一類具有擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的分岔控制

引言

在自然界中，捕食者與被捕食者的關(guān)系受多種因素影響。為準(zhǔn)確描述和預(yù)測(cè)這種關(guān)系，研究人員開發(fā)了多種數(shù)學(xué)模型，其中Leslie-Gower捕食模型是經(jīng)典之一[1-4]。獻(xiàn)[5]建立了如下具有比率依賴 Holling II功能反應(yīng)的Leslie-Gower型捕食系統(tǒng)：

文獻(xiàn)［6]研究了具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)的Leslie-Gower型捕食系統(tǒng)，證明時(shí)滯對(duì)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性以及Hopf分岔的影響。

然而在生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中，由于時(shí)滯、擴(kuò)散等因素使得其動(dòng)力學(xué)行為往往與所期望的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)[78]例如原分布于美國(guó)東北沿海的松雞，由于蒼鷹的大量捕食，導(dǎo)致數(shù)量急劇下降而最終滅絕。鑒于此，為了保護(hù)瀕危物種免于滅絕，學(xué)者們往往會(huì)設(shè)定一個(gè)臨界值，并據(jù)此采取人為調(diào)控措施以維持物種數(shù)量的平衡發(fā)展。當(dāng)前，一系列行之有效的控制策略已被廣泛采用，包括但不限于狀態(tài)反饋控制機(jī)制[9、時(shí)滯反饋調(diào)控手段[10]、混合控制方案[]，以及比例-微分（PD）控制等[2]，這些均為實(shí)現(xiàn)物種管理的精細(xì)化提供了有力支持。文獻(xiàn)[13]對(duì)具有非線性獵物收獲的捕食模型引人了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，成功地將系統(tǒng)從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定狀態(tài)。文獻(xiàn)[14]將混合控制器添加到具有非單調(diào)功能響應(yīng)的時(shí)滯擴(kuò)散捕食者-獵物系統(tǒng)中，通過(guò)調(diào)整控制參數(shù)來(lái)增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定域。文獻(xiàn)[15]研究時(shí)滯捕食系統(tǒng)，通過(guò)應(yīng)用混合控制器和擴(kuò)展時(shí)滯反饋控制器來(lái)有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

受上述工作啟發(fā)，本文將基于混合控制器和PD控制器來(lái)構(gòu)建新控制器作用于具有擴(kuò)散的Leslie-Gower型捕食系統(tǒng)，并分析該模型在生態(tài)環(huán)境中的分岔現(xiàn)象。系統(tǒng)如下：

其中， 分別表示食餌與捕食者在 x 處 Φ_t 時(shí)刻的密度； K 表示環(huán)境最大容載量； τ 表示食餌繁殖所需要的時(shí)間； q 為正常數(shù)； r₁，r₂ 表示食餌和捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率； 表示Holling－IV功能反應(yīng)函數(shù)； D₁，D₂ 為自擴(kuò)散系數(shù)； 為L(zhǎng)aplace算子 ，（x，t）∈Ω×R⁺ 是邊界光滑的有界區(qū)域， ? 是 ?Ω 上的單位向量。

令 為了描述方便，我們?nèi)耘f以 來(lái)表示。則無(wú)量綱化后系統(tǒng)如下：

1無(wú)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔分析

1.1正平衡點(diǎn)的存在性，非負(fù)性及有界性

本節(jié)將分析系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性與Hopf分岔的條件，現(xiàn)考慮無(wú)擴(kuò)散情況下，系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

鑒于生態(tài)學(xué)的實(shí)際意義，我們的研究將專注于探討系統(tǒng)（2）中的正平衡點(diǎn)。正平衡點(diǎn)需滿足特定的如下方程組：

由以上方程組可得 ，E_*（u_*，v_*） 滿足下列方程組：

顯然 -alt;0 ，當(dāng) b-1gt;0，mh+a-bgt;0 時(shí)，根據(jù)Descartes符號(hào)法則可知方程有唯一正解 u_*， 再利用v_*=hu_* 得系統(tǒng)（2）僅有一個(gè)正平衡點(diǎn) E_* 。

定理1.1.1當(dāng) τ=0 時(shí)，系統(tǒng)（2）所有具有正初始條件的解均保持為正。由于 uf（u，v），vg（u，v） 在 R₊² 上連續(xù)且滿足Lipschita條件，故知其解存在且唯一。又因?yàn)槲覀冇校?/p>

根據(jù)初始條件 u（0），v（0）gt;0 ，知其解均保持為正.

