大單元視角下函數概念的教學方案

函數是數學甚至所有科學的基本概念，應用廣泛且抽象性強，理解和掌握并非易事。傳統教學重定義灌輸導致部分學生理解困難。以大單元理念為指導，教學分為4個階段，即初步感知、形式化表達、深入感知和綜合應用。

一、初步感知階段

教師通過生活實例引導學生直觀感受變量之間的關系，從而為后續更抽象的概念打下基礎。第一步，要選擇合適的實際問題或生活場景，如物價隨時間的變化、汽車行駛距離與時間的關系等。第二步，引入簡單的圖表表示，讓學生自己動手制作簡單的表格，記錄不同時間點的數據對比，并利用折線圖、柱狀圖等形式將上述表格數據可視化，幫助學生看到數值變化的趨勢，這有助于他們理解輸入值和輸出值之間的對應關系。第三步，引導學生提出假設并驗證，鼓勵學生基于已有經驗和觀察，提出對某一現象背后規律的猜想，再組織學生驗證，教師則適時幫助學生總結出一般性的結論。第四步，強調因果關系與規則提煉，在具體情境中，要明確指出哪些因素影響了其他因素，以及這種影響是如何發生的。然后從多個相似的情境中抽象出共同的模式或規律，進而引出函數的基本思想，即一個量的變化會引起另一個量相應的變化

以物價變動模擬為示例，方案如下。

（1）活動目標：通過模擬商品價格隨時間變化的過程，學生直觀感受到變量之間的依賴關系。（2）準備材料：模擬紙幣、商品標簽、數據記錄表、紙張、鉛筆、尺子。（3）設定背景：扮演店主和顧客，模擬一家小店的商品銷售情況。設定初始價格，并規定每隔一周，店主根據市場需求調整價格（4）角色分配：一部分學生扮演店主，負責制定價格策略；另一部分學生扮演顧客，根據價格決定是否購買商品。（5）數據收集：每次價格調整后，記錄當前時間和對應的售價。（6）數據分析：全體學生一起整理所有記錄的數據，制作成圖表，觀察價格隨時間的變化趨勢。（7）討論總結：引導學生思考為什么價格會變化？這些變化是否有規律可循？最后，引出函數的概念，即一個量（時間）決定了另一個量（價格）的變化。

二、形式化表達階段

讓學生學會用符號和公式來描述變量之間的關系，并理解這些符號背后的數學意義。第一步，復習與引入，簡要復習之前通過具體情境所學的知識點，強調情境中的變化規律，解釋為什么需使用符號簡化表達復雜的變量關系，使溝通更清晰、準確。第二步，逐步引入符號，首先明確自變量（輸入值）和因變量（輸出值），并用字母表示，通用的如 f（x）=2x+3 ；其次區分變量與常量的概念，說明哪些因素在給定情況下保持不變。第三步，練習符號表達，引導學生將之前學習的具體情境轉化為符號表達。第四步，理解和應用函數公式，詳細講解每個符號的意義及其在公式中的作用，如在二次函數 f（x）=ax²+bx+c 中，a控制開口方向及寬度，b影響對稱軸位置，而c決定了圖象與y軸交點的位置。第五步，強化圖形與符號的聯系，教學生如何根據符號表達繪制函數圖象，反之亦然

以線性函數的應用為例組織教學活動，方案如下：

（1）活動目標：通過生活實例，讓學生掌握線性函數的符號表示方法，并靈活應用于問題解決

（2）準備材料：紙筆、數據記錄表。

（3）設定背景：假設你正在經營一家咖啡店，每杯咖啡售價為10元，每天固定成本為200元。你想知道一天內售出多少杯咖啡才能達到盈虧平衡點。

（4）構建函數模型：設 x 表示售出的咖啡數量（自變量）;總收入 R（x） 為 10× ；總成本 C（x） 為 200+0?x （假設每杯咖啡的成本忽略不計）;盈利 P（x）=R（x） -C（x）=10x-200 求解盈虧平衡點：設置 P（x）=0 ，即10x-200=0 ，解得 x=20 這意味著你需要賣出20杯咖啡才剛好收回成本。

（5）拓展思考：進一步探討如果想要獲得額外利潤，應如何調整售價或降低成本？引導學生修改函數模型，并重新計算新的盈虧平衡點。

（6）歸納總結：回顧整個過程，強調符號表達的重要性以及它在實際問題解決中的應用價值。

三、深入感知階段

第一步，復習與過渡，簡要復習之前學習的函數符號表達法，確保學生對常見類型的函數（線性、二次、指數、三角等）有清晰的認識，解釋為什么需研究函數的性質，這有助于更全面地理解和預測函數的變化趨勢。第二步，給出定義與分類，根據不同類型的函數，引導學生觀察其圖象并歸納出相應的性質。第三步，圖象與解析式的結合，學生親手繪制一些常見的函數圖象，通過直觀感受加深對函數性質的理解；引導學生如何從圖象中提取信息并用數學語言描述出來，比如觀察拋物線開口方向可以判斷二次項系數的正負，查看函數是否有對稱軸可以幫助確定奇偶性。反過來，給定一個函數解析式，要求學生預測其大致圖像形狀及重要特征點的位置。第四步，性質探究活動，通過實驗探究函數的性質。

