滾石運動加速度波形的EFD分析方法

中圖分類號：TH89 文獻標志碼：A

EFD analysis method for acceleration waveform of rockfall motion

ZHANG Yuting12， LI Ran'，GAO Dizhe’，LIU Lele2， YANG Hui12 （1.SchoolofOptical-ElectricalandComputerEngineeingUnversityofngifenceandchlogyang0093， China;2.ColegeofMedicalInstrumentation，hanghai UniversityofMedicineamp;Healthciences，hanghai2l18，China; 3. Qingdao Institute of Marine Geology， China Geological Survey， Qingdao ， China）

Abstract： To investigate the occurrence mechanism of rockfall motion and accurately analyze the motion forms at each moment of the rockfall motion for the prevention and control of rockfall hazards， microelectromechanical inertial navigation detectors and three diferent signal decomposition algorithms including empirical mode decomposition （EMD）， variational mode decomposition （VMD）， and empirical Fourier decomposition （EFD） were employed. The study explored the acceleration waveform of a single motion state during the rockfall and the decomposition performance of the three signal decomposition algorithms for mixed motion acceleration signals. In the algorithm simulation tests， the empirical Fourier decomposition exhibited the smallest root mean square error compared to the other algorithms. In laboratory rockfall experiments， the sub-signals decomposed by the empirical Fourier decomposition showed the strongest interpretability， and the algorithmic complexity was significantly lower than that of the other algorithms. Therefore， the empirical Fourier decomposition can be used to further analyze the acceleration signals in microelectromechanical inertial navigation systems. The empirical Fourier decomposition is an effective and accurate algorithm for studying the motion state of rockfall.

Keywords： inertial navigation; rockfall motion; empirical mode decomposition; variational mode decomposition; empirical Fourier decomposition

滾石是山區常見的自然災害之一，滾石災害的發生不僅會造成建筑物和交通工具的損壞，甚至還會造成人員的傷亡[]。滾石災害的發生與多種因素有關，如重力、降雨、地震和人類工程擾動等[2-3]。滾石是一個具有不可預見性的復雜運動過程，由滑動、滾動、自由落體和彈跳4種運動組成[46]。因此，研究滾石運動狀態對于預測滾石致災范圍、保障人民生命和財產安全有著重要的意義，是滾石研究領域一個重要的研究方向

近年來，隨著微機電技術的發展，低成本的微機電慣性導航系統開始被應用于滾石測量領域。基于微機電慣性導航技術的探測系統能夠采集到滾石運動過程中的三維運動信息，如三軸加速度和三軸角速度等，具有巨大的應用潛力[7-13]。叢俊宇等基于慣性導航技術進行實驗室實驗，驗證了慣性導航技術在滾石運動監測方面的可靠性。Caviezel等[8-10]開發了一套基于慣性導航技術的測量系統StoneNode，通過StoneNode和相機拍攝的圖像信息對滾石運動的軌跡和運動狀態進行研究，發現滾石的運動軌跡是先滾動再彈跳的過程。同時，他們從三軸加速度中發現了表現形式為沖擊信號的滾石碰撞運動。de Souza[]通過慣性導航系統SmartRock成功采集到了滾石的自由落體、碰撞、滾動和滑動的混合運動信號。然而，微機電慣性導航探測器采集的運動數據是混合的復雜信號，如果直接對此進行解析處理，可能會丟失很多運動信息，導致無法準確獲取每個時刻的運動狀態。因此，為了解決上述問題，需要一種算法能夠將復雜混合信號中各個不同運動狀態下的子信號提取出來。

信號分解算法是輔助識別時域信號中模態信息的有效工具，可以將復雜的物理時域信號分解為幾個疊加的分量，稱之為模態。目前，信號分解技術已經被廣泛應用于多個領域。在生物醫學領域，Bhattacharyya等[14]通過經驗小波變換（empiricalwavelettransform，EWT）對腦電信號進行分解，從分解得到的子信號中提取特征后，結合多種分類器構建識別模型，成功實現了癲癇發作的自動檢測。在地震研究領域，Yang等[15]通過經驗模態分解（empirical mode decomposition，EMD）實現了對傳感器陣列采集信號的去噪和特征提取，并通過支持向量機實現了對開放平坦、溝壑約束曲線和屏障阻塞3種邊界的滑坡運動分類。在機械故障診斷領域，Pan 等[1提出一種改進的經驗小波變 化 （modified empirical wavelet transform，MEWT），將機械系統的信號分解為具有物理意義的信號來進行齒輪故障診斷，并通過實際實驗證明了MEWT的有效性。在語音信號分析領域，Upadhyay等[17]提出一種基于變分模態分解（variational mode decomposition，VMD） 和 EMD 結合的增強含噪聲語音信號的方法，該方法適用于在嘈雜環境下說話人員的識別。因此，信號分解方法在復雜混合加速度信號的分析中展現出顯著的應用潛力。

