圓盤轉子永磁懸浮軸承支承剛度特性研究

中圖分類號：TH133.3 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202312036

Abstract：Researchonmagneticallevitatedrotors hasbeenheavilyinfluencedbystudiesonslendershaft magneticlevitatedro tors.Inthestudyonacertainmagneticalllevitatedflatotorforaentrifugalpumpstructure，bothexperimentsandfiniteelement analysisrevealedthatthesupportcharacteristicsof teradialpermanentmagneticbearings，withthesamedualringstructure，exhibited thesignificantdiferencesfromtheknownexperiencewhenapliedtoflatrotors.Thetranslationalstifessandtorsional stifnessshowedsubstantialvariations.Tispaperanalyes thevariationsintraslationalandtorsionalstifnessofpermanetmag neticradialbearings forflatrotors basedonchanges inthebearing’sstructuraldimensions.Basedontheanalysis，aflatrotormag neticlevitationstructureisproposed，whichcanincreaseandadjustthetorsionalstifnesofthepermanentmagneticbearings， whilealsoallwingforarationalratiobtweentranslationalandtorsionalstife.Afiniteelementanalysisisusedtoidentifythe structuralconditionsthatyieldmaximumtranslationalandrotationalstifnessTheefectivenessoftheproposedmethodologyis subsequently validated.

Keywords：magneticleviationbearing;permanentmageticaring;engthdiameterati;traslatioalstfess;otatioalf

近年來，隨著與磁懸浮相關的電磁學、電子學、轉子動力學、有限元方法等的發展，尤其是釹鐵硼稀王強磁材料的量產成本下降，永磁懸浮軸承的磁力性能已經可以滿足越來越多工業領域的應用需要，展現出適合推廣應用的工業實用價值。

永磁軸承是一種通過永磁體之間產生的吸力或斥力使轉子懸浮的軸承部件。雖然，根據恩紹（Earnshaw）定理，單純的永磁懸浮無法實現物體靜態的完全懸浮，必須配合其他懸浮形式，如電磁懸浮、液力懸浮等，才能實現一個物體全自由度的靜態穩定懸浮。但是，永磁懸浮配合的混合懸浮可以降低電磁主動懸浮的控制復雜度、承載負荷，降低懸浮功耗。永磁懸浮在磁懸浮設計中承擔著極其重要的角色。

懸浮結構的分析和設計是永磁軸承研究的重要內容。QIAN等1利用陀螺效應實現了純永磁懸浮轉子的動態旋轉的穩定懸浮。劉淑琴等2在永磁軸承的基礎上，研究了一種無接觸式高效率磁耦合驅動裝置，用于人工心臟轉子的支承和旋轉，實現了在智能控制下的變速穩定運行。劉強等3對航天衛星姿態檢測使用的磁懸浮框架飛輪的幾種構型做了詳細的比較分析。

永磁體磁場和磁力解析計算的傳統方法有等效磁荷法和靜態磁路法兩種。隨著計算機技術的發展和有限元分析軟件的出現，有限元法成為磁場分析方法的主流，適合復雜磁體形狀和復雜相對運動形式的磁場和磁力計算。YUAN等4從磁荷觀點出發，用積分定義法有效計算磁環之間的承載力。薛沙沙[5]對靜態磁路法、等效磁荷法、有限元法三種計算方法做了較為詳細的介紹。LIU等利用磁力、磁矩和剛度來評價永磁軸承的承載特性，在考慮軸向偏移和撓度耦合的情況下，研究其承載特性。李紅偉等[研究了雙環結構徑向永磁軸承的軸向剛度和徑向剛度的耦合關系。付靖8研究發現同心雙環軸承的冗余性高于單環軸承，提高了磁懸浮軸承的可靠性。

目前，對永磁懸浮軸承支承特性的研究大多基于單個軸承的力學角度，而轉子由幾個軸承支承，轉子支承特性應該在軸承-轉子系統整體中分析，脫離轉子系統的磁懸浮軸承支承分析是不全面的。

通常，轉子系統由兩個徑向軸承和一個軸向軸承支承。對于細長軸轉子（長徑比 ?1 ），其兩個徑向軸承的距離遠遠大于轉子回轉直徑。在對某微型離心泵結構的磁懸浮圓盤轉子（長徑比 lt;1 研究中發現，由于兩個徑向軸承距離很近，表現出的轉子支承特性與細長軸磁懸浮支承的已知經驗大不相同。平動剛度可能很大，而扭轉剛度幾乎為零，造成圓盤轉子無法懸浮。

