R³ 上帶有凹凸非線性項的Schrodinger-Poisson系統的無窮多解

中圖分類號：0176.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0019-08

Abstract：A class of Schrodinger-Poisson systems with concave-convex nonlinear terms is studied，in which the potential function v（x）∈C（R³，R） doesnot have to satisfy the mandatory condition.Under more general concave convex nonlinear conditions，by introducing the variational framework and combining the detailedestimationofnon-local terms，the fountain theoreminthecritical point theory isutilized to prove that forany μ∈R system，there exist infinitely many high Π-Π energy solutions.This breaks through the mandatory restrictions on the potential function in traditional studies and establishes the existence theory of multiple property solutions applicable to a wider range of concave-convex nonlinear conditions. It further expands the understanding of the solutions of such complex systems.

Keywords：Schrodinger-Poisson system; Fountain Theorem; high energy solution

薛定諤-泊松系統由薛定諤方程和泊松方程耦合而成，用于描述量子力學中粒子在勢場中的復雜行為。其中，Schrodinger方程作為非相對論性量子力學中描述單個粒子量子態的核心方程，是一個線性偏微分方程，其數學形式為：

其中， ψ 是波函數， V 是電勢， m 是粒子的質量， ? 是約化普朗克常數。而Poisson方程則是一個二階偏微分方程，主要闡述了電勢 V 和電荷密度 ρ

之間的內在聯系，其數學式為：

其中， 是真空的電容率。薛定諤-泊松方程組通過波函數的模平方（即電荷密度）相互耦合，形成了一個復雜的非線性系統。這種耦合不僅引入了非線性效應，還涉及多尺度物理過程，極大地增加了問題分析與求解的難度。在半導體物理領域，該方程組對于理解電子在晶體中的輸運性質、設計新型半導體器件（如量子點、量子線和量子阱）至關重要。在量子化學中，它有助于揭示分子內部電子結構的細節，以及化學反應的動力學過程。在量子信息科學中，薛定諤-泊松系統為量子比特的操控和量子糾纏的生成提供了理論基礎，是實現量子計算和量子通信技術的關鍵工具。

本文研究 Schrodinger-Poisson系統：

其中， v（x）∈C（R³，R） 為勢函數 I∈C（R³×R，R） 且 g∈ C（R³×R，R） ，該系統也稱為Schrodinger-Maxwell系統，已被研究者們廣泛研究-8。在眾多研究方向中，有關系統的正解[8-10]，非平凡解[7.I1-14，無窮多個高能量解[15-1，無窮多個負能量解，徑向解及一般解[18-2的存在性均已得到探討。然而，在這些研究中，眾多非線性項常被假定為超線性或次線性，對具有凹項和凸項組合的問題研究相對較少。凹凸非線性項的組合效應最初由Ambrosetti等4在有界域的橢圓方程中研究，他們運用變分法證明了此類方程存在無窮多個負能量解。近年來，Liu等[2在Schrodinger型方程中引入了凹項和凸項非線性組合，成功得到無窮多個節點解。劉林祥等在一定條件下，借助臨界點理論中的Ekeland變分原理和山路定理，證明了Schrodinger-Poisson系統存在兩個正解。尤其，Shao等利用噴泉定理證明了凹凸非線性Schrodinger-Poisson系統無窮多個高能量解的存在性。Chen[22在文獻[16]的基礎上減弱了位勢函數 σ_v 和非線性項 f 的約束條件，利用 Z_2^- 山路定理獲得了式（1）的無窮多高能量解的存在性，推廣了文獻[16的結論。具體而言，文獻[22]給出的假設：

η（v1） v（x）∈C（R³，R） 滿足 inf_x∈R³v（x）gt;0 并且存在 常數滿足： lyl-→∞ ?Mgt;0，r₀gt;0 。

）存在常數 112lt;2 和函數 （i=1，2）滿足： （204號g （20（f 并且存在常數 2?=6 c₀gt;0 ，滿足： （204號 對 x∈R³ 一致成立，這里 ，并且 （204號（f3^′） 存在常數 L₀gt;0，θ?4 和 c₁?0 滿足： （24號（f4） f（x，-z）=-f（x，z），?（x，z）∈R³×R° 注1條件 η（v1） 由Bartsch等[23給出，用于保證工作空間的緊性嵌入；由條件 （g2） 和條件（f4）可知 φ 是偶函數。