對函數性質探究的示例方案如下，本示例僅作為探討函數性質的目的，因此所采用的指數函數模型并不超綱。（1）活動目標：通過實驗，學生深入理解函數的基本性質，并學會使用這些性質解決問題。（2）準備材料：圖紙、數據記錄表、實驗器材。（3）設定背景：假設你們正在研究一種新型藥物的效果，已知其有效成分濃度隨時間變化遵循某種函數關系，為了更好地了解這種變化規律，你們決定進行一系列實驗。（4）構建函數模型：假設藥物濃度C（t）隨時間t變化的函數形式為 C（t）=A?e^+t+BC ，其中 A，k 和B是待定參數。（5）實驗設計：設計不同初始條件下的實驗組，記錄每次測量的時間點和對應的藥物濃度值。使用圖形計算器繪制實驗數據點，并嘗試擬合最佳函數曲線。（6）性質分析：觀察所得到的函數圖像，分析其單調性、奇偶性和周期性（如果有）。如果發現C（t）隨時間逐漸減小，則說明這是一個單調遞減函數。討論每個參數 A，k 和B對函數性質的影響。比如，k值越大，衰減速率越快;B決定了最終穩定狀態下的濃度水平。（7）拓展思考：進一步探討如果改變給藥方式或者劑量，會如何影響函數的形式及其性質？引導學生修改模型，并重新計算新的變化趨勢。（8）歸納總結：回顧整個過程，強調函數性質的重要性以及它在實際問題解決中的應用價值。

四、綜合應用階段

通過解決復雜的、真實世界中的問題，幫助學生鞏固對函數概念的理解，并培養他們的問題解決能力和數學建模素養。第一步是引入現實情境，挑選學生熟悉的或感興趣的場景作為問題背景，如經濟、環境、科技等，確保問題具有一定的復雜性和開放性，促使學生思考多種解決方案。第二步，引導學生進行數學建模，幫助學生識別問題中的關鍵變量和關系，確定需要建立的函數模型類型，指導學生通過實驗、調查或查閱資料等方式獲取必要的數據，為構建準確的函數模型提供依據。鼓勵學生根據已有信息嘗試建立一個初始的函數表達式，并繪制對應的圖像以直觀展示其預測結果。第三步，優化與驗證模型，如果模型與實際情況存在偏差，引導學生反思可能的原因，并通過修改參數值改進模型，使用額外數據點或實際觀測結果檢驗模型的有效性，必要時重復調整過程直至滿意為止。讓學生意識到任何模型都有其適用范圍和局限性，討論這些限制可能會對未來研究產生怎樣的影響。第四步，多角度分析與解釋，教授學生如何利用解析式計算特定條件下的輸出值，如最大值、最小值、交點等；訓練學生用文字語言清晰地表達函數的變化趨勢及其背后的意義，如增長速度、周期性變化等；強調圖象在理解函數行為方面的重要性，鼓勵學生結合圖象解釋模型的特點。第五步，團隊合作與交流分享。組織學生分組合作解決問題，促進思想碰撞和共同進步，每個小組負責不同部分的工作，最后匯總成完整的解決方案；安排時間讓各小組向全班匯報學生的發現和結論，接受其他同學的提問與建議，教師給予建設性的評價，指出優點和改進之處，幫助學生進一步完善自己的思維方式。第六步，跨學科聯系與拓展，尋找機會將函數概念與其他學科的知識相融合，如物理學中的運動規律、化學反應速率等，增強學生的綜合應用能力。介紹一些前沿技術或社會熱點話題，如人工智能算法、氣候變化預測等，激發學生對未來發展的興趣。

以城市交通流量優化作為示例，活動方案如下。

（1）活動目標：通過模擬城市交通流量，讓學生應用函數概念解決實際問題，提升數學建模和數據分析的能力。

（2）準備材料：計算器、數據記錄表、地圖。

（3）設定背景：假設你們正在參與一項城市規劃項目，目的是優化某市中心區域的交通流量，減少擁堵現象。已知該地區有若干條主要道路交匯于幾個重要節點。

（4）收集數據：使用地圖應用程序或其他工具獲取每條道路在不同時段內的平均車流量數據，記錄天氣狀況、節假日等因素對交通的影響。

（5）構建函數模型：根據收集到的數據，選擇合適的函數形式（如線性、二次或指數函數）來描述每條道路上車輛數量隨時間的變化關系。對于多個變量的情況，可以考慮多元函數或分段函數的形式。

（6）分析優化：繪制所有相關函數的圖象，觀察整個交通網絡的整體變化趨勢。尋找瓶頸路段（容易發生擁堵的地方），并探討可能的緩解措施，如調整信號燈時長、增加公共交通供給等。模擬不同方案的效果，評估哪種方法最能有效改善交通狀況

（7）驗證模型：收集更多實際觀測數據或參考歷史記錄，對比模型預測結果是否符合實際情況。如果發現差異較大，返回上一步繼續優化模型

（8）總結報告：編寫一份詳細的報告，包括問題描述、數據來源、建模過程、優化建議及最終效果評估等內容。準備一次課堂演示，向學生展示研究成果，并回答大家提出的問題。

（9）反思改進：討論本次活動中遇到的困難及解決辦法，思考還有哪些方面可以做得更好。鼓勵學生提出新的想法或改進建議，為今后類似問題的研究積累經驗。

五、結束語

綜上所述，對函數概念的教學，從“數與代數\"大單元視角下進行漸進式教學具有可行性，這為初中數學教學提供一種更為科學合理、貼近學生實際的教學模式，能夠有效提升教學質量，促進學生全面發展。

【參考文獻】

[1王其桂.大概念背景下初中數學大單元教學實踐研究[J].新課程導學，2024（32）：87-90.