本文首先通過有限元分析方法，揭示了圓盤轉子永磁徑向懸浮軸承的平動剛度和扭轉剛度隨軸承結構尺寸的變化規律。以此為依據，本文提出適合圓盤轉子的磁懸浮結構，能夠增大和調節徑向懸浮的抗扭轉剛度。同時，該徑向永磁懸浮結構的軸向耦合力有更寬的線性范圍，使得軸向電磁懸浮可采用簡單的低階線性控制器，如PID控制，就能夠達到很好的穩定懸浮效果。

1徑向永磁軸承結構和磁力分析方法簡介

1.1徑向永磁軸承的常用結構

徑向永磁軸承的結構主要有四種形式[5，9-12]，如圖1所示，都由兩個磁環組成，圖中箭頭為磁環充磁方向。其中，圖1（a）和（c）為大小磁環嵌套結構，磁力形式表現為斥力；圖1（b）和（d）為大小相同的磁環，磁力形式表現為吸力。徑向永磁軸承可以在徑向產生穩定的懸浮剛度，當轉子在徑向上發生偏移，可以通過永磁環之間的斥力或引力產生回復力，使轉子回歸軸承中心；但是，徑向永磁軸承在軸向上表現為不穩定剛度，需要施加其他形式的力，如電磁力，配合實現轉子的全自由度穩定。

永磁環的充磁方向有徑向充磁和軸向充磁。軸向充磁的磁力集中在上、下兩個端面；徑向充磁的磁力集中于內、外兩個圓柱側面。目前，由于磁環徑向充磁的工藝還存在不足，特別對小尺寸磁環，充磁磁極小，充磁不充分。因此，實際的永磁徑向軸承大多數采用軸向充磁磁環，如圖1（c）和（d）所示。

本文采用如圖1（c）所示結構的徑向永磁軸承。徑向永磁軸承由兩個永磁環組成，外磁環為轉子，內磁環為定子，兩個磁環的充磁方向均為軸向充磁，方向相同，轉子和定子通過二者之間的斥力提供懸浮力。

1.2永磁軸承磁力分析方法簡介

永磁軸承的磁力分析主要有等效磁荷法、靜態磁路法和有限元法。

1.2.1 等效磁荷法

等效磁荷法將永磁體內部視為充滿一個個點磁荷。由于集膚效應，軸向充磁磁環的磁荷集中在磁環的上、下兩個端面。點磁荷的作用力公式如下：

式中， μ₀ 為真空磁導率； 為磁荷a和b兩點之間的距離（a和b分別表示圖2中上表面1上的一點和上表面3上的一點）； B_r1，B_r2 分別為兩個磁環的剩磁感應強度，也就是兩個軸向充磁磁環端面的面磁荷密度[5]； r_ab 為a指向b的方向矢量。

圖2為如圖1（c所示的雙環結構永磁軸承的三維模型。等效磁荷分別分布在磁環的上表面和下表面，因此，定子和轉子永磁環相互作用力分為四個部分，分別是定子上表面1和轉子上表面3、定子上表面1和轉子下表面4、定子下表面2和轉子上表面3、定子下表面2和轉子下表面4。定子內、外徑和轉子內、外徑分別為 R₁，R₂，R₃，R₄ ，兩個磁環的高度均為 h，z 為大磁環下表面到小磁環下表面的軸向距離， r 為大磁環圓心到小磁環圓心的徑向距離。

1.2.2靜態磁路法

對于雙環結構的永磁軸承，靜態磁路法把其等效為兩個無限長且平行的條形磁鐵，然后通過計算磁體單元間的作用力來得到整體磁力特性。為了能減小磁環曲率的影響，要求永磁環的直徑遠遠大于磁環的徑向寬度，才能忽略等效帶來的誤差。

如圖3和圖4所示， J_1?J2 分別為兩個磁體的磁極化強度，定義為單位體積內的磁偶極矩； γ，δ 分別為J_1?J2 與 x 軸的夾角； S₁，S₂ 為兩磁體的橫截面積； θ 為兩橫截面中心連線與 x 軸的夾角； r₁₂ 為兩磁體橫截面中心距離。

兩磁體之間徑向力 F_r 與軸向力 F_z 可以表示為[5，13]：

式中，l為永磁環的中心線周長。

對于磁環，需要再把 F_r 與 F_z 沿圓周積分，得到磁環之間的作用力。

當遇到永磁體是特殊設計的非標準形狀，或者永磁體之間的復雜三維運動等情況時，傳統的等效磁荷法、靜態磁路法很難滿足復雜情況的分析需求。

1.2.3 有限元法

有限元法是場論方法中常用的計算工具，其基本思想是將待求磁場區域離散成有限數量的單元，待求解量為單元上各節點的求解函數值，根據邊界條件列寫單元模型的方程組，單元模型整合為磁場整體模型。有限元法在解決非線性、形態復雜電磁場問題方面十分有效，并且更加精確。

