項目主題從何而來

項目式學(xué)習(xí)是提升核心素養(yǎng)、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑[1。項目主題的選擇是項目式學(xué)習(xí)的開端。項目主題是指某個待探究的數(shù)學(xué)課題或者亟待解決的情境性問題[2]。作為項目式學(xué)習(xí)的核心，項目主題引領(lǐng)了項目后續(xù)一系列活動或任務(wù)的開展方向，重要性不言而喻。然而，在實際教學(xué)中，項目主題的選擇面臨著無從下手、同質(zhì)化嚴(yán)重等問題，教師苦于找不到適合的主題，從而直接影響了項目式學(xué)習(xí)落實的效果和質(zhì)量。項目式學(xué)習(xí)要求學(xué)生從真實世界中的基本問題出發(fā)，圍繞真實情境中的主題開展項目活動，因此項目主題的選擇要兼顧知識性與情境性。項目式學(xué)習(xí)是學(xué)科素養(yǎng)與跨學(xué)科素養(yǎng)的融合[3]，項目往往涉及多學(xué)科的知識，知識性不僅是指學(xué)科知識，也包括跨學(xué)科知識。因此，項目的主題確定可從三個角度出發(fā)：學(xué)科本位引領(lǐng)、跨學(xué)科融合探究與真實情境驅(qū)動。

一、深化知識，構(gòu)建體系：學(xué)科本位引領(lǐng)的項目主題

學(xué)科項目式學(xué)習(xí)應(yīng)首要聚焦學(xué)科知識，因此從學(xué)科知識出發(fā)尋找是項目主題是最直接的一種方式。但學(xué)科知識體系龐大復(fù)雜，面對浩瀚無垠的知識海洋，該如何著手？

（一）基于數(shù)學(xué)核心知識

數(shù)學(xué)核心知識是關(guān)鍵素材庫[4]。一個核心知識往往是由多個緊密相連的知識團(tuán)所構(gòu)成，這些知識團(tuán)并不拘泥于傳統(tǒng)教材的劃分，而是層層遞進(jìn)、相互銜接地形成知識網(wǎng)絡(luò)，并且根據(jù)實際需要還可以融入其他相關(guān)知識團(tuán)，使整個項目更加飽滿和連貫[5]。核心知識往往反映了核心內(nèi)容與教學(xué)重點，以其作為項目主題的基礎(chǔ)，可以幫助學(xué)生建立起對數(shù)學(xué)的深刻理解。因此，教師可以從數(shù)學(xué)核心知識中尋找具有挑戰(zhàn)性和實際意義的項目主題。

例如，圍繞“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”這一核心知識，可以設(shè)計“光影探索：圓錐曲線的光學(xué)秘境”項目，學(xué)生可以在動手操作感受光學(xué)性質(zhì)的同時，深入理解圓錐曲線的性質(zhì)與應(yīng)用。又如，基于“多面體的體積與表面積”核心知識，可以設(shè)計“禮盒工坊”項目，學(xué)生通過設(shè)計、制作禮盒包裝，感受多面體的體積與表面積的關(guān)系，深化數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

（二）基于數(shù)學(xué)單元主題

一個項目往往涉及廣泛的數(shù)學(xué)知識，項目主題要能將零散的知識點串聯(lián)起來。教師可直接從知識單元出發(fā)，圍繞一個單元主題將知識點串聯(lián)好，再展開項目式學(xué)習(xí)，實現(xiàn)單元內(nèi)容的整合與深化。

以“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”為例，該章的內(nèi)容包括成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型和獨立性檢驗等，這些知識與方法對于提高學(xué)生解決實際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)都非常有幫助，但因其理論抽象、公式復(fù)雜，學(xué)生常常感到枯燥。因此，可以嘗試?yán)庙椖渴綄W(xué)習(xí)進(jìn)行單元重構(gòu)，創(chuàng)設(shè)主題為“探索影響身高的多元因素”的項目式學(xué)習(xí)（見表1）。

表1“探索影響身高的多元因素”項目式學(xué)習(xí)

（三）基于數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

數(shù)學(xué)模型作為連接實際問題與數(shù)學(xué)理論的橋梁，可以為項目式學(xué)習(xí)提供豐富的素材和靈感。在項目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往需要解決一些具有實際意義的問題，那么可以利用數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實問題抽象化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析和求解。這個過程本身就是一個探索性的項目，學(xué)生需要運用批判性思維、創(chuàng)新思維等來提出假設(shè)、設(shè)計探究方案，并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和驗證。數(shù)學(xué)模型通常涉及多個學(xué)科的知識，如物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等，因此基于數(shù)學(xué)模型的主題較容易與其他學(xué)科進(jìn)行整合，并且具有很強的實踐性與實用性，不僅有助于學(xué)生全面理解問題，還能培養(yǎng)綜合能力和跨學(xué)科思維。

