HPM視域下小學數學跨學科主題學習的設計與實施策略

數學跨學科主題學習以解決實際問題為重點，旨在打破學科壁壘，綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質。它不僅有助于拓寬學生的知識視野，提升其創新思維和合作能力，還能為國家培養適應新時代需求的人才。為了切實促進跨學科學習的落地，《義務教育課程方案（2022年版）》（以下簡稱《課程方案》）明確規定“各門課程用不少于 10% 的課時實施跨學科主題學習\"]，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）也要求“優化課程內容結構，提倡開展跨學科主題學習\"[2]

然而，《課程方案》與2022年版課標頒布已超過三年，數學跨學科主題學習的實施仍存在不少問題。如：跨學科主題內容匱乏， 10% 的課時得不到保障；主題活動的素養目標指向不清晰，學生參與感不強;數學學科特征不突出，育人價值不夠凸顯等等。3-4]歷史上，數學與天文、音樂、美學等都存在密切聯系。一方面，數學的產生、發展與完善受其他學科的驅動，另一方面，數學也為其他學科的發展與完善提供了強有力的支撐。那么，數學史是否有助于解決當前小學數學跨學科主題學習存在的問題？如果是，又是如何助力這些問題的解決的？

一、數學史融人跨學科主題學習的意義與價值

在HPM（Historyamp;Pedagogyof Mathematics，即數學史融入數學教育）視域下，將數學史料融入小學數學跨學科學習，有助于獲取多樣的學習主題、設計有效的學習活動、形成豐富的育人價值。

（一）數學史提供了豐富的主題

數學的發展既是出于自身發展的需要，也是其與外部互動的結果，而數學與外部的互動就是跨學科的基礎與體現。在人類歷史上，數學的發展和它與外部的互動相伴相生，包括兩個方面。一方面，外部問題的解決促進了數學知識的產生與發展。比如，四大文明古國幾何學的誕生都是為了解決河谷文明農業生產中土地的分配問題。因為土地測量的需要，四大文明古國不約而同地發明并完善了面積理論。特別是中國，還在人類歷史上第一次完善了分數計算理論，這在《九章算術》的“方田”一章可見一斑。另一方面，數學理論的應用促成了外部問題的解決與系統的完善。比如在音樂上，“三分損益\"實現了由用耳定音到用數學定音的飛躍，“十二平均率\"則讓變音成為現實。正是這兩個數學原理的應用，使音樂理論趨于完善。可見，數學史能為跨學科學習的開展提供豐富的主題，是跨學科主題學習的優質課程資源。

（二）數學史提供了學科實踐的思路

學科實踐是指具有學科意蘊的典型實踐，即學科專業共同體懷著共享的愿景與價值觀，運用該學科的概念、思想與工具，整合心理過程與操控技能，解決真實情境中的問題的一套典型做法。51小學數學跨學科主題學習因其跨學科的特性，導致實踐過程中學科邊界弱化，多學科的思維方式并存，甚至以其他學科的思維方式為主導。在數學史上，數學與外部的互動過程引發了數學知識的產生與發展，催生了數學理論的應用，進而實現了跨學科問題的解決。可見，數學“主導\"了它與外部的互動過程，即運用數學概念、思想與工具解決跨學科問題的過程。這為小學數學跨學科主題學習的學科實踐提供了思路，避免了喧賓奪主的現象發生。