隨著有限元軟件的開發和成熟，使用有限元軟件不需要掌握復雜的公式推導和計算，只要對相關材料、尺寸、位置關系、電流密度進行正確定義和建模，就能仿真得到有相當精度的結果，非常適用求解磁場工程性問題。有限元軟件降低了對使用者掌握磁場磁力相關基礎知識的要求，使用方便，成為頗為流行的磁場分析工具。

2永磁徑向軸承-圓盤轉子系統分析

2.1 有限元建模

本文研究的雙環結構永磁徑向軸承，大磁環的外徑為 11.5mm ，上、下徑向軸承間距僅為 9.5mm ，是典型的圓盤轉子，如圖5所示。小磁環為定子，大磁環為轉子，懸浮間隙為 1.1mm 。材料采用釹鐵硼，牌號N35，磁導率為1.099，剩磁感應強度為 1.23T 。采用有限元軟件AnsoftMaxwell，設置求解器為Magnetostatic靜磁場，在永磁環上設置需要求解的永磁力，初始網格劃分為 1mm ，網格細分后，收斂誤差控制在 1% 以內。

2.2轉子的徑向平動剛度和徑向扭轉剛度的定義

如圖6所示，轉子在外力 ΔF_r 的作用下引起徑向平動位移 Δx 或徑向扭轉角位移 Δθ，ΔM 為對應的外力矩。上、下軸承磁環的中心線距離為 2l_c

徑向平動剛度 K_r 和徑向扭轉剛度 K_N 的標準定義分別為：

其中，平動剛度的單位為 N/m ，扭轉剛度的單位為N?m/rad ，二者量綱不同，不能直接數值比較。為了使平動剛度和扭轉剛度能夠在相同量綱下比較，把扭轉剛度進行如下換算，當 Δθ 很小時，滿足sin（Δθ）=Δθ ，本文的扭轉剛度定義為：

2.3磁環軸向厚度的優化

從圖5看出，圓盤轉子由上、下兩個徑向軸承支承，中間用鋁隔圈隔開。為確保轉子總高度不變，如果上、下磁環軸向厚度增加，則中間的鋁隔圈減薄。

顯然有兩個問題，當軸承的內、外徑和間隙都確定的情況下，軸承軸向厚度與徑向永磁力是什么關系？是不是軸承軸向厚度越大，徑向永磁力越大？

進行有限元分析，由于磁環徑向寬度為 1.8mm ，分別選取磁環軸向厚度為 1.8，2.7，3.6，5.4，7.2mm 即磁環軸向厚度為磁環徑向寬度的1倍、1.5倍、2倍、3倍和4倍。徑向平動剛度的單位為 N/mm 。

圖7和圖8為分析結果，可見磁環軸向厚度從磁環徑向寬度的1倍增加到1.5倍，再增加到2倍，其徑向平動剛度和軸向剛度都有相應提升。但是，繼續增加磁環軸向厚度對徑向和軸向剛度的提升都無明顯效果。因此，磁環厚度與磁環徑向寬度為2：1的長方形截面是最佳值，再增大磁環厚度，對增大永磁力無效，如圖9所示。

2.4圓盤轉子徑向平動剛度和徑向扭轉剛度的差異和可調整性

對于細長軸（長徑比 ?1 磁懸浮轉子，其兩個徑向軸承距離遠遠大于轉子回轉直徑。通常經驗認為，如圖6所示，無論是轉子平動引起的位移 Δx ，還是轉子扭轉引起的一側磁環位移 Δx^′ ，只要 Δx 與 Δx^' 相等，那么 K_n 和 K_r 是相等的。

但大量實驗發現，對于圓盤轉子（長徑比 lt;1 ），其徑向平動剛度和徑向扭轉剛度的特性大不相同，平動剛度可能很大，但扭轉剛度幾乎為零。

首先進行定性分析，如圖10所示三種結構，外側大磁環是轉子，上、下兩個大磁環距離固定。內側小磁環是定子，兩個小磁環之間距離可以調節。比較三種結構的徑向平動剛度和徑向扭轉剛度的特性。

對于徑向扭轉剛度，圖中箭頭為永磁斥力矢量方向。可以看出，發生扭轉時，結構C的扭轉位移和永磁斥力方向相同，扭轉回復力最大。結構A情況下，因為轉子扭轉時，永磁斥力主要是方向角度的變化，永磁體之間距離變化不大，所以扭轉回復力最小。

實驗也得到相同結果，對于A、B、C三種結構，結構B徑向平動剛度最大，與結構A和C比較，徑向平動剛度只有細微差異。但結構C的徑向扭轉剛度明顯大于結構A和B，差異十分明顯。結構A在徑向平動剛度很大的情況下，徑向扭轉剛度幾乎為零。