引理1.1.2若 ，且 u（0）gt;0. ，則對(duì)于微分不等式 ，有

定理1.1.3當(dāng) τ=0 時(shí)，系統(tǒng)（2）所有具有正初始條件的解均有界。

證明：由 a+bu+u20gt;0. 有0 可知所有具有正初始條件的解均有界。

1.2 穩(wěn)定性分析

經(jīng)由前述分析，我們可以確認(rèn)系統(tǒng)（2）內(nèi)部存在一個(gè)平衡點(diǎn) E_* ，且在該平衡點(diǎn)位置上的對(duì)應(yīng)Jacobian矩陣表述為：

其中：

在平衡點(diǎn) E_*（u_*，v_*） 處對(duì)系統(tǒng)（2）線性化得：

所以進(jìn)一步得到系統(tǒng)（2）的特征方程：

λ²+Lλ+Q+Ye^-λτ=0

其中： L=-a₁₁-a₂₂ Q=a₁₁a₂₂ ， Y=-a₁₂a₂₁ 。

假設(shè)：

H₁：a₁₁+a₂₂lt;0;H₂：a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁gt;0;

定理1.2.1若假設(shè) H₁-H₂ 均成立，可以判定系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn) E_* 在 τ=0 展現(xiàn)出局部的漸近穩(wěn)定性特性。

證明：利用Routh-Hurwitz判據(jù)易得系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn) E_* 在 τ=0 是局部漸近穩(wěn)定。

定理1.2.2當(dāng) 1* 在 τ=0 是全局漸近穩(wěn)定。

證明：我們令 ，由系統(tǒng)（2）易得

當(dāng) 10，b-alt;0 則 。由于其邊界平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)，根據(jù)Dulac定理，知道系統(tǒng)（2）在第一象限沒有極限環(huán)，故全局漸近穩(wěn)定。

1.3 Hopf分岔

前述研究已經(jīng)奠定了無(wú)時(shí)滯條件下系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)，為后續(xù)的分岔現(xiàn)象分析提供了必要的先決條件。

在此基礎(chǔ)上，我們接下來(lái)將采用數(shù)值代人的方法，對(duì)特征方程展開更為深人的探討與分析。假設(shè) iω（ωgt;0） 是方程（4）的一個(gè)根， ω 滿足如下方程：

分離方程（5中的實(shí)部與虛部可得如下關(guān)系式：

將關(guān)系式（6中的每一個(gè)方程平方相加可得如下方程：

顯然當(dāng) Q²-Y²lt;0 時(shí)，通過(guò)上述方程，我們可以推導(dǎo)出至少存在一個(gè)正根 ω₀ 的情況，并據(jù)此利用（6）式可以較為直接地得出時(shí)滯的具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

定義臨界時(shí)滯為：

接著研究臨界時(shí)滯是否滿足橫截性條件。我們對(duì)特征方程（4）兩端對(duì) τ 求導(dǎo)得：

則

顯然有

通過(guò)以上分析，得到如下定理：

定理1.3.1假設(shè) d₁，d₂=0，Q²-Y²lt;0 ，有如下陳述成立：（i）當(dāng) τ∈[0，τ_0） ，系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn) E_* 是穩(wěn)定；（ii）當(dāng) τ∈（τ₀，∞） ，系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn) E_* 是不穩(wěn)定；（iii）當(dāng) τ=τ_?0 ，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn) E_* 處發(fā)生Hopf分岔。