（三）數學史豐厚了育人價值

數學的發展過程不僅是數學知識產生、發展、應用的過程，還是一個數學與文化互動的過程，是人類開拓進取、突破極限的體現。學生“重走\"歷史上數學的創造、應用之路，解決有挑戰性的數學難題，不僅能發展自身的關鍵能力，還能在與古人的“對話”中錘煉自身的價值觀與必備品格。在以數學史為載體的跨學科主題學習中，學生首先用數學的眼光對跨學科問題進行審視，發現問題，提出問題，分析問題，初步建立問題解決與數學的聯系，好奇心、想象力、創新意識得以發展，數學文化意識被喚醒。然后用數學的思維對跨學科問題的解決進行思考，進一步分析問題，設計解決問題的方案，并實施方案以解決問題，在“重走\"古人之路，對數學進行“再發現\"的過程中，體會古人不畏險阻的探索精神，科學態度與理性精神得以發展。最后用數學語言對跨學科問題的解決進行表達，即將問題的解決用簡潔、準確的數量關系或空間形式描述出來，甚至上升到普適性的模型層面，應用意識與實踐能力得到發展。這樣，借助“古今對話\"的形式，將探究過程與探究結果同不同時代、不同民族、不同國家共同努力的過程和結果進行對比，學生的自信心得以增強，對數學的價值認知更為深刻。

二、HPM視域下小學數學跨學科主題學習的具體內容

豐富的跨學科素材是開展跨學科主題學習的基礎，它有利于解決目前小學數學教學中跨學科主題內容匱乏的現狀。適合小學生開展跨學科主題學習的數學史內容可以分為兩類：一類是教材已收錄的，如七巧板、算籌等；另一類是未被教材收錄的，如骰子、華容道等。教師應立足教材已收錄主題，對小學數學跨學科主題學習的內容進行擴充。受到小學數學教學內容及教材容量的限制，人教版教材收錄的數學史內容淺顯，數量有限。根據內容特征，結合汪曉勤對數學史料的分類[，可將人教版教材收錄的數學史內容分為益智類傳統數學游戲、工具迭代史、數學知識演變史、數學家故事及數學思想方法四類。具體內容見表1。

（一）益智類傳統數學游戲

小學生天性愛玩，數學與游戲融合比較適合小學生。在課內外開展傳統數學游戲操作活動或組織數學作品設計展，不僅有利于激發學生學習數學的興趣，滿足學有余力學生的需求，還有利于激發學生的創造力，提升學生的綜合素養。以七巧板為例，它與三角形、正方形、平行四邊形等圖形的認識緊密結合。學生可借助七巧板進行創意拼組，拼搭出美麗的圖案，由此發展空間想象力、創新能力以及審美能力。

（二）工具迭代史

小學階段數學史料中的工具迭代史類內容，主要包括計時工具、度量衡工具、計數工具、貨幣、指南針等。這些內容比較適合第一、二學段學生，并可以與科學、語文、藝術、勞動等學科相融合。教師可引導學生通過資料查找、文本閱讀，了解工具演變歷史。依托\"觀察一猜想一驗證”，經歷科學發現的過程，在動手實驗或制作中，培養學生的跨學科思維。如將探究日晷的原理與制作日晷相結合，用手電筒模擬太陽照射小棒，觀察“太陽\"照射下小棒影子的長度與方向變化，記錄后形成日晷表面，再通過創意藝術設計，融入傳統文化經典圖案，加工制作成簡易日晷。

（三）數學知識演變史

知識演變史是數學史料中占比較多的內容，比較適合第二、三學段學生，同樣可以與科學、語文、藝術、勞動等學科融合。比如，丈、尺、寸是我國特有的長度單位，雖然如今已漸漸退出歷史舞臺，被國際通用的來制單位所替代，但它們為長度單位的發展和日常生活中的度量作出了貢獻，能夠反映度量單位發展和演變的內在邏輯與規律。對此，教師可創設問題情境：“為什么秦始皇要統一度量衡？”學生需要收集資料，結合歷史故事，了解中國古代度量衡的演變以及“書同文、車同軌\"的統一意義。借助成語“得寸進尺”“道高一尺，魔高一丈\"等，探究丈、尺、寸之間的關系。同時，經歷“布手知尺\"的以身為度過程，通過對比“一柞一臂一度\"的粗略與‘米制”的精確，體會統一的標準計量單位給交流帶來的便利，理解數學與人類文明發展的深刻聯系。