本文提出了基于信號分解的微機電慣性導航系統加速度數據分析方法，用于準確識別探測器每個時刻的運動狀態。通過滑動和滾動實驗研究了滑動、滾動和碰撞狀態下微機電慣性導航系統加速度波形。并通過模擬實驗和實驗室滾石實驗，對3種信號分解算法（EMD[18]、VMD[19]和經驗傅里葉分解[20]（empirical Fourier decomposition，EFD））的有效性進行對比。實驗結果表明：EFD可以將復雜混合加速度信號分解為具有物理意義的子信號，能夠準確得到每一時刻微機電慣性導航系統的運動狀態。

1實驗系統

1.1 實驗裝置

如圖1所示，斜槽表面鋪設一層顆粒用于模擬山地環境，將基于微機電慣性導航技術的球型探測器從斜槽頂部釋放，模擬滾石運動，通過高速相機記錄探測器的運動軌跡。其中：斜槽尺寸為 100cm×30cm×35cm ；斜槽傾斜角度 θ 為 20^° ·表面顆粒為直徑 10mm 的聚乙烯顆粒；探測器外殼為直徑 30mm 的聚乙烯球型空心外殼；高速相機的幀率為500幀/s。由于探測器采集的原始運動數據為傳感器坐標系下的動軸數據，為了獲取探測器在實驗室坐標系下的三軸加速度，采用Mahony互補濾波四元數算法[21]對原始運動數據進行姿態解算。首先，運用Mahony互補濾波四元數算法并借助加速度計修正陀螺儀的數據；然后，通過這些數據計算四元數；最后，結合四元數構建旋轉矩陣，實現傳感器坐標系下加速度向實驗室坐標系下加速度的轉換。在實驗室坐標系下，探測器的右側為 x 軸正方向，探測器的正前方為y 軸正方向，探測器的正上方為 z 軸正方向。由于高速相機拍攝范圍有限，實驗中高速相機僅采集斜槽前半部分的圖像數據。

1.2 球型探測器

球型探測器配備MPU9250慣性導航技術傳感器，可以獲取運動過程中的三軸加速度與三軸角速度。為了降低探測器所采集原始數據的誤差，對原始數據進行卡爾曼濾波[22]。卡爾曼濾波是一種在信號處理領域常用的方法，適用于含有噪聲的動態系統的去噪。其處理過程如下：首先，通過系統的動態模型對系統狀態進行預測，獲得當前時刻的系統預測值；然后，對預測值和測量值進行動態自適應加權平均來獲取去除噪聲后的測量值。計算公式為

式中： 為系統 t 時刻的預測值矩陣； X_t 為系統 t 時刻的濾波結果矩陣； ?_Pt 為系統 t 時刻的后驗估計協方差矩陣； 為系統 t 時刻的先驗估計協方差矩陣； H 為狀態變量與測量變量的轉換矩陣； Z_t 為系統t時刻的測量值矩陣； K_t 為系統t時刻的濾波增益矩陣； D 為狀態轉移矩陣； 為過程激勵噪聲協方差矩陣； R 為測量噪聲協方差矩陣； B 為輸人狀態轉換矩陣； U 為輸入變量矩陣。

球型探測器如圖2所示。球型探測器加速度計測量范圍為 ±16g（g=9.8m/s²） ，陀螺儀測量范圍為 -2000～2000（^°）/s ，采樣頻率為 1000Hz ，電路板直徑為 20mm 。如圖3（a）和（b）所示，對探測器進行靜止標定和自由落體標定后得出，探測器的加速度計誤差小于 0.5m/s² 。其中， S=（A_x²+A_y²+A_z²）^1/2 為和加速度， A_x 、 A_y 和 A_z 為三軸加速度。

