由一道拋體運動模擬試題的解析引發(fā)的思考

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A

文章編號：1003-6148（2025）6-0069-3

2024年某高三教學(xué)質(zhì)量檢測物理試卷中單選題第6題是一道關(guān)于拋體運動的試題，該題的答案解析引發(fā)了筆者的深入思考。

1 試題再現(xiàn)

原題如圖1所示，某同學(xué)在運動場內(nèi)將足球踢出有一定厚度的圍墻外，場外路人將足球從水平地面上某點正對圍墻踢回場內(nèi)，人恰好對其做功最少，球的初速度方向與水平地面成 θ 角，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）

A.θgt;45^° B.θ=45^° C.θlt;45^° D.0可取小于 90^° 的任意值

原題解析如圖2所示，當(dāng)軌跡在圍墻上表面 |AB| 上方的軌跡跨過的水平距離必須大于等于圍墻寬度 AB ，足球才能越過墻體。

足球在 AB 段所在水平面的射程表達式為

可證明當(dāng)軌跡恰好經(jīng)過 _A，B 兩點時 x 最小，且當(dāng) α=45^° 時 v_A 取得最小值。從起點 o 到 A ，由動能定理可知，球在 o 點速度 v₀ 有最小值，且由于 v_A 與水平面夾角 α=45^° ，則 v₀ 與水平地面夾角 θ 大于 45^° ，故正確答案是A選項。

對于這個解析，結(jié)合題目中給出的信息，筆者認為有不妥之處。

2 對于原題解析的疑問和看法

原題描述足球是從水平地面上某點正對圍墻踢回場內(nèi)，這個某點到底距離圍墻有多遠？圍墻本身又有多高？題目中沒有說明。如圖3所示，可刻意把圍墻畫矮一些，足球距離圍墻遠一些（甚至可以讓圍墻足夠矮，用極限法來思考）。

若按原題解析，讓軌跡同時經(jīng)過 A，B 兩點，則從該圖可以看出， v₀ 與水平方向的夾角顯然小于 45^° ，此時 v_A 與水平方向的夾角也小于 45^° ，即在這種情況下 v_A 與水平方向的夾角不可能取到 45^° ○

同理，如果 o 點靠圍墻足夠近，而圍墻又比較高，如圖4所示。由圖可以看出，這種情況v_A 與水平方向的夾角也不可能取到 45^° 。

所以，該題足球從 o 點出發(fā)恰好過圍墻的A、B 兩點是可以找到對應(yīng)軌跡的，但是這個軌跡經(jīng)過 A 點時，足球在 A 點的速度方向與水平面的夾角不一定可以取到 45^° 。

原題的解析是先讓足球在 A 點速度方向與水平面的夾角為 45^° ，再來證明足球在位置 o 點速度方向與水平面的夾角大于 45^° ，這就造成 o 點必須在一個特定位置，而原題中并未說明 o 點即足球初始位置在哪，這個位置是個定點還是動點。

所以，該題如果要嚴謹解答是比較復(fù)雜的，需要討論兩種情況，即在墻高和厚度一定的情況下，足球離墻較遠和足球離墻較近兩種情形；而原題解析中提到的情況應(yīng)該是足球在距離墻的一個特殊位置處，在該位置足球飛起經(jīng)過墻 A，B 兩點，在A點速度方向剛好為 45^° 。一旦比此特殊位置離墻近一些或遠一些，都不可能使得足球在A點速度方向與水平面夾角達到 45^° 業(yè)

3 對于本題的深入探究

對于本題，嚴謹?shù)淖龇☉?yīng)當(dāng)進行分類討論，可以假設(shè)有一個距離墻的特殊位置 c ，足球從 c 點出發(fā)經(jīng)過A ?，B 兩點，在A點的速度方向與水平面的夾角剛好為 45^° 。如果足球初始位置在 c 點左側(cè)或者右側(cè)（圖5），可討論如下。

（1）若足球位于 C 點右側(cè)，則足球離墻相對較近，由前文可知足球在 C 點出發(fā)，初速度方向與水平面的夾角已經(jīng)大于 45^° ，那么在這個比 c 點更靠近墻的位置想要過墻，速度方向與水平面的夾角顯然大于 45^° ，這種情況不再討論

