復雜網絡觀點動力學分析與干預若干研究進展

中圖分類號：N941.4文獻標識碼：A

Some Recent Advances in Analysis and Intervention of Opinion Dynamics in Complex Networks

ZHANG Qi1，WANG Xiaofan1，2 （1.Department of Automation，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 2Oo24O，China; Faculty of Intelligence Technology，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 2Ol418，China）

Abstract：Opinion dynamics has emerged as a research hotspot in many fields such as network science，control theory and sociology， focusing on the analysis and interventions of opinion evolution in complex networks. This paper reviews two research directions developed from the Friedkin-Johnsen model. First，the co-evolution of implicit opinions and explicit opinions under the social pressure is presented，with an emphasis on recent advances in conformity behavior and opinion polarization. Second，the opinion intervention based on opinion maximization problem is introduced and the recent progress is summarized from perspective of intervention strategies such as node selection and timing selection. Finally， future research directions of opinion dynamics under the intersection of multiple fields are discussed.

Keywords： complex networks; opinion dynamics； opinion co-evolution; opinion maximization

0 引言

隨著社會的演化和技術的進步，人們互動和參與社會活動的方式也在發生顯著變化。個體的觀點不僅受到親朋好友等熟人社交網絡中觀點的影響，還受到新聞媒體、商業廣告等各種信息和規范的塑造。分析群體觀點的演化、合理引導群體觀點、避免信息誤導和觀點極化，已成為網絡科學[1-3]、控制理論[4-5]及社會學[6-7]等領域的重要研究課題。DeGroot 模型[8]是一個經典的觀點動力學模型，該模型的一個標志性的拓展是Friedkin-Johnsen（F-J）模型[9]。在F-J模型的基礎上又有大量的擴展工作，本文重點介紹兩個方向的近期研究進展：1）內隱觀點與外顯觀點共演化研究[10-12]，揭示社會壓力下個體從眾行為和群體極化等現象的產生機理;2）觀點最大化（O-pinion Maximization，OM）問題[4，13-14]，探討如何通過節點選擇、增加連邊、資源分配和時機選擇等策略實現目標最優。最后，展望多領域交叉趨勢下的觀點動力學研究方向與挑戰。

1經典的觀點動力學模型及其拓展

1.1 DeGroot模型及其拓展

考慮 n 個個體在討論某個事物或話題，其相互影響（互動）網絡由圖 G（W）={V，E，W} 描述，其中 V={1 |2，…，n 是圖 G（W） 的節點集合，每個節點對應于網絡中的一個個體； E={e_ij：i，j∈V}?V×V 是邊集合，描述了網絡中個體間的互動或影響，其中邊 e_ij=（i，j）∈E 表示個體 i 可以接收到來自個體 j 的觀點信息， m=∣E∣ 。W=[w_ij]∈R^n×n 是鄰接矩陣，其元素 w_ijgt;0 當且僅當 e_ij∈E 。定義 N_i={j∈V τυ_ijgt;0} 表示個體 i∈V 的鄰居集合。若個體 j∈N_i ，則稱其為個體 i 的鄰居。

令 x_i（t）∈[0，1] 表示在 t∈N 時刻，個體 i∈V 對討論事物的觀點。個體的觀點值越大，表示其對討論事物的支持程度越高。在每個時刻 t∈N ，個體 i∈V 根據鄰居個體觀點調整自己的觀點，DeGroot模型[8]描述為

其中， τ_ij∈[0，1] 為個體 j 對個體 i 的影響權重，且滿足 。由此可知，矩陣 W=[w_ij] 是一個非負行隨機矩陣。令 x（t）=[x₁（t），…，x_n（t）]^? 表示 t∈N 時刻的觀點向量，則DeGroot模型（1）可寫為

定義1（收斂性和一致性[15]）考慮社會網絡 G（W）=V，E，W 上的觀點演化。對于任意初始觀點向量 x（0）∈ [0，1]ⁿ ，若對于任意 i∈V ，存在 x_i^*∈[0，1] ，使得

lim_t∞x_i（t）=x_i^?