1.3單一運動狀態下三軸加速度

為了研究單一運動狀態下探測器的三軸加速度波形形式，進行了滑動實驗和滾動實驗，實驗結果如圖4所示。在滑動實驗中，探測器被置于正方體外殼中，從 20^° 傾角的斜槽頂部釋放。探測器分為4個運動階段：斜槽中滑動階段，探測器三軸加速度波形基本保持不變；過渡階段，探測器運動至斜槽和地面連接處，與地面發生碰撞，三軸加速度波形為沖擊形式；平面滑動階段，三軸加速度波形呈線性下降的形態；靜止階段，三軸加速度均為 0m/s² 。在滾動實驗中，探測器被置于球型外殼中，僅在 20^° 傾角的斜槽中運動，三軸加速度波形為余弦形式。因此：在滑動運動狀態下，探測器的三軸加速度波形為線性形式；在碰撞運動狀態下，探測器的三軸加速度波形為沖擊形式；在滾動運動狀態下，探測器的三軸加速度波形為余弦形式。

2 信號分解算法

2.1 經驗模態分解

經驗模態分解[18]是一種自適應信號分解算法，用于分解線性或非線性信號。EMD將時間序列分解為多個固有模態函數（intrinsicmodefunction，IMF）和殘差分量。IMF必須滿足兩個條件：一是在整個過程中極值點和過零點個數相等或最多相差1；二是時間序列的上下包絡線相對于時間軸局部對稱。EMD通過多次迭代，將信號與信號上下包絡的平均值作差得到IMF，將原始信號與所有IMF作差得到殘差分量，如式（2）所示。

式中： m_n（t） 為第 n 次迭代中信號上下包絡的平均值； e_n，max（t） 為第 n 次迭代中信號的上包絡； e_n，min（t） 為第 n 次迭代中信號的下包絡； M_n（t） 為第 n 個IMF；x_n（t） 為迭代過程中第 n 個信號； I（t） 為殘差分量。

2.2 變分模態分解

變分模態分解[9]是一種自適應和完全遞歸的信號分解算法。VMD具有很強的數學理論基礎，可以降低復雜度高和非線性強的時間序列的非平穩性。VMD通過在頻域構建維納濾波器，將一個復雜的時間序列分解為多個頻率尺度相對平穩的子序列。VMD為了將原始信號分解為多個有限帶寬的模態，并保證各個模態間的估計帶寬之和最小，建立了如下的目標函數：

式中： δ（t） 為Dirichlet函數； f（t） 為原始信號；

u_k（t） 為通過VMD分解原始信號得到的第 k 個子函數； ω_k 為第 k 個子函數的中心頻率。該模型的約束條件為將分解得到的子函數求和得到原始信號

為了解決上述最優化問題，將約束問題轉化為非約束變分問題，引入增廣拉格朗日函數進行計算，即

式中： α 為懲罰因子； λ（t） 為拉格朗日乘子。

求解上述函數，可以得到VMD的迭代規則如下所示：

式中： 為 u_k（t） 的頻域成分； 為 λ（t） 的頻域成分； τ 為迭代更新步長；迭代約束條件為 ， ε 為迭代結束最小誤差。

2.3 經驗傅里葉分解

經驗傅里葉分解[20]是最近被提出的一種自適應的信號分解算法。EFD解決了經驗小波變換[23]模式混合問題和傅里葉分解方法（Fourierdecomposition method，FDM）[24]中頻譜從高到低掃描和從低到高掃描分解結果不一致的問題。并且，EFD能夠分解信號中緊密間隔的模式。EFD通過最低最小值技術[25]實現頻譜分隔，并通過構建零相位濾波器組對信號進行分解。

EFD的頻譜分割如下所示：

式中： 為原信號頻譜中的第 n 個極值； 為 和 范圍內的頻譜成分； ω_n 為原信號頻譜邊界

EFD首先通過傅里葉變換得到原信號的頻譜，之后通過式（5）獲取的頻譜邊界構造零相位濾波器組，接著通過零相位濾波器組提取各個子成分的頻譜，最后對各個子信號進行傅里葉反變換得到分解后的子信號時域成分，如式（7）所示