（2）若足球位于 c 點左側(cè)，則足球離墻相對較遠，如圖6所示。

設(shè)足球初速度為 v₀ ，與水平面的夾角為 θ ，當(dāng)足球剛好從圍墻邊沿經(jīng)過時，對其進行運動分解。

水平方向x=v₀tcosθ 豎直方向

由（1）（2）式消去 χ_t ，可得

變形得

應(yīng)用二倍角公式化簡

應(yīng)用輔助角公式化簡

當(dāng) 2θ-α=90^° 時，分母取最大值， v₀ 有最小值，即動能最小，人做功最少。

得 2θ=90^°+α，θ=45^°+α/2

可知 θgt;45^°

綜上可知，足球要想越過圍墻且做功最少，初速度方向與水平面的夾角必須大于 45^° 。

4 對于本題的另解

利用拋體運動的一個推論，若拋體在某平面內(nèi)以恒定初速度、不同的角度發(fā)射，可得到一拋物線族。如果有一條光滑曲線處處與拋物線相切，這條曲線稱為拋物線族的包絡(luò)線1，如圖7所示。

2通過證明可知，這條包絡(luò)線的方程為y=

（20 ，也是一條拋物線，具體證明過程本文不再2v₀^- 贅述。這里可以看兩個特殊的點，即這條包絡(luò)線與 x 軸和 y 軸的交點，其坐標對應(yīng)了其在水平方向和豎直方向的最大射程。一個初速度確定的拋體運動，若在豎直方向有最大射程，則要求初速度方向豎直向上，即做豎直上拋運動，最大射高2

為 ，剛好就是包絡(luò)線與 y 軸的交點坐標;若在水平方向有最大射程，則要求初速度方向與水平面成 45^° 角，其最大射程為 ，剛好就是包絡(luò)線與 x 軸的交點坐標。

直接利用拋體運動的拋物線族的包絡(luò)線可以比較簡單地解決上述問題。拋體運動的拋物線族的包絡(luò)線位置和拋體運動物體的初速度 v₀ 有關(guān)，初速度 v₀ 越大，該拋物線族的包絡(luò)線位置越高，即在 x，y 軸上的截距越大。如圖8所示，利用Excel軟件分別繪制出初速度 v₀=10m/s 、 的拋體運動的拋物線族的包絡(luò)線， g 取 10m/s² 。

也可以通過改變初速度 v₀ 的大小對其拋物線族的外包絡(luò)線進行放縮。如果足球取某一初速度，該初速度的拋物線族的外包絡(luò)線不能繞過圍墻，則表明足球無論朝哪個方向飛出都不可能越過圍墻。所以，要以最小的初速度越過圍墻就是當(dāng)外包絡(luò)線剛好過圍墻邊沿的 B 點，如圖9所示，此時足球運動軌跡如圖中虛線所示。從前面的分析可知，若拋體運動初速度方向與水平面成 45^° 角有最大射程，軌跡將會與包絡(luò)線正好相切于 C 點。但此時足球運動軌跡與包絡(luò)線相切于B 點，由此可知其初速度方向與水平面夾角必大于 45^° ，沿這條軌跡踢出足球，初速度最小，即人對足球做功最少。

5結(jié)語

《中國高考評價體系》規(guī)定了高考的考查載體一一情境，以此承載考查內(nèi)容，實現(xiàn)考查要求[2]。本題通過設(shè)置真實問題情境，要求學(xué)生構(gòu)建斜拋運動的物理模型，運用運動合成與分解的思想化曲為直解決實際問題，并運用方程、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識求該運動最小速度對應(yīng)的拋射角的范圍，是一道很有價值的創(chuàng)新試題。但是，在命制試題以及制訂配套答案的過程中，要考慮全面，嚴謹論證分析，嚴格審查，及時發(fā)現(xiàn)和解決問題。

參考文獻：

[1]董慎行.拋體包絡(luò)線方程的推導(dǎo)及其應(yīng)用舉例[J].物理教師，2007，28（12）：45-46.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2020：7.

（欄目編輯 蔣小平）