則稱觀點動力學模型收斂。進一步地，若對于任意 i∈V，x_i^*=x^*∈[0，1] ，則稱觀點達成一致。

收斂性和一致性問題是DeGroot 模型研究的基礎問題，已有大量研究基于矩陣理論、圖論和馬爾可夫鏈等相關理論給出了充要條件，詳細內容可參考綜述論文[15」-_17」。在此基礎上，通過引人個體差異等影響觀點演化的因素，發展出更加多樣化的觀點動力學模型以描述實際社會現象，例如F-J模型[9」、Hegselmann-Krause（H-K）模型[18]、偏見同化模型[19]等。

1.2F-J模型及其拓展

基于DeGroot 模型，Friedkin 和Johnsen[9]考慮了在觀點演化過程中，個體不僅受鄰居觀點的影響，還會對自己的初始觀點具有一定的固執程度。考慮 n 個個體在討論某個事物，其社交網絡為 G（W）={V，E，W} 。在時刻 t∈N ，個體 i∈V 觀點更新如式（3）：

其中， λ_i∈[0，1] 為個體 i 對外界影響的敏感程度， 1-λ_i 則被視為其對初始觀點的固執程度， τ_ij∈[0，1] 為個體j 對個體 i 觀點的影響權重，且對于任意 i∈V ，滿足 。令對角矩陣 Λ=diag{λ₁，λ₂，…，λ_n} ，則F-J模型（3）可寫為

Friedkin等[2在F-J模型中引入多個事件的邏輯關系矩陣，研究了個體在面對多個具有邏輯關系事件的觀點共演化問題。隨后，Parsegov等[20]對該模型的收斂性進行了分析。Friedkin和Bull[21]將F-J模型拓展到了事件序列，并通過設計社會實驗驗證了該模型在解釋群體經過多輪討論后獲得真相的有效性。Bernardo 等[22]提出了級聯F-J模型，用于描述《巴黎協定》談判過程中多方參與的復雜互動。該模型結合了短時間尺度的 F-J模型和長時間尺度的多階段連接模型，模擬了實際談判中的共識達成過程。隨后， wang 等[23]給出了級聯F-J模型的一致性條件。

F-J模型通過引人初始觀點對個體的持續影響，展現了觀點分歧的形成機制。根據社會心理學中的失調理論，當個體與其鄰居觀點存在分歧時，可能會引發認知失調[24]。為了緩解這種不適感，個體會傾向于調整自己的觀點，從而減少認知失調。Bindel等[25]將這種與鄰居觀點的分歧程度作為衡量認知失調的代價，假設個體通過調整觀點以最小化認知失調的代價函數，其中代價函數定義為

其中， s_i 為個體 i 的內在信念； x_i（t） 為在 Ψ_tΨ_Ψ 時刻個體 i 的外顯觀點，是其內在信念和鄰居觀點的“妥協”。個體 i 的外顯觀點更新為

在式（5）的觀點更新規則中，個體的內在信念 s_i 持續影響外顯觀點 x_i（t） 的演化，是F-J模型思想的一種表現形式，與Friedkin 和Johnsen[26]于1990年提出的觀點動力學模型一致。令 s=[s₁，s₂，…，s_n]^T∈[0，1]ⁿ 表示內在信念向量，對角矩陣 D=diag{d₁，d₂，…，d_n} 為度矩陣，其中 ，則模型（5）可表示為

x（t+1）=（I_n+D）^-1Wx（t）+（I_n+D）^-1s，?t∈N

令 x^*=[x₁^*，x₂^*，…，x_n^*]^T 表示個體的穩態觀點，即 x^*=（I_n+D）^-1（Wx^*+S） 。矩陣 L=D-W 為圖 G（W） （204號的拉普拉斯矩陣。Bindel等[25]證明F-J模型（6）將收斂到平衡點 x^*=（I_n+L）^-1s ，這也是博弈問題（5）的唯一納什均衡。