在高中階段，學(xué)生接觸到的數(shù)學(xué)模型較多，可以從中挖掘出有趣且富有教育意義的項目主題：借助指數(shù)函數(shù)模型，可開發(fā)“城市規(guī)劃與人口增長預(yù)測”項目式學(xué)習(xí)，利用數(shù)學(xué)模型預(yù)測城市發(fā)展的趨勢；借助三角函數(shù)模型，設(shè)計“月有陰晴圓缺”項目，從自然現(xiàn)象出發(fā)，探討周期性背后的規(guī)律；“骰子游戲：最佳游戲策略”項目則基于古典概型，利用數(shù)學(xué)知識尋找最優(yōu)的游戲策略。

（四）基于數(shù)學(xué)思想啟迪

數(shù)學(xué)思想提供了分析和解決問題的基本思路和方法。基于數(shù)學(xué)思想設(shè)計項目主題，數(shù)學(xué)思想方法往往貫穿項目式學(xué)習(xí)的全過程，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理，掌握解決數(shù)學(xué)問題的策略。

以“極限思想”為例，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)圓的面積時，最早接觸到“分割一近似一求和”的割圓術(shù)，或是“圓內(nèi)接多邊形”“圓外接多邊形”等近似圓的面積；進(jìn)入初中，極限以直觀、感性的方式呈現(xiàn)在反比例函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)中，即當(dāng) x 趨于0時，y趨于無窮大或無窮小；到了高中階段，從平面的“割圓術(shù)”到了立體的“祖晅原理”，學(xué)生對極限的理解也隨著導(dǎo)數(shù)定義、物理中瞬時速度的學(xué)習(xí)而更加深人。由此，將與“極限思想”有關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，適當(dāng)補充情境素材，便可以開發(fā)“無窮的極限”項目。類似地，也可以開發(fā)“函數(shù)思想”有關(guān)主題。

立足學(xué)科本位，從核心知識、單元主題、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)思想中挖掘項目主題，能夠深化學(xué)生對于知識的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的整合與應(yīng)用，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。但需要注意的是，并非每一個數(shù)學(xué)知識都適合直接作為項目主題。在選擇主題資源時，需要考慮真實性與可探究性。項目式學(xué)習(xí)之所以備受青睞，關(guān)鍵在于它能夠打破傳統(tǒng)課堂的界限，將學(xué)生置身于真實世界中。一個理想的項目主題要能緊密連接理論知識與現(xiàn)實生活，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不是枯燥無味的公式和定理，而是有溫度、能使用的知識與工具。比如，數(shù)學(xué)中的純理論推導(dǎo)和遠(yuǎn)離現(xiàn)實的幾何證明，雖然能鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，但缺乏與真實世界的連接，難以找到與其匹配的情境，所以不適合作為項目主題。當(dāng)然，僅僅適用于真實情境還不足以構(gòu)成一個優(yōu)秀的項目主題，還需要進(jìn)一步判斷其是否具有可探究性。在項目中，學(xué)生要主動探索、發(fā)現(xiàn)知識，而非被動接受。因此，在選擇項目主題時，必須評估所選的數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度和廣度是否能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲。可探究性強的項目主題，應(yīng)能引發(fā)學(xué)生提出一系列有意義的問題，并通過設(shè)計制作、調(diào)查分析等步驟，逐步解決問題。

二、拓寬視野，綜合應(yīng)用：跨學(xué)科融合探究的項目主題

項目式學(xué)習(xí)要立足于學(xué)科本位，但并不意味著不涉及其他學(xué)科的知識與能力。項目式學(xué)習(xí)往往圍繞一個綜合性的主題展開，這個主題可涉及多個學(xué)科領(lǐng)域。因此，從其他學(xué)科入手，也是尋找項目式學(xué)習(xí)主題的常用方法。

（一）融合數(shù)學(xué)與自然科學(xué)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性和工具性學(xué)科，能為自然科學(xué)提供精確描述、分析和預(yù)測現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型和工具。反過來，自然科學(xué)中的實際問題也常常需要運用數(shù)學(xué)方法來解決，這反過來也推動了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和完善。將數(shù)學(xué)與自然科學(xué)融合為項目主題，不僅能加深學(xué)生對多學(xué)科知識的理解和掌握，還能促進(jìn)學(xué)科之間的交叉融合和創(chuàng)新。學(xué)生可以運用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行建模、分析，進(jìn)而解決自然科學(xué)中的實際問題。在這個過程中，學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還能深人理解自然科學(xué)的現(xiàn)象和規(guī)律，從而拓寬視野，增強創(chuàng)新能力和解決問題的能力。