定理 1^[22] 假設條件 、（f2^′），（f3^′） 和（f4）成立，則存在 使得當 |μ|?μ₀ 時式（1）有無窮多個高能量解。

鑒于此，本文考慮在文獻[22]的基礎上相應減弱位勢函數 V 及非線性項 f 和 g 的約束條件，綜合使用噴泉定理、Fatou引理、Holder不等式和反證法，克服工作空間嵌入失緊的困難，探討Schrodinger-Poisson系統式（1）在任意的參數 的條件下解的存在性和多重性，豐富和推廣文獻[16]和文獻[22]的結論。

1預備知識

1.1符號說明與重要引理

記號： 是通常的Sobolev空間，其上的范數為：

L^s（R³） （1?slt;+∞ 表示通常的Lebesgue空間，其上的范數為：

c_i（i∈N） 表示不同的正常數。

假設條件 、 （f2） 人 （f3） 和 （f5）～（f7） 成立：

存在常數 112lt;2 和函數

（204號其中， 使得

（20（f2） （20 Fxz）=+∞關于x∈R2一致成立。（f3） ）存在常數 L₀gt;0 和 c₁?0 使得 （f5）存在常數 θgt;4，c₁^'gt;0 ，使得 （f6） 存在常數 θgt;4，L^'gt;0 ，使得 （f7） 對 ?s∈[0，1] ， ?θ?1 ，使得 （204號其中， F（x，z）=zf（x，z）-4F（x，z）， 。

注2條件 和條件 （g2） 限制了凹項 g 的性質，條件 （f1）～（f7） 限制了凸項 f 的性質。其中條件 控制凹項 g 的增長速度，使 Π_g 滿足變分框架下的有界性或緊性條件，結合條件 和條件 （f1） 確保非線性項在Sobolev空間中可積。

注3條件 （f1） 和條件 （f2） 保證了在合適的空間中， φ 是 C¹ 泛函，進而可以使用噴泉定理來尋找方程的解；條件 （f3） 中的不等式關系有助于構造泛函 φ 的幾何結構，使得在應用噴泉定理時，能夠證明 φ 存在多個臨界點，這些臨界點分別對應式（1）的多個解。條件 （f5）～（f7） 中對非線性項 f 與相應的原函數 F 之間的關系作出規定，這不僅保證了解具有高能量，還可用于調控解的能量增長速度，從而在證明解的存在性和多重性過程中提供重要的能量估計。

定義：

則 E 是一個Hilbert空間，其上的內積為：

范數為：llu=

顯然，在條件 η（v1） 下，空間嵌入 E?L^s（R³） （2?s?6） 是連續的，從而對任意 s∈[2，6] ，存在常數 τ_sgt;0 ，使得

u_s?τ_su_E，?u∈E°

引理 1^[23] 在假設條件 Π（υ1） 下，對任意 s∈[2，6） ，空間嵌入 E?L^s（R³） 是緊的。

用符號 D^1，2（R³） 表示函數空間 C₀^∞（R³，R） 在范數 |?|_D^1，2=|??|₂ 下的完備化空間，很清楚，空間D^1，2（R³） 是能夠連續嵌入到空間 L⁶（R³） 。

引理 2^[24] 對每一個 u∈H¹（R³） ，存在唯一的?_u∈D^1，2（R³） ，其是式（1）第二個方程的解并且滿足（20號 ?_u≥0 此外， 且 其中 c₁gt;0 不依賴于 u （204號

引理 3^[25] （Fatou引理）若 {f_n} 是 Ω 上的非負可測函數列，則

引理 4^[25] （Holder不等式）當 p?1，q?+∞ ，1+1=1。如果u∈（Ω），∈L（Ω），那么

定義泛函 φ：E?R ，

φ（u）=

其中， 。根據引理 2，φ 是明確定義的。此外， φ 是 C¹ 泛函，并且對任意 u，v∈E ，有

?φ^'（u），v?=

眾所周知 （u，?_u）∈E×D^1，2（R³） 是式（1）的解當且僅當u∈E 為 φ 的臨界點。

定義 1^[26] 設 X 是Banach 空間，且 φ∈C¹（X，R） 如果對任意 {u_n}?X 滿足 φ（u_n） 有界，并且 S^'（u_n）?0 可推得 {u_n} 存在一個收斂子列，則稱 φ 滿足Palais-Smale（PS）條件。