式中： f（t） 為原信號； 為原信號頻譜； 為第 n 個子信號頻譜； f_n（t） 為第 n 個子信號； 為第 n 個零相位濾波器的傳遞函數。

2.4 算法測試

為了驗證EMD、VMD和EFD的有效性，構建了不同運動狀態下加速度的仿真信號，采樣頻率為 1000Hz 。其中：滾動為余弦信號；滑動為3種狀態的線性信號；碰撞為不同振幅和不同大小的沖擊信號。通過將構造的仿真信號相加得到混合信號，即

式中： C_i 表示構造的第i個仿真信號成分；f₁ 表示余弦信號的頻率，本文取 f₁=8Hz ： 表示單位碰撞信號函數。

EMD、VMD和EFD對混合信號的分解結果如圖5所示，其中，構建的仿真信號用紅色虛線標出。對于滾動信號：EMD分解得到的成分與仿真信號完全不同；VMD基本可以還原構造的仿真信號，但在一些峰值處與仿真信號不同；EFD基本完全還原了仿真信號。對于滑動信號：EMD能夠大致得到與仿真信號一致的趨勢，但波動較大；VMD基本還原了仿真信號，但混合了部分碰撞信號成分；EFD基本還原了仿真信號。對于碰撞信號：EMD分解得到的是部分滾動信號與碰撞信號混合的結果；VMD能夠得到碰撞信號，但信號的幅度大幅度下降；EFD基本還原了每一處碰撞。由此可得：EMD存在嚴重的模式混合問題，無法得到仿真信號；VMD存在模式混合的問題，導致VMD分解得到的碰撞信號大幅度衰減；EFD分解得到的信號基本能夠還原滾動、滑動和碰撞的加速度信號。

為了進一步比較EMD、VMD和EFD的分解結果，采用均方根誤差（rootmean square errors，RMSEs）來衡量分解結果與仿真信號的差異，若RMSEs越小則與仿真信號的差異越小。RMSEs的計算如下所示：

式中： E 為RMSEs； L 為序列長度； c_i 為理想信號序列第i位數據； c_ri 為分解后對應信號序列的第i位數據。

EMD、VMD和EFD分解得到的成分與構建信號間的RMSEs如表1所示。EMD對應的RMSEs遠大于VMD和EFD的，因此，EMD對構建信號的還原度最差。VMD和EFD對應的RMSEs為同一數量級。對于滾動信號和碰撞信號，EFD對應的RMSEs小于VMD的，表明EFD對滾動信號和碰撞信號的還原度高于VMD。對于滑動信號，EFD對應的RMSEs略大于VMD的，表明EFD對滑動信號的還原度與VMD相差不大，VMD略優于EFD。因此，EFD對復雜加速度信號分解的效果優于EMD和VMD。

3 實驗結果與數據分析

3.1 實驗結果

探測器在斜槽中的運動軌跡數據和三軸加速度數據如圖6所示。由圖6（a）可知，探測器首先在斜槽中進行低速滾動，持續 0.388s ，之后進行彈跳運動。由圖6（b）可知，探測器的三軸加速度波形的第一部分是一段周期較長和幅值較小的余弦和大量沖擊混合的曲線，對應于探測器在斜槽中的低速滾動運動。探測器的三軸加速度波形的第二部分是周期較短和幅值較大的余弦和少量沖擊混合的曲線，對應于探測器在斜槽中的彈跳前進運動。圖中用紅色框標注的部分為圖像數據和三軸加速度對應的部分，由圖可見，探測器每滾動一周，三軸加速度就產生一個周期的余弦。同時，探測器采集到的三軸加速度波形與de Souza[11]和 Caviezel等[8-10]使用慣性導航探測器進行滾石實驗采集到的波形類似。因此，探測器采集的三軸加速度可以反映滾石的真實運動狀況，實驗采集到的數據有效。

3.2 信號分解

通過EMD、VMD和EFD對實驗過程中y軸（探測器的正前方）的加速度進行分解，用于比較3種方法對于真實加速度信號的分解效果，如圖7所示。圖7（a）為探測器 y 軸加速度通過3種算法得到的滑動和低速滾動成分。EMD和VMD分解得到的是滑動和低速滾動混合的結果，EFD成功將滑動和低速滾動分解為兩個成分。圖7（b）為探測器y軸加速度通過3種算法得到的彈跳過程中的滾動成分。EMD、VMD和EFD都成功分解得到了彈跳過程中的滾動成分。圖7（c）為探測器y軸加速度通過3種算法得到的碰撞成分。EMD分解得到的碰撞成分波動較大，難以辨別每一處碰撞的發生時刻和碰撞的幅值。VMD分解得到的碰撞成分相較于原信號衰減較大，最終導致碰撞信號淹沒在噪聲中。EFD分解得到的碰撞成分與原信號的每一處碰撞點都完全對應，非碰撞處的信號波動較小，且碰撞發生處幅值基本沒有衰減，能夠得到每一時刻的碰撞。因此，對于真實加速度信號，EFD的分解效果要優于EMD和VMD。