（四）數學家故事及數學思想方法

與前面三類相比，數學思想方法更為抽象，比較適合第三、四學段學生，可以與語文、藝術等學科融合。如“田忌賽馬\"的智慧，既涉及概率意識，又包含排列組合和策略優化思想。學生可通過故事會，了解戰國時期的社會背景與孫臏的成長經歷。借助\"微型劇本創編\"和\"齊王視角辯論會”，實現數學與藝術、語文的融合。借助“真人賽馬運動場\"和“策略思維導圖畫廊”，實現數學與體育、藝術的融合。在此基礎上，選用繪畫、表演等藝術形式模擬賽馬游戲中的實踐策略，感受“運籌帷幄\"的重要性，樹立積極動腦、策略優化方能獲勝的思想與信念。

在2022年版課標列舉的跨學科主題活動中，“身體上的尺子”“王圭之法的故事”“曹沖稱象的故事\"“度量衡的故事\"“如何表達具有相反意義的量'等五個主題，與數學史、數學文化存在密切聯系。不同類型的數學史料，不僅為開展上述主題活動提供了素材，也為拓展主題活動的范圍、提升主題活動的深度提供了資源和啟示。

三、HPM視域下跨學科主題學習的實施策略

數學史不會自動變成具有課程意義和教學價值的數學教學資源，而是需要教師有目標地規劃、設計探究性任務，將其創造性地轉化為教學行為。唯有這樣才能解決制約小學數學跨學科主題學習開展過程中“主題活動的素養目標指向不清晰，學生參與感不強；數學學科特征不突出，育人價值不夠凸顯”等關鍵問題。

（一）目標定位：從知識立意到素養立意

學習自標的定位具有導向作用，它既是教學的起點，也是教學的終點。跨學科主題活動的學習目標旨在通過整合多學科知識，培養學生的綜合運用能力與核心素養。

1.指向綜合能力的發展

古代數學的發展多由實際問題驅動，內容貼近真實生活情境，活動主題具有現實意義。以數學史為載體的主題活動，可以引導學生打破學科壁壘，在真實情境中靈活調用科學、人文、藝術等領域的知識解決復雜問題，發展綜合素養。比如，跨學科主題學習“來尺的由來\"讓學生測量一根長為0.75來木頭的長度。學生用1米長的尺子測量，發現米尺太長。于是教師引導學生把米尺細分成10份，每份是1分米。學生測量后發現還有剩余，繼續細分得到1厘米。在這一過程中，學生真實地體驗到不同計量單位產生的必要性。學生還基于歷史，結合視頻了解了度量的起源、發展和應用，認識到數學不是孤立的，而是與人類發展緊密相連。再結合語文學科中的成語典故，分享與尺子有關的成語，理解成語背后的數學故事與含義。既長知識，又提升解決實際問題的能力；既提升語文素養，又兼顧了人文素養。

2.指向高階思維的培養

高階思維包括分析、評估、創新等方面。跨學科主題學習注重對學生批判性思維與創新意識的培養。通過HPM視域下的跨學科主題學習，可以有效培養學生的高階思維。例如，在跨學科主題學習“古代計時工具”一課中，教師提供圖片與視頻，讓學生了解中國古代不同時期的計時工具。從測影計時、圭表、日晷、水鐘、沙鐘、銅壺滴漏、渾天儀到鐘表，學生通過觀察、猜想、演示、實驗等活動，明確了歷史上不同時期計時工具的局限性以及迭代的原因，對計時工具以及其中包含的數學原理作出客觀評價。經歷多輪辨析，學生主動參與設計創新。如在“如何讓銅壺滴漏更準確、更科學\"的實驗操作中，教師引導學生綜合科學知識，創造性地提出“增加銅漏壺個數，使底部銅壺水壓保持穩定\"的方法，感受古人的智慧以及這些智慧對當前學習的啟發、借鑒作用。

（二）任務設計：變簡單再現為探究創造

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾曾經說過：孩子應該重復人類的學習過程，但不是簡單地、完全地再現歷史，而是引導學生進行再創造的學習過程。HPM視域下的跨學科主題學習圍繞“解決問題”展開。教師可以引導學生主動探究，發展創新意識和實踐能力。

