基于QUBO模型的銀行收益問題研究

摘要：文章探討了銀行信用卡和貸款業務中的信用評分卡優化問題，目標是通過選擇最優的評分卡組合和閾值，最大化銀行的最終收入。研究首先構建了一個目標函數，并將問題轉化為二次無約束二值優化（QUBO）模型，用于優化單一評分卡的組合策略。接著，擴展至多個信用評分卡和閾值組合，采用嚴格約束和循環遍歷方法篩選出最優組合。為應對大規模數據優化問題，研究引入了遺傳算法等啟發式方法，成功求解了全局最優解。研究結果表明，通過QUBO模型和優化算法的結合，可以顯著提高銀行收益，并為風險控制提供有效的策略。在多種信用評分卡的組合和閾值選擇中，通過QUBO模型優化和遺傳算法的應用，成功提高了銀行貸款的最終收益。對于數據分析，使用了100個信用評分卡并結合模擬計算，得出最大收益為43880.97元。此研究為銀行信用評分卡優化提供了理論支持，并為未來動態優化方法的應用奠定了基礎。

關鍵詞：QUBO模型；非線性規劃模型；銀行收益；循環遍歷算法；遺傳算法

一、引言

在實踐中，由于每個客戶的信用等級不同，對應不同的信用評分卡，這些信用評分卡對應著不同的通過率和壞賬率，對銀行來說，當通過率越高時，通過貸款資格審核的客戶數量也就越多，銀行獲得的利息收入也會越多。但通過率越高，壞賬率也會越高。再通過對影響銀行貸款利率因素的風險進行評估，來選擇最合理的信用評分卡組合以及其閾值，使得銀行最終收入最多。（附件數據來源于國家金融監督管理總局）

本文重點討論了二次無約束二值優化（QUBO），模型QUBO是一種模式匹配技術，除其他應用外，可用于機器學習和優化，涉及最小化二元變量上的二次多項式。強調QUBO是NP-hard的，這是目前在量子計算領域應用最廣泛的優化模型，它統一了豐富的組合優化問題。QUBO已經證明了它對于解決普遍優化組合問題的能力，這可以“物理地”解釋為找到一個典型的伊辛哈密頓量的基態。然而，在存在多個局部極小值的問題中，計算全局極小值是一項費力的任務。QUBO的優勢是可以提供更接近最優的解決方案或更快地到達結局方案或產生不同的解決方案集。在特殊情況下，QUBO可以在已知的NP完全問題上由于經典退火技術，其在計算機科學，生物信息學等這些問題的目標都是最小化一個成本函數，由于評分卡進信用評分卡主要包括閾值、通過率、壞賬率這三個方面。因此，本文主要是通過對不同的信用等級的客戶，提供相應的信用評分卡，最終使得銀行的收益最多。首先，就總通過率、總壞賬率、貸款利息收入、壞賬損失和最終收入給了具體的計算方法。得出了選擇不同的信用評分卡，不同的域值組合會給銀行帶來不同的收入與損失，運用非線性規劃模型，同時考慮他的約束條件，引入約束極值問題進行分析，并代入模型，從而算出銀行的最終收入。

某銀行有多個不同的信用評分卡，每種信用評分卡有10個閾值，每種預支對應不同的壞賬率和通過率。可以發放的貸款資金為1000000元，銀行貸款利息收入為8%，在規定的貸款期限內，通過建立數學模型，來測算銀行的最終收入，解決以下問題：對用戶的信用評分卡進行分析，通過計算，選擇最合理的信用評分卡組合以及閾值，求得銀行最終收入；將上述所得出的信用評分卡組合進行優化，當對應的閾值為何值時，可以使得最終收入最多；在附錄中所給的100個信用評分卡中，設置合理閾值，綜合考慮壞賬率、客戶數量以及一些突發因素對總收益的影響。對整體策略進行調整。

二、單一信用評分卡和閾值的選擇

在辦理銀行業務中，客戶實際情況較為單一，可以只使用一重規則對客戶進行打分。附件數據來源于國家金融監督管理總局。將附件所給數據進行整理，為了方便表述，本文把各個信用評分卡的通過率和壞賬率分別整理得到兩個矩陣。除了對決策變量的0/1限制外，QUBO是一個無約束的模型，所有的問題數據都包含在Q矩陣中。這些特征使得QUBO模型作為組合優化問題的建模框架特別有吸引力，為經典約束表示提供了一種新的替代方案。

