R³ 上帶有凹凸非線性項的Schrodinger-Poisson系統的無窮多解

中圖分類號：0176.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0019-08

Abstract：A class of Schrodinger-Poisson systems with concave-convex nonlinear terms is studied，in which the potential function v（x）∈C（R³，R） doesnot have to satisfy the mandatory condition.Under more general concave convex nonlinear conditions，by introducing the variational framework and combining the detailedestimationofnon-local terms，the fountain theoreminthecritical point theory isutilized to prove that forany μ∈R system，there exist infinitely many high Π-Π energy solutions.This breaks through the mandatory restrictions on the potential function in traditional studies and establishes the existence theory of multiple property solutions applicable to a wider range of concave-convex nonlinear conditions. It further expands the understanding of the solutions of such complex systems.

Keywords：Schrodinger-Poisson system; Fountain Theorem; high energy solution

薛定諤-泊松系統由薛定諤方程和泊松方程耦合而成，用于描述量子力學中粒子在勢場中的復雜行為。其中，Schrodinger方程作為非相對論性量子力學中描述單個粒子量子態的核心方程，是一個線性偏微分方程，其數學形式為：

其中， ψ 是波函數， V 是電勢， m 是粒子的質量， ? 是約化普朗克常數。而Poisson方程則是一個二階偏微分方程，主要闡述了電勢 V 和電荷密度 ρ

之間的內在聯系，其數學式為：

其中， 是真空的電容率。薛定諤-泊松方程組通過波函數的模平方（即電荷密度）相互耦合，形成了一個復雜的非線性系統。這種耦合不僅引入了非線性效應，還涉及多尺度物理過程，極大地增加了問題分析與求解的難度。在半導體物理領域，該方程組對于理解電子在晶體中的輸運性質、設計新型半導體器件（如量子點、量子線和量子阱）至關重要。在量子化學中，它有助于揭示分子內部電子結構的細節，以及化學反應的動力學過程。在量子信息科學中，薛定諤-泊松系統為量子比特的操控和量子糾纏的生成提供了理論基礎，是實現量子計算和量子通信技術的關鍵工具。

本文研究 Schrodinger-Poisson系統：

其中， v（x）∈C（R³，R） 為勢函數 I∈C（R³×R，R） 且 g∈ C（R³×R，R） ，該系統也稱為Schrodinger-Maxwell系統，已被研究者們廣泛研究-8。在眾多研究方向中，有關系統的正解[8-10]，非平凡解[7.I1-14，無窮多個高能量解[15-1，無窮多個負能量解，徑向解及一般解[18-2的存在性均已得到探討。然而，在這些研究中，眾多非線性項常被假定為超線性或次線性，對具有凹項和凸項組合的問題研究相對較少?！?br>