1.2Palais-Smale條件的證明

引理5假設條件 （v1）、（g1）、（f1）、（f2） 和（f3） 成立，則泛函 φ 滿足（PS）條件。

證明：設序列 {u_n} 是泛函 φ 的一個Palais-Smale序列，即對某個 c∈R，φ（u_n）?c 并且 φ^'（u_n）?0 （n?∞） 。斷言 有界，否則，則存在一子序列（仍記為 （u_n）） 滿足： |u_n|_E?∞（n∈∞） 。

設 ，則 |w_n|_E=1 存在一子序列滿足：

情形1 。設 則meas（Ω）gt;0

由條件 （f2） 得：存在 r₁gt;0 使得

∣w_nw 在 E 中弱收斂

在 L^s（R³） （ 2?slt;6 強收斂， F（x，z）≥0

（204號 ?x∈R³ |z|?r₁

∣w_n（x）?w（x）a.e.x∈R³

由條件 （f1） 可得

其中， c₂=c₀（1+r₁^-2） ，對所有的 x∈R³，z?r₁ 成立。結合式（5）和式（6）可推出：

令 ，有

若 w（x）≠0 ，則當 時，有 。因此對充分大的 n，Ω?Ω_n（r₁，+∞） ，由條件 （f2） 和Fatou引理可推出：

由引理2和式（2），可得

另外，結合條件 、Holder不等式和式（2），可得

注意到 112lt;2

從而

因此，結合式（3）、式（7）＼～式（9）和式（11）可得

矛盾。

情形2 w=0 。由條件 ?f1? 和 pgt;2 ，可得

從而

因此

這里 c₅=3c₀（1+L₀^p-2）

結合條件 （f3） 可得

此外，由條件 、Holder不等式和式（2）可推出：

其中，

注意到 q₁，q₂∈（1，2） ，有

因此，由式（3）式（4）、式（12）和式（13）可知，

1+o（1）-（c₁+c₅）|w_n|₂²，

這意味著 0?1 ，矛盾。故 {u_n} 在 E 中有界，則通過取子列，不妨設

∣u_n（x）?u（x）a.e.x∈R³°

由式（4）可得

φ^′（u_n）-φ^′（u），u_n-u=

由于 在 E 中弱收斂，有

?φ^′（u_n）-φ^′（u），u_n-u??0

從式（2）和引理2可得

并且由 {u_n}?E 的有界性可得 {?_un} 在 D 中是有界的。因此，從Holder不等式，嵌入 D（R³）?L⁶（R³） 由式（2）和 u_n?u 在 L^s（R³）（2?slt;6） 中成立，可得當n?∞ 時有

|?_un-?_u|₆|u_n-u|₃|u_n|₂?0

和

因此，當 n?∞ 時有

由條件 不等式和 sup_n|u_n|_Elt;+∞ ，可知當 n∞ 時有

同理可得，

當 時也有

因此，當 n∞ 時有

由條件 （f1） 和Holder不等式可知當 n∞ 時有

同理可得，

因此，當 時有

結合式（14）＼～式（18）可得當 時有

|u_n-u|_E?0：

故 u_n?u 在 E 中強收斂。

設 E 為可分的Banach空間，則存在 {x_n}_n=1^∞（E） {f_n}_n=1^∞?E^*， 使得：

（i） ?f_n，x_m?=δ_n^m ，其中，當 |n=m 時， δ_nⁿ=1 當 時， δ_n^m=0 。

（ii） （iii） （204號

今：

則有引理6和引理7。

引理 6^[24] 假設條件 η（v1） 成立，則對任意2?s?2^* ，有

引理 7^[27] （噴泉定理）設 E 為Banach空間，Y_k，Z_k 按式（19）定義， φ∈C¹（E，R） 且 φ（-u）=φ（u） ?u∈E 若對任意的 k∈N， 存在常數 ρ_kgt;r_kgt;0 ，使得：