自然科學(xué)中的許多原理與數(shù)學(xué)密不可分，由此可以開發(fā)融合數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的項目。比如，將數(shù)學(xué)與物理聯(lián)結(jié)，融合反比例函數(shù)性質(zhì)與杠桿原理開發(fā)“撬起地球的杠桿”項目，融合初等幾何與光反射原理開發(fā)“望遠(yuǎn)鏡的制作”項目；將數(shù)學(xué)與化學(xué)聯(lián)結(jié)，融合對數(shù)函數(shù)與溶液pH值開發(fā)“溶液酸堿性中的對數(shù)”項目，融合指數(shù)函數(shù)與元素半衰期開發(fā)“碳-14：助力科技考古”項目；將數(shù)學(xué)與生物學(xué)聯(lián)結(jié)，融合多邊形與蜜蜂的習(xí)性開發(fā)“蜂巢建筑手冊”項目，融合數(shù)列與兔子繁殖問題開發(fā)“斐波那契的無限變奏”項目；等等。通過這些項目，學(xué)生可以更好地理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的知識，培養(yǎng)解決實際問題的能力和創(chuàng)新思維。

（二）融合數(shù)學(xué)與工程技術(shù)

隨著科技的飛速發(fā)展，解決問題需要更加精確、高效的方案。項自式學(xué)習(xí)強調(diào)將理論知識應(yīng)用于實踐情境中，通過解決實際問題來深化對數(shù)學(xué)原理的理解。數(shù)學(xué)提供了解決問題的理論支持，工程技術(shù)則是落實理論的重要手段。

數(shù)學(xué)與工程技術(shù)融合的主題離不開產(chǎn)品制作，如開發(fā)“橋梁工程師”“太陽能板安裝最佳角度”“校園地圖繪制”“齒輪嚙合的條件”等項目，通過設(shè)計制作，提升學(xué)生的動手能力、創(chuàng)新能力與協(xié)作能力。又如數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計項目“校園健康調(diào)查”，利用信息技術(shù)手段收集、分析數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力與統(tǒng)計素養(yǎng)；“立體圖形的可視化”項目通過編程或數(shù)學(xué)可視化軟件進(jìn)行立體圖形作品的設(shè)計與制作。這些主題不僅能夠豐富項目式學(xué)習(xí)的種類，也為學(xué)生提供了多元的學(xué)習(xí)方式和展示平臺。

（三）融合數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)

數(shù)學(xué)的顯著特點是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼途_的計算，而人文藝術(shù)則追求情感表達(dá)與審美體驗，兩者的融合能夠?qū)崿F(xiàn)理性與感性的和諧統(tǒng)一。人文藝術(shù)包含的內(nèi)容多元，文學(xué)、音樂、美學(xué)等都能與數(shù)學(xué)碰撞出火花。

以文學(xué)為例，可以開發(fā)“詩詞韻律中的數(shù)”，研究詩詞中的數(shù)字特征；當(dāng)音樂與數(shù)學(xué)融合，從十二平均律出發(fā)可以開發(fā)“數(shù)學(xué)也動聽”項目，還可以動手制作小樂器，如“自制排簫”項目；“傳統(tǒng)紋樣中的圖形變換”“密鋪的奧秘”“黃金分割：美的密碼”等融合美學(xué)的項目中蘊含著豐富的藝術(shù)價值與數(shù)學(xué)原理；從歷史文化角度出發(fā)，可以設(shè)計“數(shù)學(xué)危機”“數(shù)的發(fā)展”等梳理數(shù)學(xué)史的項目；中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中蘊含濃厚的數(shù)學(xué)元素，剪紙、規(guī)、矩、圭表等傳統(tǒng)物件，以及二十四節(jié)氣與中秋、端午等傳統(tǒng)節(jié)日，都是可以開發(fā)的主題。這些項目主題不僅有助于學(xué)生在實踐中掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還能增強他們的民族自豪感，促進(jìn)綜合素質(zhì)的全面發(fā)展。

跨學(xué)科項目打破了傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)科界限的束縛，鼓勵學(xué)生跨越學(xué)科壁壘，多角度、多層次審視問題。值得注意的是，跨學(xué)科融合的項目往往涉及數(shù)學(xué)與其他多個學(xué)科的融合，在主題選擇時可以以某一學(xué)科為切入點，在具體項目設(shè)計中進(jìn)行其他學(xué)科的拓展。這需要教師與學(xué)生在日常學(xué)習(xí)生活中有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的眼晴，能透過現(xiàn)象看到其他學(xué)科中蘊含的數(shù)學(xué)原理。