基于Bindel等[25]對F-J模型的解構，逐漸發展出兩個研究方向：一是聚焦社會壓力影響下個體內在觀點與其外部表達動態演化過程的模型構建以及動力學分析；二是面向宣傳推廣等輿論引導場景的宣傳策略研究，即研究如何通過調整部分網絡結構（例如增加連邊）或影響部分個體的初始觀點等方法，實現網絡中觀點分歧程度最小化、網絡中個體對討論事物的整體評價最大化等目標最優。

2 內隱觀點與外顯觀點共演化

在經典觀點動力學模型中，通常假設個體對討論事物僅持有一個觀點。近年來，受社會心理學經典研究阿希從眾實驗[27]的啟發，個體內隱觀點與外顯觀點共演化問題逐漸成為研究熱點。內隱觀點反映個體的真實想法，受認知偏差、行為習慣等經驗影響；而外顯觀點為個體在社會壓力作用下，觀點調整后做出的公開表達。當前，觀點共演化問題的研究主要集中在內隱觀點與外顯觀點動態模型構建、模型的動力學分析，以及實際現象的重現和其產生機理的解釋。現有的共演化研究主要基于表達與私人觀點（Expressed and Private Opinion，EPO）模型框架[10]。本節將首先闡述 EPO模型，隨后介紹基于 EPO模型的拓展研究，最后簡述基于隨機性模型等其它共演化的研究框架。

2.1 EPO模型

Ye等[10]基于社會從眾現象提出了EPO模型。考慮社會網絡 G（W）={V，E，W} 上的群體討論，其中個體對同一個事物具有雙重觀點：內隱觀點和外顯觀點，分別記為 x_i（t） 和 。內隱觀點代表個體的真實想法，不被其余個體獲得。外顯觀點是個體在群體壓力下真實想法的外向表述，受外界輿論觀點的影響。在EPO模型框架中，在每個時刻，個體根據鄰居觀點調整自己的內隱觀點，并且根據觀察到的輿論觀點與其內隱觀點調整外顯觀點。內隱與外顯觀點演化過程如圖1所示。

Ye等[10]考慮了基于F-J模型（3）的內隱觀點與外顯觀點的共演化模型，在 t∈N 時刻，個體 i∈V 的內隱觀點與外顯觀點的更新規則為

其中， λ_i∈[0，1] 為個體 i 對人際影響的敏感程度； τ_ii≥0 為個體 i 對自己觀點的自信程度， τυ_ij?0 為個體 j 外顯觀點對個體 i 的影響權重，且對于任意 i∈V ， ： ?_i∈[0，1] 為個體 i 對外界輿論觀點的抵抗程度， 1- ?_i∈[0，1] 可視為輿論觀點對個體 i 的外顯觀點的影響程度，簡稱社會壓力程度； 為 Ψ_t 時刻，個體 i 觀察到的外界輿論觀點，其中矩陣 是一個行隨機矩陣，其元素 m_ij 描述了個體 j 的外顯觀點對個體 i 視角下的輿論觀點的影響程度。假設圖 G（M） 與圖 G（W） 具有相同的連接關系，即 m_ijgt;0 當且僅當（204號 。此外，假設每個個體 i∈V 初始外顯觀點與內隱觀點相同，即 （204號 Φ（0）=x_i（0） 。令 x（t）= [x₁（t），x₂（t），…，x_n（t）]^T 與 分別表示 Ψ_t 時刻的內隱觀點向量與外顯觀點向量，對角矩陣 ?=diag{?₁，?₂，…，?_n} 和 Λ=diag{λ₁，λ₂，…，λ_n} 分別表示個體對輿論觀點的抵抗程度以及個體對外界影響的敏感程度，則 EPO 模型（7）-（9）可表示為如式（10）的緊湊形式：

其中， 是對角矩陣， ，初始條件 。根據上述矩陣形式，EPO模型（1O）可視為F-J模型[26]。Ye等[10]給出EPO模型（1O）收斂的充分條件，即圖 G（W） 是強連通且非周期的，且矩陣 W 和 M 是行隨機的，則內隱觀點與外顯觀點的穩態值分別為

