的凸輪連桿機構的運動參數是否符合設計要求，在Adams軟件中建立凸輪連桿機構的運動模型，并對其進行仿真，得到了鏟刀運動的位移、速度和加速度曲線，如圖7～圖9所示。

圖7鏟刀運動位移

Fig.7Movementdisplacementof theblade

由圖7可知，鏟刀從起始位置（ 2.35mm 運動到最遠位置（ 45.86mm ），總位移為 43.51mm ，滿足鏟刀位移需在 40～50mm 的要求。并且在15～35s間鏟刀的位移沒有太大的變化，可以滿足在折邊后對紙板進行保壓的要求，使面紙與灰紙板貼合緊密。

由圖8可知，鏟刀的運動速度最高達到46.55mm/s ，滿足設計需求。雖然在33～36s段速度存在突變，但此處屬于凸輪的回程段，并且在第5節中已經驗證回程段的凸輪壓力角滿足設計要求，故此處突變合理，不影響機構整體的運行和功能的實現。

圖8鏟刀運動速度

圖9鏟刀運動加速度Fig.9 Blademovementacceleration

由圖9可知，鏟刀的運動加速度在33～36s產生突變并且達到峰值 149.37mm/s² ，與圖8中的情況類似，此階段屬于凸輪回程段，且此加速度由于數值較小，所產生的力和沖擊不大，故不會影響機構的整體運行和功能的實現。

6結論

以紙盒折邊機折紙段凸輪連桿機構為例，對機構進行優化，得出以下主要結論：

1）根據凸輪許用壓力角設計凸輪，并用NSGA-Ⅱ多目標算法對凸輪進行優化設計，隨后用Matlab軟件驗證了優化后的凸輪壓力角符合設計要求，證明了該方法的有效性。

2）利用Adsms軟件對優化后的凸輪連桿機構進行仿真分析，驗證了該凸輪連桿機構的運動的可靠性和可行性，為其他凸輪連桿組合機構的優化設計提供了可借鑒的方法。

所提的方法還可以通過改變凸輪推程角、遠休止角、回程角與近休止角和采用不同的組合機構進一步優化凸輪連桿機構的運動速度和加速度，以降低其速度和加速度的峰值。限于篇幅，這些研究暫時還未開展，這也是后續需要進行研究的內容。在仿真得到的擴力運幼加還反圖中，近休止孜加還反有所文化，此變化的原因也需要進一步思考。

參考文獻（References）

[1］周紅妮，馮櫻，胡群，等.多目標遺傳算法NSGA-II在某雙前橋轉向機構優化設計中的應用[J].機械設計與制造，2015（11）：140-143.ZHOU Hongni，FENG Ying，HU Qun，et al. Application of multi-objective genetic algorithm NSGA-II in optimal design on a dual-front-axlesteeringmechanism[J]. MachineryDesignamp;Manufacture，2015（11）：140-143.（In Chinese）

[2]李秀蘭，趙海鳴，李密，等.橫向熱封切斷機構設計與優化[J].機械設計，2021，38（11）：7-11.LI Xiulan，ZHAO Haiming，LI Mi，et al. Design and optimization ofthe transverse heat-sealing-and-cutting mechanism[J]. Journal ofMachine Design，2021，38（11）：7-11.（In Chinese）

[3］顧寄南，張瑜.曲柄齒輪齒條組合機構的多目標優化設計[J].機械設計與制造，2017（增刊1）：144-148.GU Jinan， ZHANG Yu. Multi-objective optimization design ofcrank-gear-rack combined mechanism[J].Machinery Design amp;Manufacture，2017（Suppl.1）：144-148.（InChinese）

[4］華大年.按許用壓力角設計最小尺寸的擺動從動桿平面凸輪的解析法[J].機械工程學報，1982，18（4）：74-93.HUA Danian. An analytical method for designing the minimum sizeoscillating follower plane cam according to the permissible pressureangle[J].Journal of Mechanical Engineering，1982，18（4）：74-93.（In Chinese）

[5］常勇，吳從燈，李延平.關于《按許用壓力角設計最小尺寸的擺動從動桿平面凸輪的解析法》一文的再注記[J].黑龍江商學院學報（自然科學版），1990（4）：15-19.CHANG Yong，WU Congxin，LI Yanping.A further noteon the arti-cle “Analytical method for designing the minimum size of oscillat-ing follower plane cams according to the permissible pressureangle\"[J]. Journal of Heilongjiang Business School （Natural Sci-enceEdition），1990（4）：15-19.（InChinese）