至此，本文提出在圓盤轉子懸浮支承設計中，使上、下兩個轉子磁環軸向距離固定，適當增加兩個定子磁環的軸向間距，能顯著提高轉子扭轉剛度，提升懸浮穩定性。

定子磁環的軸向間距增加多少為最佳呢？以下為磁場力有限元定量分析，轉子的兩個磁環距離固定為 13mm ，定子的兩個磁環間距在 12～16mm 范圍內調節，分析其對應的徑向平動剛度和徑向扭轉剛度。分析結果如下：

對于徑向平動，如圖11所示，定、轉子磁環間距同為 13mm 時，定、轉子磁環正對，平動回復力最大。增加或減小定子軸承間距，都會使得定、轉子磁環錯開，平動回復力和平動剛度變小。

對于徑向扭轉，如圖12所示，可見，當定子磁環間距為 14.6mm 時，扭轉回復力和扭轉剛度最大。繼續增大定子磁環間距，扭轉回復力和扭轉剛度反而減小。定子磁環間距小于 13mm 時，扭轉回復力和扭轉剛度都很小。扭轉回復力和扭轉剛度的最大值出現在定子大于轉子磁環間距的某一個值處。

2.5改進結構后的徑向和軸向力學整體特性

前文分析，在圓盤轉子的懸浮設計中，適當增加定子磁環間距，能提升懸浮的扭轉剛度。對于永磁軸承而言，其徑向剛度和軸向剛度是耦合的，因此，本文建立了圓盤轉子懸浮實驗臺，如圖13所示。包括了徑向永磁懸浮、軸向電磁懸浮、霍爾位移檢測和懸浮控制，實現圓盤轉子的全自由度懸浮，以研究定子磁環間距的增加對永磁軸承徑向和軸向整體力學特性的影響。

圖14為定子磁環間距在 13～16mm 范圍內永磁軸承體現的徑向力學特性。顯然，定子軸向間距越大，定、轉子磁環位置錯開就越大，徑向剛度自然降低。但是，無論定子軸向間距大小，徑向力隨位移變化的線性度都非常好，即徑向剛度為恒值。

圖15為定子磁環間距在 13～16mm 范圍內永磁軸承體現的軸向力學特性。從圖15中可知，徑向永磁軸承軸向剛度不穩定，即轉子在軸承中心受軸向一側外力時，位移發散不穩定，為負剛度概念。

從圖15的軸向剛度分析可知，當定、轉子磁環間距相同，都為 13mm 時，轉子在軸承中心位置的軸向剛度最大；轉子向軸向一側移動，軸向剛度迅速減小，說明軸向永磁力隨軸向位移變化為強非線性

關系。逐漸增大定子磁環間距，轉子在軸承中心的最大軸向剛度逐漸減小，但是，軸向剛度隨軸向移動減小的斜率變緩，甚至軸向剛度隨軸向位移保持恒值（在圖中紅圈的位置），這意味著此范圍內的軸向力學特性是線性的，那么軸向電磁懸浮的設計僅需要用簡單的線性控制器，如傳統的PID控制，就能獲得很好的控制穩定性。

實驗結果表明，圓盤懸浮轉子如果采用定、轉子磁環間距一致的結構，由于扭轉剛度不足，懸浮很困難。在增加定子磁環間距后，懸浮穩定性明顯增強，用簡單的PID控制器就能獲得很好的懸浮控制效果。

3結論

通過實驗和有限元分析，同樣是兩個徑向永磁軸承支承的圓盤轉子表現的支承特性，與細長軸轉子磁懸浮支承的情況大不相同，本文研究結論如下：

（1）徑向永磁軸承的磁環徑向尺寸一定時，不能通過增加磁環軸向厚度來增大徑向剛度。以本文研究對象的尺寸，軸向厚度為徑向寬度的2倍為最大剛度值，再增加磁環軸向厚度對增加徑向剛度作用不大。

（2）在磁懸浮圓盤轉子結構設計中，因為兩個徑向軸承相距很近，其徑向平動剛度和徑向扭轉剛度差異很大。平動剛度可能很高，但扭轉剛度幾乎為零。

（3）保持兩個轉子磁環間距固定，適當增加兩個定子磁環間距，可以有效地提高轉子徑向扭轉剛度；利用有限元分析，可以容易地確定定子磁環間距的最佳值，使得同時擁有合適的徑向平動剛度和徑向扭轉剛度。

（4）保持兩個轉子磁環間距固定，適當增加兩個定子磁環間距，軸承的最大軸向剛度會隨之降低；但是，軸向永磁力的線性范圍會增大，范圍內軸向剛度為恒值，這有利于軸向電磁懸浮僅采用簡單的PID線性控制器就能很好地控制懸浮穩定性。

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第一作者：王洪明（1999一），男，碩士研究生。E-mail：1974417079@qq.com

通信作者：蔣科堅（1972一），男，博士，教授。E-mail：jkjofzju@163.com