其中，矩陣 ，矩陣 S=（I_n-（I_n-Φ）M）^-1Φ □

2.2 EPO模型的拓展

在 EPO模型框架提出后，人們進一步將其與經典的觀點動力學模型結合，研究了有界信任[28-30]，偏見同化[11.31]等個體認知偏差對內隱觀點與外顯觀點共演化的影響。

有界信任模型[18.32-34]是經典的觀點動力學模型，模擬了個體選擇性偏差對觀點演化的影響。有界信任模型假設個體對外界信息的接受范圍有限，僅受到與其觀點差異小于信任閾值的個體觀點影響，最終群體將演化至若干同質性觀點簇。H-K模型[18]和 Deffuant-Weisbuch（D-W）模型[3]是經典的有界信任模型，其中H-K 模型采用同步更新機制，而D-W模型考慮隨機相遇的互動機制。下面介紹考慮內隱觀點和外顯觀點共演化的有界信任機制。

考慮 n 個個體在討論某個事物，令 V={1，2，…，n} 表示個體集合，其中每個個體 i∈V 具有內隱觀點（204號 x_i（t）∈[0，1] 和外顯觀點 。根據有界信任模型，個體具有一個有界的信任閾值 d_igt;0 ，只受到與其內隱觀點差異小于信任閾值的個體影響，則令集合 ，表示在 χ_t 時刻與個體 i 溝通交流的鄰居個體集合。當個體對討論對象僅具有一個觀點時（即經典的有界信任模型 ^[18，32-34]） ，個體通過比較自己觀點與其余個體的觀點差異來定義交流鄰居集合。而在內隱與外顯觀點共演化的研究框架中，由于個體無法觀察到其他個體的內隱觀點，因此在定義互動鄰居集合 N_i^o（t） 時，個體比較其內隱觀點與其余個體外顯觀點的差異。

基于H-K 模型和 EPO 模型，Cheng 和 Yu^[28] 研究了順從場景下的內隱觀點和外顯觀點共演化問題，其中個體內隱觀點不從眾，但由于從眾壓力的影響，表達接近輿論觀點的外顯觀點。在時刻 t∈N ，個體 i∈V 表達其外顯觀點 ，觀察其余個體的外顯觀點 ，并基于此更新其內隱觀點與外顯觀點，更新規則為

其中， |N_i^o（t）| 為在 Ψ_t 時刻，與個體 i 互動交流的鄰居數量。Cheng 和 Yu^[28] 給出了模型 （11）～（13） 實現內隱觀點與外顯觀點一致的充分條件，即對于任意個體 i∈V 和時刻 t∈N ，且 N_i^o（t）≠ ? 。基于仿真結果指出，隨著社會壓力 1-? 的增加，群體的穩態觀點從一致性轉變為分裂[28]。恰當的社會壓力1-? 可以促進群體觀點共識；然而，隨著社會壓力 1-? 的增加，個體的外顯觀點與內隱觀點產生分歧，邊緣個體將從群體分裂，其數量隨著群體壓力的增加而增加[28]。此外， Hou 等[29]在基于H-K模型的內隱觀點更新規則（11）中進一步考慮了初始觀點的持續影響，其中初始觀點對內隱觀點的影響程度由時變的固執程度參數 1- λ_i（t） 描述，通過數值仿真分析了固執程度參數對最終觀點簇數量的影響。

Luo 等[30]結合EPO模型[10]和D-W 模型[33]研究了內隱觀點與外顯觀點的共演化。在每個時刻 t∈N ，隨機選擇一對個體進行互動，記為 i，j∈V 。被選擇進行互動的個體內隱觀點更新規則為