2 新控制系統(tǒng)的分岔分析

為了管控系統(tǒng)（1）中展現(xiàn)的Hopf分岔行為，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種創(chuàng)新的控制策略。該策略針對(duì)系統(tǒng)（1）的 Hopf 分岔現(xiàn)象實(shí)施調(diào)控，而新設(shè)計(jì)的控制器可通過(guò)以下數(shù)學(xué)表達(dá)式詳盡闡述：

上述控制器模型中， αgt;0，T_dlt;1 為控制參數(shù)。

施加新控制器后的擴(kuò)散的時(shí)滯捕食與食餌模型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

系統(tǒng)（11）的平衡點(diǎn) E_*（u_*，v_*） ，在內(nèi)部平衡點(diǎn) E_* 處的Jabocian矩陣為：

其中：

現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)（11）的平衡點(diǎn) E_*（u_*，v_*） 線性化后變?yōu)椋?/p>

通過(guò)計(jì)算可得系統(tǒng)（11）的特征方程：

對(duì)上述特征方程化簡(jiǎn)得：

（i）當(dāng) τ=0 ，此時(shí)為無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)，此時(shí)特征方程（14）變?yōu)椋?/p>

（ii）以下Routh-Hurwitz判據(jù)是確定上述方程之根具備負(fù)實(shí)部的充分且必要條件：

（ii）因此，在控制器參數(shù)符合前述兩個(gè)不等式條件的前提下，可以確認(rèn)，在不存在時(shí)滯的情形下，該模型將保持其穩(wěn)定性。

（iv）當(dāng) τgt;0 ，將 λ=iδ（δgt;0 ）代入特征方程（14），分離實(shí)虛部得：

其中

對(duì)式（16）兩邊平方再相加得：

δ⁴+（n²（k）-2m（k））δ²+m²（k）-c₁₂²c₂₁²=0

當(dāng)常數(shù)項(xiàng) m²（k）-c₁₂²c₂₁²lt;0 時(shí)，方程（17）至少有一個(gè)正根，故由式（17）可得時(shí)滯的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

定義臨界時(shí)滯為：

接下來(lái)，我們將探討臨界時(shí)滯是否符合作為分岔點(diǎn)的必要條件。具體而言，分岔點(diǎn)標(biāo)志著系統(tǒng)穩(wěn)定性狀態(tài)的轉(zhuǎn)變點(diǎn)，即從穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到不穩(wěn)定狀態(tài)的關(guān)鍵閾值。在此類轉(zhuǎn)變點(diǎn)，系統(tǒng)的特征方程之根需跨越虛軸，進(jìn)入其右半平面。這意味著，在分岔點(diǎn)處，特征根相對(duì)于分岔參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其實(shí)部必須大于零。這一條件確保了特征根能夠從復(fù)平面的左半部分遷移至右半部分，從而引發(fā)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變化。對(duì)特征方程（14）兩端關(guān)于 τ 求導(dǎo)得：

進(jìn)一步得出導(dǎo)數(shù)的實(shí)部為：

當(dāng)參數(shù)滿足假設(shè)：

因此，在擴(kuò)散系統(tǒng)下，橫截性條件成立，最小臨界值 τ_o2 為分岔點(diǎn)。

定理2.1若當(dāng) d₁，d₂gt;0，H₃ 成立，有如下結(jié)論：（i）當(dāng) τ∈[0，τ₁） ，系統(tǒng)（10）在正平衡點(diǎn) E_* 是穩(wěn)定；（ii）當(dāng) τ∈（τ₁，∞） ，系統(tǒng)（10）在正平衡點(diǎn) E_* 是不穩(wěn)定；（ii）當(dāng) τ=τ₁ ，系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn) E_* 處發(fā)生 Hopf 分岔

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)里，我們將借助仿真實(shí)驗(yàn)的手段，旨在對(duì)比分析無(wú)控制狀態(tài)與施加控制條件下捕食系統(tǒng)分岔行為的差異，并進(jìn)一步探討兩種不同控制策略對(duì)捕食系統(tǒng)性能的優(yōu)化效果。其中空間被劃分為間隔為 Δt=0.1 的單位，時(shí)間則被分割為間隔Neumann的步長(zhǎng)。此外，所有模擬案例均采納了齊次 Δh=1 邊界條件。