三、貼近生活，實踐創(chuàng)新：真實情境驅(qū)動的項目主題

時代快速發(fā)展，學(xué)生不僅需要掌握扎實的知識，更要具備在現(xiàn)實生活中解決實際問題的能力，以及面對復(fù)雜情境時的批判性思維和決策能力。真實情境下的主題能驅(qū)動學(xué)生主動探索、發(fā)現(xiàn)并整合數(shù)學(xué)知識，從而實現(xiàn)知識的深度理解和應(yīng)用。真實情境驅(qū)動的項目主題尤其注重從廣泛、多元的現(xiàn)實情境中提煉學(xué)科知識，以考察學(xué)生的應(yīng)用能力與跨學(xué)科視野。無論是現(xiàn)實生活的細(xì)微觀察、社會熱點的深人剖析、職業(yè)領(lǐng)域的初步探索，還是地方資源的獨特利用、未來科技的前瞻展望，乃至個人興趣與愛好的深度挖掘，都能為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源和廣闊的探索空間。

情境源自生產(chǎn)、生活的方方面面，可以從現(xiàn)實生活、社會熱點、職業(yè)規(guī)劃、地方資源、未來科技、興趣愛好等多個角度出發(fā)選擇合適的主題。在現(xiàn)實生活方面，“校園‘綠動’未來”項目利用幾何原理測量并規(guī)劃、設(shè)計校園綠化布局以優(yōu)化空間利用，“‘傘’亮登場”項目利用平面幾何關(guān)系設(shè)計并制作雨傘，“營養(yǎng)搭配師”項目通過數(shù)據(jù)調(diào)查與分析合理規(guī)劃膳食健康；在緊密關(guān)聯(lián)社會熱點方面，可通過數(shù)學(xué)建模預(yù)測疫情傳播趨勢、人口增長問題等；在職業(yè)探索方面，可模擬股票市場分析，讓學(xué)生運用統(tǒng)計方法制訂投資策略；在地方資源的融入方面，可以聚焦“義烏國際商貿(mào)城的智慧物流優(yōu)化”，分析其物流系統(tǒng)如何運用算法優(yōu)化貨物配送；在面向未來科技方面，項目可圍繞人工智能算法來優(yōu)化問題，運用線性規(guī)劃等知識初步探索“共享單車最佳放置點”；在個人興趣與愛好激發(fā)方面，無論是音樂、美術(shù)、體育，還是學(xué)生喜愛的抽獎游戲、編程、魔術(shù)，都能找到關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)的契合點，開發(fā)“體育與心率”“幸運大抽獎”“撲克讀心術(shù)”等項目，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的獨特魅力。這些情境不僅貼近學(xué)生的生活實際，易于引發(fā)共鳴，而且能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，促使他們積極參與到項目學(xué)習(xí)中。

當(dāng)然，并非所有情境都能直接納入項目主題的素材庫，情境素材應(yīng)具有數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性、真實性、開放性，還應(yīng)考慮學(xué)生的興趣愛好。情境需具備高度的數(shù)學(xué)內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，即能夠自然地嵌入數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索興趣和深度思考。這種關(guān)聯(lián)不應(yīng)是牽強附會，而應(yīng)是深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)后的自然延伸。情境的真實性是確保其應(yīng)用價值的重要前提。真實性要求情境緊密貼合現(xiàn)實世界，能夠反映社會、經(jīng)濟(jì)、科技等領(lǐng)域的實際問題，使學(xué)生能夠在解決真實問題的過程中深化對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用。情境的開放性是情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)主題的關(guān)鍵要素。開放性意味著情境應(yīng)涉及多角度、多層次的思考，允許學(xué)生自由探索，從而培養(yǎng)批判性思維、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊協(xié)作能力。當(dāng)然，真實情境還需充分考慮學(xué)生的興趣愛好，這要求教師具備深厚的專業(yè)知識、敏銳的觀察力和高度的教育智慧，能夠精準(zhǔn)把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)需求。

四、結(jié)語

學(xué)科本位引領(lǐng)的主題源于學(xué)科（數(shù)學(xué)）本身，符合真實性與可探究性的原則；跨學(xué)科融合探究的主題源于其他學(xué)科與數(shù)學(xué)的聯(lián)結(jié)點，跨越學(xué)科壁壘；真實情境驅(qū)動的主題源于現(xiàn)實生活的方方面面，具有關(guān)聯(lián)性、真實性、開放性，還需關(guān)注學(xué)生的興趣愛好。在日常教學(xué)中，教師可以從學(xué)科知識、跨學(xué)科知識與真實情境三方面同時入手，建立資源素材庫。在開發(fā)項目式學(xué)習(xí)時，可從素材庫中初步選定項目主題，隨后進(jìn)行反思自查和必要修正，適當(dāng)補充素材，確保項目主題能夠承載起內(nèi)容。這樣的項目主題，才能既滿足學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)需求，又為其未來的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。在項目資源開發(fā)的過程中，還應(yīng)注重項目內(nèi)容的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和創(chuàng)新性，確保項目活動能夠真正促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的全面提升。

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（責(zé)任編輯：潘安）