（i） （iii）_φ 滿足（PS）條件。 則泛函 φ 有一列趨于 +∞ 的臨界值。

2基于噴泉定理的無窮多高能量解存在性的證明

定理2假設條件 （v1）?（g1）～（g2） 及 （f1） ＼～（f4）成立，則對 ?μ∈R ，式（1）有一列解 {u_n} 滿足：

φ（u_n）?∞（n?∞）

證明：顯然，由條件 （g2） 和條件 （f4） 可知 φ 是偶函數，并且 φ（0）=0 0

先證明對任意的 k∈N ，存在常數 ρ_kgt;0 ，使得

取 V₀=inf_x∈R³V（x） ，由條件 η（v1） 知 V₀gt;0 ，并且

由于有限維空間 Y_k 上各種范數等價，則存在c_kgt;0 ，使得

由條件 （f2） 知， ?R_kgt;0 ，使得當 |z|?R_k 時，

F（x，z）?c_k|z|⁴°

由條件 （f1） 有

F（x，z）?c_k|z|⁴-M_k|z|²，?（x，z）∈R³×R

結合引理2和式（10）、式20）＼～式（22），對u∈Yk，有

注意到 q₁，q₂∈（1，2） ，因此，對充分大的 ρ_kgt;0 ，有

再證明對任意的 k∈N ，存在常數 ，使得

由引理 4，β_k²?0（k?∞） ，則 ?k₀gt;0 ，使得當kgt;k₀ 時，

則結合式（10）、式（23）和條件 （f1） ，對 u∈Z_k ∥u∥?1，q₁2 有

從而對 u∈Z_k，|u|_E=r_k ，有（204號 （24注意到 β_k^p?0（k?∞） ，有 r_k?∞ 則由式（24）可得（204號 根據噴泉定理， φ 有一列臨界點 {u_n}_n=1^∞ 使得φ（u）?+∞（n?∞）

注4事實上，條件 是確保工作空間緊性嵌入的一個經典強制條件，很容易知道條件（f2）比條件 （f2^′） 弱得多；條件 （g1） 和條件 （f3） 改進了條件 和條件 （f3^′） 。在研究薛定諤-泊松系統的無窮多高能量解時，凹項通常被視為攝動項，具體而言，當參數 μ 很小時，定理1的結果依然成立。這意味著即使引入凹項作為攝動，系統的高能量解的存在性仍然可以得到保證。此外，尋找無窮多個高能量解時，凸項 f 在0處未作出任何特定假設。

另外，容易驗證結合（f2）和（f5）可推出（f3），結合 （f2） 和 （f6） 可推出 （f3） ， （f7） 可推出 （f3） 。因此，有以下推論。

推論1若將定理1中的（f3）替換為（f5），則定理1的結論仍然成立。

推論2若將定理1中的（f3）替換為（f6），則定理1的結論仍然成立。

推論3若將定理1中的（f3）替換為 （f7） ，則定理1的結論仍然成立。

3結語

本文在更具一般性的假設條件下，針對位勢函數 V 及非線性項 f 和 g 展開研究，借助噴泉定理，證明了Schrodinger-Possion系統式（1）存在無窮多高能量解。在研究過程中，將泛函限定于工作空間 E ，運用反證法，結合空間緊嵌入性質與Fatou引理，克服了因空間無界性導致的嵌入緊性缺失及方程非局部項帶來的（PS）序列有界性驗證難題，論證了能量泛函滿足噴泉定理所需條件。本研究成果不僅豐富和拓展了文獻[22]的相關結論，更為后續探索此類復雜系統奠定了基礎。然而，Schrodinger-Possion系統的研究領域廣袤無垠，本文的探索僅是開端。后續可嘗試運用本研究方法，深入探究R上帶有凹凸非線性項的四階Kirchhoff-Schrodinger-Possion方程無窮多解的存在性；也可借助對偶噴泉定理，挖掘Schrodinger-Possion系統無窮多負能量解的存在規律，為該領域研究開辟新方向。

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