注1：為了便于區(qū)分， τ₀₀，τ₀₁，τ₀₂ 分別表示無(wú)控制，混合控制，新控制系統(tǒng)下的臨界時(shí)滯 τ₁ 。

3.1 無(wú)控制下的擴(kuò)散系統(tǒng)

首先，考慮無(wú)控制下的擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)。其中自擴(kuò)散系數(shù)設(shè)置為 d₁=1，d₂=2 ，參數(shù)設(shè)置 α=0，T_d= 0其余參數(shù)： a=0.2，b=1，s=0.2，h=2，m=0.5

經(jīng)計(jì)算其平衡點(diǎn)為 ，臨界時(shí)滯 τ₀₀=1.27 。我們先觀察選取 x=20 的物種密度變化情況，從圖 1（a），（b） ，圖 2（a），（b） 知，當(dāng) τ=1lt;τ₀ 時(shí)，系統(tǒng)（20）是穩(wěn)定的；從圖 1（c），（d） ，圖 2（c），（d） 知，當(dāng)τ=2gt;τ₀₀ 時(shí)，系統(tǒng)（20）是不穩(wěn)定的。

圖 1（a） 為在時(shí)滯 τ=1 時(shí)食餌和捕食者密度隨時(shí)間的變化圖，我們可得當(dāng) tgt;500 時(shí)，捕食者和食餌密度幾乎不隨著時(shí)間發(fā)生改變。說(shuō)明系統(tǒng)（20）在平衡點(diǎn) E_* 處穩(wěn)定。圖 1（b） 的相圖得知其漸近穩(wěn)定，直至與平衡點(diǎn)重合，進(jìn)一步說(shuō)系統(tǒng)（20）在平衡點(diǎn) E_* 處穩(wěn)定。圖 1（c） 為在時(shí)滯 τ=2 時(shí)食餌和捕食者密度隨時(shí)間的變化圖，我們可得捕食者和食餌密度隨時(shí)間波動(dòng)。說(shuō)明系統(tǒng)（20）在平衡點(diǎn) E_* 處不穩(wěn)定。圖 1（d） 的相圖呈現(xiàn)一個(gè)極限環(huán)，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)（20）發(fā)生了Hopf分岔，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)（20）在平衡點(diǎn) E_* 處不穩(wěn)定。

圖2為不同時(shí)滯下的時(shí)空密度演化圖。從圖 2（a），（b） 得知，當(dāng) τ=1，tgt;500 時(shí)圖像基本穩(wěn)定，說(shuō)明系統(tǒng)20）在平衡點(diǎn) E_* 穩(wěn)定；從圖 2（c），（d） 得知，當(dāng) τ=2 ，圖像產(chǎn)生了劇烈振蕩，說(shuō)明系統(tǒng)（20）在平衡點(diǎn) E_* 不穩(wěn)定。

3.2 混合控制器下的擴(kuò)散系統(tǒng)

其次，考慮混合控制下的擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)置為 α=1.2，T_d=0 ，其余參數(shù)同（20）。

經(jīng)計(jì)算其平衡點(diǎn)為 E_*（u_*，v_*）=（0.4725，0.9450） ，臨界時(shí)滯 τ₀₁=3.59 。從圖 3（a），（b） 知，當(dāng) τ=2lt;τ₀₁ 時(shí)，圖像基本穩(wěn)定，系統(tǒng)（21）是穩(wěn)定的;從圖 3（c），（d） 知，當(dāng) τ=5gt;τ₀₁ 時(shí)，圖像劇烈振蕩，系統(tǒng)（21）是不穩(wěn)定的。

3.3 新控制器下的擴(kuò)散系統(tǒng)

最后，考慮新控制器下的擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)置為 α=1，T_d=-1 ，其余參數(shù)同（20）。

