

中圖分類號:0176.3 文獻標識碼:A 文章編號:1674-0033(2025)04-0019-08
Abstract:A class of Schrodinger-Poisson systems with concave-convex nonlinear terms is studied,in which the potential function v(x)∈C(R3,R) doesnot have to satisfy the mandatory condition.Under more general concave
convex nonlinear conditions,by introducing the variational framework and combining the detailedestimationofnon-local terms,the fountain theoreminthecritical point theory isutilized to prove that forany μ∈R system,there exist infinitely many high Π-Π energy solutions.This breaks through the mandatory restrictions on the potential function in traditional studies and establishes the existence theory of multiple property solutions applicable to a wider range of concave-convex nonlinear conditions. It further expands the understanding of the solutions of such complex systems.
Keywords:Schrodinger-Poisson system; Fountain Theorem; high energy solution
薛定諤-泊松系統由薛定諤方程和泊松方程耦合而成,用于描述量子力學中粒子在勢場中的復雜行為。其中,Schrodinger方程作為非相對論性量子力學中描述單個粒子量子態的核心方程,是一個線性偏微分方程,其數學形式為:

其中, ψ 是波函數, V 是電勢, m 是粒子的質量, ? 是約化普朗克常數。而Poisson方程則是一個二階偏微分方程,主要闡述了電勢 V 和電荷密度 ρ
之間的內在聯系,其數學式為:

其中,
是真空的電容率。薛定諤-泊松方程組通過波函數的模平方(即電荷密度)相互耦合,形成了一個復雜的非線性系統。這種耦合不僅引入了非線性效應,還涉及多尺度物理過程,極大地增加了問題分析與求解的難度。在半導體物理領域,該方程組對于理解電子在晶體中的輸運性質、設計新型半導體器件(如量子點、量子線和量子阱)至關重要。在量子化學中,它有助于揭示分子內部電子結構的細節,以及化學反應的動力學過程。在量子信息科學中,薛定諤-泊松系統為量子比特的操控和量子糾纏的生成提供了理論基礎,是實現量子計算和量子通信技術的關鍵工具。
本文研究 Schrodinger-Poisson系統:

其中, v(x)∈C(R3,R) 為勢函數 I∈C(R3×R,R) 且 g∈ C(R3×R,R) ,該系統也稱為Schrodinger-Maxwell系統,已被研究者們廣泛研究-8。在眾多研究方向中,有關系統的正解[8-10],非平凡解[7.I1-14,無窮多個高能量解[15-1,無窮多個負能量解,徑向解及一般解[18-2的存在性均已得到探討。然而,在這些研究中,眾多非線性項常被假定為超線性或次線性,對具有凹項和凸項組合的問題研究相對較少。……