為了進一步研究3種算法分解所得成分的有效性，分別對3種算法得到的結果進行求和，進而對信號進行重構，重構結果如圖8所示。EMD分解成分的重構信號基本與原信號完全重合；VMD分解成分的重構信號在非碰撞發生時刻基本與原信號重合，但是在碰撞發生時刻有明顯的衰減；EFD分解成分的重構信號與原信號基本重合，能夠反映原信號的變化趨勢

為了進一步比較3種算法對探測器在滾石運動過程中加速度的分解效果，分別計算3種算法分解成分重構信號的RMSEs，并以3種算法運行時間來表示算法的復雜度，結果如表2所示。對于y軸加速度重構信號，EMD分解成分的重構信號與原信號相比，RMSEs極小，重構信號基本與原信號完全重合。VMD分解成分的重構信號與原信號的RMSEs較大，主要是由于碰撞發生時刻信號出現衰減。EFD分解成分的重構信號與原信號的RMSEs較小，基本與原信號重合，可以反映原信號的變化趨勢。對于3種算法的分解用時，VMD用時遠高于EMD和EFD，表明VMD算法復雜度最高。EMD用時較短，算法復雜度居中。EFD用時遠小于EMD和VMD，表明EFD算法復雜度最低。因此，EMD對于原信號的還原度最高，但模式混合問題非常嚴重，子信號的可讀性較差，需要結合其他算法實現對數據的進一步分析。VMD原信號的還原度較差，存在模式混合問題，且算法復雜度較高，性能較差。EFD對于信號的還原度較高，算法復雜度最低，且分解得到的成分可讀性較強，適用于微機電慣性導航系統的加速度信號分解。

4結論

通過微機電慣性導航探測器進行滾石實驗，并將探測器采集到的三軸加速度信號與高速相機拍攝的運動軌跡信息進行對比，發現三軸加速度信號反映的運動信息與圖像完全對應，表明探測器能夠獲得整個運動過程的信息。

通過滑動和滾動實驗，得出結論：探測器在滑動狀態下三軸加速度波形為線性形式；探測器在滾動狀態下三軸加速度波形為余弦形式；探測器在碰撞狀態下三軸加速度波形為沖擊形式。

提出基于EFD的數據處理方法，成功將實驗室滾石實驗過程中的混合加速度信號分解為了具有物理意義的子信號，進而準確得到了探測器在滾石實驗中每個時刻的運動狀態。

通過使用EMD、VMD和EFD對仿真信號和探測器采集到的加速度信號進行分解，對比了3種算法的性能。實驗結果表明，EMD對于原信號的還原度最高，算法復雜度適中，但是存在嚴重的模式混合問題，無法直接解析分解后的成分。VMD導致碰撞狀態下的信號出現嚴重的衰減，對于原信號的還原度最差，同時VMD存在模式混合問題且算法復雜度高，因此，不適合通過VMD對三軸加速度信號進行分解。EFD對原信號的還原度較高，算法復雜度遠小于EMD和VMD。同時，EFD能夠將混合加速度信號分解為滑動、滾動和碰撞狀態下的子信號，且誤差較小。因此，EFD適用于微機電慣性導航系統的加速度信號分解。

本文僅在實驗室環境下進行了滾石模擬實驗。在未來，為了更好地進行實地滾石實驗，需要重新設計探測器的外殼，使其進一步還原現實場景下的巖石，如采用巖石材料設計探測器的外殼并在內部進行配重，使其密度與現實情況下的巖石一致。同時，為了在實地實驗中更加準確地分析數據，可以在頻域構建新的濾波器組、采用新的頻域邊界分割方法或在EFD的基礎上加入其他算法來實現算法的改進。

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（編輯：丁紅藝）