1.設計真實問題情境

分析數學史提供的歷史背景、數學家故事以及數學知識在各個時期、各個領域的應用，尋找并設計適合學生的真實問題，有利于激發學生的探究欲望。如在跨學科主題學習“黃金比\"中，教師基于學生的認知水平，選取我國數學家華羅庚運用黃金比知識解決“中國白酒多少度口感最好\"這一史料設計問題。其中，問題“算一算，如何用黃金比（0.618）確定白酒度數？”有一定的挑戰性，學生探究欲望強烈，主體地位明顯，培養學生數學眼光、數學思維、數學語言核心素養的目標清晰。

2.經歷知識形成全過程

跨學科主題活動的任務設計應呈進階式，逐步深入，強調探究與創造。如教師在跨學科主題學習“宮商角徵羽”一課安排了三個探究任務，由易到難，由淺入深。任務一：探究宮音與徵音之間的關系，引出“三分益一”。任務二：自主選擇“徵商羽角\"中相鄰的2個音，完善“三分損益\"法。任務三：如何應用“三分損益\"法創造五音？學生四人小組合作，選擇“水與玻璃量杯\"“橡皮筋與吸管\"其中一組材料，用“三分損益\"法創造用“量杯\"“吸管\"制成的樂器，找到五音并彈奏或吹奏樂曲。學生由此經歷從初步感知到發現“三分損益”，再到理解運用，最后動手創造的全過程，體會到運用數學知識解決問題的精準性和有效性。

（三）學習評價：立足“不動點”，凸顯數學史對主題學習的價值

學習目標的重新定位與學習方式的重塑將引發學習評價的改變。基于數學史的小學數學主題學習評價要與素養立意、探究創造等相匹配，對數學史在跨學科主題學習中所發揮的作用進行評價。

1.立足“不動點”

無論是指向新知學習的主題學習，還是綜合運用所學解決問題的主題學習，其學習效果的檢驗首先都要關注對數學本質的掌握與運用，即“不動點”。因此，基于數學史的主題學習教學結束后，教師需要編制相應的題目對學生進行考查。比如，質量內容的學科本質是質量單位。學生在稱重的過程中，經歷了中國古代度量單位的產生、度量單位的統一、度量單位的擴充。在這之后，教師設置\"用天平稱出物品質量，并比較這一過程與古代稱量過程的相同之處”的評價任務，考查學生能否遷移稱重方法，能否概括出稱重單位在稱重過程中的重要性。這一評價任務將學生置于未系統學習天平的使用的現實情境中，重點考查學生對度量單位的認知。

2.凸顯數學史的價值

無論主題學習以何種視角、何種載體、何種形式開展，除了對數學本質這一“不動點\"的考查，還需對與主題學習相關的視角、載體、形式等進行評價，以凸顯它們對主題學習的價值。數學史豐厚了主題學習的育人價值。對于這一方面，應該如何考查？從過程上看，可以對學生基于數學史的學習活動進行評價。包括：學生能否把學習情境轉化為數學問題？是否探究出了解決問題的方案？他們是怎樣思考的？當得知自己經歷了古人的探索過程，得到了古代數學家的探究結果后，他們的感想是什么？從結果上看，可以編制評價題目，讓學生表達所思所想所感。比如，在學生學完中國古代的音樂理論“三分損益”后，可以編制“如果沒有‘三分損益'法，中國古代音樂會怎樣？\"的題目，以考查學生對“三分損益”價值的認知，看看學生是否意識到有了“三分損益\"這一數學工具，樂器制作實現了由用耳定音到用數學方法定音的飛躍。

總而言之，HPM視域下的跨學科主題學習能充分發揮數學史的文化價值與教學價值，以問題探究為導向，凸顯學生的主體地位，有助于提升學生的文化素養與精神品格。學生不僅能提升解決問題的能力、創新能力，還能深刻理解國家和民族的基本價值觀，落實“立德樹人\"的教育目標。

參考文獻：

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