其中 ，μ_i，μ_j∈（0，0.5] 為收斂參數， 為指示函數，若事件 ω 為真，則 Π_ω=1 ；否則， Π_ω=0 。其余未被選擇進行互動的個體 ，其內隱觀點保持不變，即

x_l（t+1）=x_l（t）

所有個體 i∈V 根據其內隱觀點與觀察到的外界輿論調整自己的外顯觀點：

其中，個體觀察到的外界輿論 如式（13）所示。Luo等[30]提出了模型 （14）～（17） 實現內隱觀點與外顯觀點一致性的充分條件，即對于任意時刻 t∈N ，存在 τ（t）∈N ，使每個個體在 [t，t+τ（t）] 均與其余個體互動，并調整其觀點。Luo等[30]通過數值仿真實驗指出，從眾壓力 1-?_i 程度較低時，個體內隱觀點和外顯觀點將迅速達成共識;隨著壓力的增加，內隱觀點與外顯觀點展現出多樣性。

為了更直觀展示基于H-K模型的觀點共演化模型 （11）～（13） 以及基于D-W模型的觀點共演化模型 （14）～ （17）的內隱觀點與外顯觀點演化，本文根據觀點動力學模型繪制了其演化軌跡，如圖2所示，其中共有 n=20 個個體參與討論，個體信任閾值 d_i=d=0.15 ，個體對外界影響的抵抗程度 ?_i=?∈{0，25，0.5，0.8} 。

在上述基于有界信任模型的內隱觀點與外顯觀點共演化模型中，個體基于加權平均算法以及其余個體的外顯觀點調整其觀點。這種加權平均規則使得個體間相互妥協，因此隨著群體討論的深人，群體中的極端觀點逐漸向中間立場靠攏，極端程度降低。這一現象展現了群體討論有助于緩解輿論極端對立[35]，促進社會共識的形成。

然而，實證研究發現具有相似偏好的個體討論可能加強個體偏好，導致群體觀點極端化[36]。

為了描述觀點極化的演化過程，我們基于偏見同化模型[19]和EPO模型框架[10]，研究了內隱觀點與外顯觀點的共演化[11]。考慮網絡 G={V，E，W} 上的群體討論。在 t∈N 時刻，個體 i∈V 內隱觀點與外顯觀點更新規則為

其中， b_igt;0 為個體 i 的偏見參數， 為個體在 t 時刻所有鄰居外顯觀點的加權和，鄰居集合N_i={j∈V，j≠i w_ijgt;0} ， w_ij?0 為個體 j 的外顯觀點對個體 i 的影響權重， 為所有鄰居的影響總和， ?_i∈[0，1] 為個體對輿論觀點的抵抗程度， m_ij∈[0，1] 為個體 j 的外顯觀點對個體觀察到的輿論觀點 的影響權重，圖 G（M） 與圖 G（W） 具有相同的連接關系且矩陣 M=[m_ij] 是行隨機的。若對于任意個體 i∈V，?_i= 1且 ，那么對于任意 t∈N ，內隱觀點與外顯觀點相同，即 ，則模型（18）退化為經典的偏見同化模型[19];進一步地，若對于任意 i∈V ，偏見參數 b_i=0 ，則模型（18）退化為DeGroot模型。

我們通過理論分析研究了兩島網絡模型[19]中內隱觀點與外顯觀點的共演化過程與結果，其中兩島網絡模型用來描述同質性環境，群體內部具有更多互動，如圖3所示，描述如下：定義2（兩島網絡[19]）給定正整數 n₁，n₂gt;0 和實數 p_s，p_d∈（0，1） ，一個 （n₁，n₂，p_s，?_pd） -兩島網絡是一個無向圖 G=（V₁，V₂，E，W） ，其中

2）群體 V₁ 中的個體，在群體 V₁ 中有 n₁ρ_s 個鄰居，在群體 V₂ 中有 個鄰居；3）群體 V₂ 中的個體，在群體 V₂ 中有 n₂Δp ，個鄰居，在群體 V₁ 中有 n₂Δp_d 個鄰居；