A=x

x

… x

…" x

x

x

… x

…" x

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x

x

…" x

…" x

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x

x

… x

… x

（1）

B=y

y

… y

…" y

y

y

… y

…" y

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y

y

…" y

…" y

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y

y

… y

… y

（2）

矩陣A是由各個信用評分卡的每個閾值所對應的通過率組成，矩陣B是由各個信用評分卡的每個閾值所對應的壞賬率構成。

根據100張信用評分卡數據文章對閾值、通過率、壞賬率這三個主要影響信用評分卡的因素進行分析，得到了計算最終收入的公式：

最終收入=貸款資金×利息收入率×總通過率×（1-總壞賬率）-貸款資金×總通過率×總壞賬率，即

maxW=1×106×8%×xi，j×（1-yi，j）-1×106×xi，j×yi，j，i∈[1，10]，j∈[1，100]（3）

求銀行收入最大的情況，此時涉及求出最大量，本文先運用了組合優化模型，假設有z個客戶，其中n個客戶可以通過信用評分卡的規則，并選擇其對應的閾值，然后根據通過率和壞賬率的大小，來評估銀行的最終收益。

在此基礎上，本文對模型進行擬合，得到其對應的大致規律，用參數α來表示通過率與壞賬率的關系，如圖1所示。

y=p1×x5+p2×x4+p3×x3+p4×x2+p5×x+p6（4）

其中p1=257.2，p2=-1093，p3=1848，p4=-1555，p5=650.3，p6=-108.2。

對于這一模型還有一定的約束條件，首先，每個客戶只能有一次進行信用評分的機會。其次，每個客戶必須在規定的時間T內還款，tk為第k個客戶還款的時間。在此基礎上，再次比較通過率、壞賬率所占比例的大小，對銀行最終收入進行進一步的判定。

由于傳統的組合優化模型存在一定的缺點，在實踐中產生的應用的多樣性需要創造很多種解決方案，且應用范圍有限，就將其轉換為QUBO模型進行求解。求信用評分卡組的通過率和壞賬率基于QUBO公式，并且將其編碼在哈密頓量的Hc中，將哈密頓量編碼為量子位的形式，并使用量子門來操作這些量子位 同時使用量子并行算法來求解，即：

x=1，第k個客戶通過信用評分卡在i，j處

0，第k個客戶未通過信用評分卡在i，j處（5）

y=1，第k個客戶產生壞賬在i，j處

0，第k個客戶未產生壞賬在i，j處（6）

Wmax=1×106×8%×∑∑aijxij×（1-∑∑bijyij）-1×106×∑∑aijxijbijyij（7）

由于把其中的每一項都乘以整數倍，和去除常數項也不會影響到最值的解，因此整理系數得到：

Hc=2×∑∑aijxij×（1-∑∑bijyij）-25∑∑aijxijbijyij（8）

利用擬合結果， 將xij轉化為yij

Hc=2×α∑∑aij×yij×（1-∑∑bijyij）-25α∑∑aijbijy=α∑∑aijy（2-27bij）（9）

約束條件：

（1）∑∑yij=1，所有客戶只能被評分一次，i，j均存在且唯一。

（2）∑tkx≤T，表示所有通過評分的客戶x，y∈{0，1}。

（3）α用于控制x、y的相對關系。

選擇引入的懲罰是為了在優化器尋找避免產生懲罰的解決方案時，也可以通過優化器的自然功能來實現，從而影響原始約束的解決方案。引入標量懲罰P，P值過大超過原始的目標函數信息會使得很難區分一個解決方案和另一個解決方案的質量，P值過小會危及尋找可行解。經過查找確認P=20000。

由約束條件可得：

Hc=α∑∑aijy（2-27bij）-P（∑∑yij-1）2（10）

將yij雙下標化為單下標：

得出一個二次多項式，和二次型的1000階對稱矩陣，z為該矩陣元素，其中y=y的系數為矩陣主對角線的元素z100（i-1）+j，100（i-1）+j，yp×yq的系數2zpq=2zqp。這是QUBO模型的Q矩陣，得到QUBO的通常形式yTQy，將其輸入數學軟件，得出結果，如表1所示。

三、固定多重信用評分卡和閾值組合的選擇

首先，運用非線性規劃模型，再考慮其相應的約束條件，給出固定的三個信用評分卡指標，為了篩選出最終收入最多的選項，使用循環遍歷法，對信用卡和閾值的組合一一篩選，并代入QUBO模型，最終得到收入最大的選項。

本文運用了非線性規劃模型，對所給的函數進行了分析處理。

C=xi，1×xi′，2×xi″，3（11）

D=（yi，1+yi′，2+yi″，3）/3（12）

貸款利息：

1×106×0.08×C×（1-D）（13）

壞賬損失：

1×106×C×D（14）

得到最終收益最大的公式為：

Wmax=1×106×0.08×C×（1-D）-1×106×C×D=8×104×（xi，1×xi′，2×xi″，3）×[1-（（yi，1+yi′，2+yi″，3）/3）]-1×106×（xi，1×xi′，2×xi″，3）×（（yi，1+yi′，2+yi″，3）/3）（15）