經(jīng)計(jì)算其平衡點(diǎn)為 E_*（u_*，v_*）=（0.4725，0.9450） ，臨界時(shí)滯 τ₀₂=3.36 。從圖 4（a），（b） 知，當(dāng) τ=2lt;τ_?02 時(shí)，圖像基本穩(wěn)定，系統(tǒng)（22）是穩(wěn)定的；從圖 4（c），（d） 知，當(dāng) τ=5gt;τ_?02 時(shí)，圖像劇烈振蕩，系統(tǒng)（22）是不穩(wěn)定的。

3.4新控制器參數(shù)對(duì)時(shí)滯的影響

通過(guò)研究新控制器參數(shù)與臨界時(shí)滯的關(guān)系，可以優(yōu)化控制策略，使控制器在調(diào)整系統(tǒng)時(shí)滯、控制分岔方

由圖5知，系統(tǒng)（22）在新控制器的參數(shù) T_d 確定時(shí)，臨界時(shí)滯 τ₀₂ 隨著參數(shù) α 增加而先遞減后增加。當(dāng) T_d=0 時(shí)，則新控制器退化為混合控制器，混合控制器在參數(shù)α∈[0.5，1.5] 時(shí)，臨界時(shí)滯 τ₀₂ 調(diào)節(jié)范圍為[0，14]。新控制器通過(guò)改變參數(shù) T_d 使得臨界時(shí)滯 τ₀₂ 調(diào)節(jié)范圍為[0，23]。因此，新控制器不僅能有效的控制系統(tǒng)（22）的分岔，而且對(duì)臨界時(shí)滯 τ₀₂ 的調(diào)節(jié)范圍比混合控制器更大。

4總結(jié)與展望

4.1本文總結(jié)

本文在混合控制器和 PD 控制器的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新控制器。

我們利用所構(gòu)造的新控制器來(lái)研究了一類擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)。理論和數(shù)值結(jié)果表明：相較于混合控制器新控制器對(duì)所研究的擴(kuò)散的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的分岔調(diào)節(jié)范圍更大。

結(jié)合生態(tài)防治的實(shí)際意義，我們可以通過(guò)調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)，能在一定程度上改變模型的穩(wěn)定域，從而很好的控制種群密度來(lái)達(dá)到人們控制生物系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的目的，同時(shí)也獲得了相應(yīng)控制器下的捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性及Hopf分支條件，為自然界中種群持續(xù)生存和控制提供了理論依據(jù)。

4.2 未來(lái)展望

考慮更多生態(tài)因素（如恐懼效應(yīng)、疾病傳播、物種間的相互作用復(fù)雜性等）對(duì)捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，可以在已有的控制器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，繼續(xù)探索新的控制器類型，如自適應(yīng)控制器、智能控制器（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器、模糊控制器）等，以實(shí)現(xiàn)對(duì)具有擴(kuò)散的捕食系統(tǒng)的分岔行為更為精準(zhǔn)和高效的控制。

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Bifurcation Control ofa Delayed Predator-Prey System with Diffusion

LU Qin-yu， YUAN Cen-ge，YAN Qing，JIANG Yu-mei，，ZHOU Wen，ZHANG Dao-xiang （SchoolofMathematicsand Statistics，AnhuiNormal University，Wuhu 241oo2，China）

Abstract：This paper investigates the bifurcation control problem of a class of diffusion delayed predator-prey systems.Firstly，we analyzed the stabilityand Hopf bifurcation ofthe system.Secondly，we use the constructed new controller to control the bifurcation behavior of the system. Finally，this paper uses Matlab software to numerically simulate the theoretical results.Theoreticalresults and numerical simulations indicate thatthe newcontrollercan advance，delay，and even eliminate the Hopfbifurcationbehaviorofthe original system.Meanwhile， the newcontroler constructed in this paper has a larger adjustment range compared to the hybrid controller.

Keywords：predator-prey system;Hopfbifurcation；bifurcation control； stability

（責(zé)任編輯：馬乃玉）