[6]常勇，吳從忻，李延平.關于《按許用壓力角設計最小尺寸的擺動從動桿平面凸輪的解析法》一文的兩點注記［J].黑龍江商學院學報（自然科學版），1989（2）：49-54.CHANG Yong，WU Congxin，LI Yanping. Two notes on the article\"Analytical method for designing the minimum size oscillatingfollower plane cam according to the permissible pressure angle\"[J].Journal of Heilongjiang Business School（Natural Science Edition），1989（2）：49-54.（In Chinese）

[7]朱天天，鄧援超，夏萬.利用連桿機構實現紙盒折邊裝置鏟刀軌跡的優化設計[J].包裝工程，2021，42（23）：232-237.ZHU Tiantian，DENG Yuanchao，XIA Wan.Optimal design ofcutter track of paper box edge folding device by connecting rodmechanism[J].Packaging Engineering，2021，42（23）：232-237.（InChinese）

[8］常勇，王知行，馬喜川.按許用壓力角設計最小尺寸的擺動從動桿盤形凸輪機構的解析法[J].黑龍江商學院學報（自然科學版），1999（3）：43-49.CHANG Yong，WANG Zhixing，MA Xichuan.The analyticsfordesigaingminimum size osciuating follower disc cam mechanism inaccordancewith allowable pressureangle[J]. JournalofHeilongji-angCommercialCollege（Natural SciencesEdition），1999（3）：43-49.（In Chinese）

[9]常勇，楊富富，李延平.擺動從動桿盤形凸輪機構最小尺寸的完全解法[J].農業機械學報，2013，44（3）：237-245.CHANG Yong，YANG Fufu，LI Yanping. Thorough solution of theminimum size of disc cam mechanism with oscillating follower[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013，44（3）：237-245.（InChinese）

[10]張學良，劉麗琴.智能優化算法及其在機械工程中的應用[M].北京：國防工業出版社，2012：141-142.ZHANG Xueliang，LIU Liqin.Intelligent optimization algorithmanditsapplication inmechanical engineering[M].Beijing：Nation-alDefense Industry Press，2012：141-142.（InChinese）

[11] 林書富.基于MOEA/D的差分進化多目標優化算法研究[D].廈門：廈門大學，2017：9-12.LIN Shufu.Research on differential evolutionary multi-objectiveoptimization algorithm based on MOEA/D[D].Xiamen ：XiamenUniversity，2017：9-12.（InChinese）

[12]葉綱.直動從動件凸輪機構的計算機輔助設計[J].中國計量學院學報，1996，7（1）：39-46.YEGang.CAD for the cam mechanism of moved member[J].JournalofChinaUniversityofMetrology，1996，7（1）：39-46.（InChinese）

[13] 王進，李準，曹升元.加權灰靶決策模型在技術創新項目綜合評價中的應用[J].科技進步與對策，2008，25（9）：145-148.WANG Jin，LI Zhun，CAO Shengyuan. Application of weight greytargetdecision model for integrated evaluationof the technologicalinnovation project[J].Scienceamp; Technology Progress and Policy，2008，25（9）：145-148.（InChinese）

[14] 杜韌，馮偉娜，劉昭，等.基于MATLAB語言的凸輪輪廓曲線的解析法設計[J].機械工程師，2018（7）：1-4.DURen，FENG Weina，LIU Zhao，etal.Analytical method designofcam profile curve based on MATLAB[J].Mechanical Engi-neer，2018（7）：1-4.（In Chinese）

Abstract：This article took the folding sectioncam linkage mechanism ofa carton folding machineasanexample. Firstly，apreliminarydesignof thecam wascariedout basedonactual workingconditions.Then，combined with the analyticalmethoddesigning thecammechanismbasedontheallowablepressureangleof thecam，amathematicalmodel was establishedwiththeswingrodangleandthecenterdistancebetween thecamandtheswingrodasdesignvariables.Using the NSGA-Ioptimizationalgorithm，perform multi-objectiveoptimizationdesignonthecam linkagemechanismandselectthe optimal solution from the generated Pareto solution set.Basedontheoptimization results，the preliminarydesignof thecam linkage combination mechanism was adjusted，and the contour of the cam was obtained through Matlab programming， verifying that theoptimizedcam pressure angle met theallowable pressure angle.Finally，simulationanalysis was conducted ontheoptimizedcamlinkagemechanismusingAdamssoftware.Itisfoundthatthedisplacement，velocity，andacceleration oftheblade movementmeetthedesignrequirements，verifyingthecorrctnessand feasibilityof theoptimizationresults.At the same time，it also provides areference methodforthe optimizationdesignofothercam linkage mechanisms.

Keywords：Cam linkagemechanism;Alowablepressureangle;NSGA-Ioptimizationalgorithm;Multi objective optimization; Simulation analysis

Corresponding author： DENG Yuanchao，E-mail： 269911900@qq.com

Fund： Innovation Methods Special Project of the Ministry of Science and Technology （2020IM020800-01）

Received：2023-10-09 Revised：2023-12-04