為了求證所求得的點為最優解，并且考慮到所設定的約束條件，運用了罰函數法，利用問題中的約束函數做出適當的罰函數，由此構造出帶參數的增廣目標函數，把問題轉化為無約束非線性規劃問題進行求解。由于第二問涉及指定的三個信用評分卡，本文就用到了QUBO模型，QUBO模型作為一種模式匹配技術，可以更好地對信用評分卡進行篩選，從而得到想要的最大收益。轉換為QUBO模型為：

xi，j=1，第k個客戶通過信用評分卡在xi，j處

0，第k個客戶未通過信用評分卡在xi，j處，

（j∈1，2，3，i∈i，i′，i″）（16）

yi，j=1，第k個客戶產生壞賬在yi，j處

0，第k個客戶未產生壞賬在yi，j處，

（j∈1，2，3，i∈i，i′，i″）（17）

Wmax=8×104×（xi，1×xi′，2×xi″，3）×[1-（（yi，1+yi′，2+yi″，3）/3）]-1×106×（xi，1×xi′，2×xi″，3）×（（yi，1+yi′，2+yi″，3）/3）=2×α3∑ai，1y×ai′，2y×ai″，3y-9（α3∑（bi，1ai，1y×bi，1ai′，2y×bi，1ai″，3y））×9（α3∑（ai，1bi′，2yi，1yi′，2×ai′，2bi′，2yi′，2×ai″，3bi′，2yi″，3yi′，2））×9（α3∑（ai，1bi″，3yi，1yi″，3×ai′，2bi″，3yi″，2yi″，3×ai″，3bi′，3yi″，3yi″，3））（18）

約束條件：

yij=1（所有客戶只能被評分一次，i，j均存在且唯一）；

對應的罰函數→P（∑∑yij-1）2；

tkx≤T（表示所有通過評分的客戶x，y∈{0，1}）；

α用于控制x，y的相對關系；

通過率xi，1+xi′，2+xi″，3=3；

對應罰值函數

Pα

y

+y+

y-3，

壞賬率：y+y+y=3，對應的罰函數P

y

+y+

y-3。

求信用評分卡組的通過率和壞賬率基于QUBO公式，并且將三種信用評分卡編碼在哈密頓量的Hc中， 將哈密頓量編碼為量子位的形式，并使用量子門來操作這些量子位 同時使用量子并行算法來求解。利用量子計算原理解決優化問題的前景特別有前景，在該方法中，它可以被認為是一種解決優化問題的“模擬”方法，哈密頓量的基態代表了當前優化問題的最優解。即：

Hc=2×α3（ay2×ay2×ay2）-9×（α3（aby2×abyy×abyy））-9×（α3（abyy×aby2×abyy））-9×（α3（abyy×aby×y×aby2））-P

yij-1-Pα3

y

+y+

y-3（19）

得出一個二次多項式和二次型的對稱矩陣，z為該矩陣元素。這是QUBO模型的Q矩陣，得到QUBO的通常形式yTQy，經過求解可得表2。

四、信用評分卡與閾值自由組合的選擇

通過附錄中所給的100個信用評分卡，通過在這100個信用評分卡中任選三種信用評分卡。本文通過附錄中所給的100個信用評分卡，通過在這100個信用評分卡中任選三種信用評分卡。在考慮每個客戶只能有一次進行信用評分的機會和在規定時間T內還款，這兩個約束條件之外，由于是從100個信用評分卡中，任意選取三種信用評分卡，本文還需考慮到一些突發因素的影響。在基于上文的前提下，考慮其相應的約束條件，運用遺傳算法，并代入QUBO模型，最終得到收入最大的選項。

從附錄所給的100個信用評分卡中，任選三個信用評分卡進行設置合理的閾值，使得銀行最終收入最多。由于是隨機選取三種信用評分卡，相當于是對上文的進一步拓展，但是他不再僅限于給定的三種信用評分卡，而是延伸至100個信用評分卡，從中選擇三個閾值，得到目標函數為：

Wmax=8×104×（xi，j×xi′，j′×xi″，j″）×[1-（（yi，j+yi′，j′+yi″，j″）/3）]-1×16×（xi，j×xi′，j′×xi″，j″）×[（yi，j+yi′，j′+yi″，j″）/3]（20）

將其轉換為QUBO模型為：

xi，j=1，第k個客戶通過信用評分卡在xi，j處

0，第k個客戶未通過信用評分卡在xi，j處（i∈i，i′，i″，j∈j，j′，j″）（21）

yi，j=1，第k個客戶產生壞賬在yi，j處

0，第k個客戶未產生壞賬在在yi，j處，（i∈i，i′，i″，j∈j，j′，j″）（22）

Hc=2×α3

ai，jyi，j×ai′，1yi′，j′×ai″，j″yi″，j″×1-

（bi，jyi，j+bi′，jyi′，j′+bi″，j″yi″，j″）/3-25×α3

ai，jyi，j×ai′，1yi′，j′×ai″，j″yi″，j″×

（bi，jyi，j+bi′，jyi′，j′+bi″，j″yi″，j″）/3（23）

Hc=2×α3（ai，jyi′，j2×ai′，1yi′，j′2×ai″，j″yi″，j″2）-9×α3

（ai，jbi，1yi′，j′2×ai′，j′bi，jyi，jyi′，j′×ai″，j″bi，jyi，jyi″，j″）-9×α3

（ai，jbi′，j′yi′，j′yi′，j′×ai′，j′bi′，j′y2i′，j′×ai″，j″bi′，j′yi′，j′yi″，j″）-9×α3

（ai，jbi″，j″yi″，j″yi′，j′×ai′，j′bi″，j″yi″，j″yi′，j′×ai″，j″bi″，j″yi″，j″2）-P

y-1-P

α3

y+yi′，2+yi″，3-3-P

y+yi′，2+yi″，3-3-P

y-1-Pα3

y+yi′，j′+yi″，j″-3-P

y+yi′，2+yi″，3-3（24）

混合求解器是啟發式的，在指定的時間限制下迭代地使用經典計算和量子計算，其中在給出最低總能量（QUBO目標）的解上返回。組合問題也可以用元啟發式方法來解決，包括遺傳算法，粒子群優化，tabu搜索和模擬退火。對目標函數進行最大值的求解，同時，依照輪盤選擇法，使得數據進行依次迭代，直到迭代出最大值為止。

通過對銀行的分析，得到目標函數為：

maxW=8×104×（xi，j×xi′，j′×xi″，j″）×[1-（（yi，j+yi′，j′+yi″，j″）/3）]-1×106×（xi，j×xi′，j′×xi″，j″）×[（yi，j+yi′，j′+yi″，j″）/3]（25）

可以得到約束條件：通過率A的范圍是0.44≤A≤0.87，壞賬率B的范圍是0.02≤B≤0.07。基于文中所得到的目標函數對其進行求最大值最優解，先將變量轉換成二進制數串，使得變量區間在文中的約束條件（x，y）內，再將二進制轉換為十進制，并精確到小數點后四位。為了避免結果容易陷入局部極小值、結果不穩定的內生缺陷，使用遺傳算法進行求解。通過對數據的分析，假設初始種群有3個個體，得到其染色體隨機生成結果，再將得到的結果進行解碼轉換為真實值。將真實值代入目標函數計算適應度為：

F（x）=8×104×（0.2927×0.5239×0.1765）1-1/3（0.2927+0.53）=-10.5679（26）

根據染色體的適應度進行新種群的復制，使用輪盤選擇法，轉動輪盤3次，每次選擇一個作為新種群的染色體。得到每個染色體被復制的概率和累積的概率為：

Pi=（27）

Pi=Pj（28）

通過遺傳算法一次次的迭代，最終在第70998153次迭代中得到最大值，如表3所示。

五、結語

本文圍繞銀行信用卡和貸款業務的審核規則，研究了如何通過信用評分卡的最優組合和閾值選擇，實現銀行最終收入的最大化。對于單一信用評分卡和閾值的選擇，通過構建目標函數并將問題轉化為QUBO模型，對通過率和壞賬率進行迭代擬合和優化，得出了單張評分卡的最優組合方案。針對固定多重信用評分卡和閾值組合的選擇，進一步分析多張評分卡的組合，通過嚴格約束和循環遍歷方法，篩選出收益最大化的組合策略。針對信用評分卡與閾值自由組合的選擇，面對大規模數據優化問題，引入遺傳算法，采用啟發式方法對目標函數進行求解，迭代出全局最優解。研究結果表明，結合QUBO模型與優化算法的應用，不僅能夠有效提高銀行收益，還能提供高效的風險控制策略。為銀行業務優化提供了重要參考，并為相關領域的量化研究和決策支持奠定了理論基礎。未來可進一步探索更復雜場景下的動態優化方法，以提升模型的實際應用價值。

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*基金項目：新疆理工學院大學生創新創業訓練項目“基于量子計算對阿克蘇市公交線路網的優化設計”（202313558008）；新疆理工學院科研項目“阿克蘇地區肺結核流行特征與建模分析”（ZZ202302）；教育部高等教育司產學合作協同育人項目“‘互聯網+’背景下財務管理課程線上線下混合式教學模式師資培訓”（220606194025409）。

（作者單位：新疆理工學院）