表示圖 G 的同質性程度。

考慮一個 （n，n，p_s，p_d） 一兩島網絡 G=（V₁，V₂，E，W） ，其中任意個體 i∈ V=V₁?V₂，j∈N_i，w_ij=1 。假設對于任意 i∈V，m_ij=1/d_i，b_i=bgt;0，?_i=?∈ （0，1）；對于任意 i∈V₁ j∈V₂ ，內隱觀點 x_i（0）=1-x_j（0）=x₀∈（1/2，1） ，外顯觀點 [1/2，x₀] ，即假設個體初始外顯觀點相較于內隱觀點更中立。通過理論分析可得，當上述假設條件成立時，個體初始內隱與外顯觀點（即 不影響最終演化結果。隨著個體偏見參數 b 的增加，群體將從接納從眾轉變為順從從眾行為，內隱觀點將從共識轉變為持續的分歧、極化，我們給出了現象轉換的臨界值，具體如下：

若個體輕微偏見，即 β（hG-1）+2群體內隱觀點與外顯觀點在中立狀態1/2 達成共識，展現接納從眾現象[24]，即隨著討論的進行，個體逐漸接納輿論觀點并與外顯觀點一致。

若個體中度偏見，即 （h-1）+21 與 j∈V₂ ，內隱觀點穩態值為

若個體嚴重偏見，即 b?1 ，內隱觀點與外顯觀點收斂，內隱觀點極化到極端狀態，即對于任意 i∈V₁ 以及 j∈ V₂ ，內隱穩態觀點分別為 lim_t∞x_i（t）=1，lim_t∞x_j（t）=0 ，而個體仍然表達出相對中立的外顯觀點，其穩態值分別為 。

綜上，當個體中等或嚴重偏見時，個體展現順從從眾行為，雖然其內心可能不認同，但始終表達出更中立的外顯觀點[24]。圖4展示了如圖3所示的兩島網絡中，不同抵抗程度與偏見程度下，內隱與外顯穩態觀點值，其中圖

4e為經典偏見同化模型[19]中的穩態觀點值。如圖4所示，當個體嚴重偏見時，外顯穩態觀點會隨著社會壓力1-? 的增加而更加中立，但內隱觀點極化，不受社會壓力 1-? 影響。

1.0 m 1.0. 1.0 .. 1.0 1.0 . S V內隱觀點 .5 V外顯觀點 群體1觀點 態 態 態 V內觀點 態 群體2觀點 穩 穩 穩 穩 穩 0 O 0 0L \".. 0 0 0.5 1.0 0 0.5 1.0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 抵抗程度， 抵抗程度， ? 偏見參數，b 偏見參數，b 偏見參數，b a b=0.85 （204號 b b=1.2 （204號 C ?=0.25 d ?=0.8 （2 e=1 注 ：h_G=2 （20

此外，社會心理學中的雙重態度理論[37]指出，個體內隱觀點受經驗影響，較難改變。鑒于此，我們進一步分離了內隱觀點和外顯觀點的更新時間軸，構建了異步更新機制[31]，其中個體在每個時刻表達外顯觀點，但根據其自己的時鐘調整內隱觀點。內隱觀點更新時間集合定義為

定義3（內隱觀點更新時間集合[31]）令 T_i={t_kⁱ}_k=0^∞ 表示個體 i∈V 更新其內隱觀點的時間集合，滿足：

1）對于任意 k∈N⁺ ，時刻 t_kⁱ∈N 滿足 0=t₀ⁱkⁱk+1ⁱ 2）存在 τ_max∈N⁺ ，使得對于任意 k∈N ， t_k+1ⁱ-t_kⁱlt;τ_max ：3）lim_k∞t_kⁱ=∞ 。

對于內隱與外顯觀點異步更新機制[31]，考慮到個體 i 內隱觀點保持期間 ，個體仍在持續觀察外界輿論觀點并調整其外顯觀點，假設個體內隱觀點在 t_k+1ⁱ 更新時，受到過去一段時間 t∈[t_kⁱ，t_k+1ⁱ） 內外界信息影響。令 s_i（t_kⁱ，t_k+1ⁱ） ）表示個體 i∈V 在 [t_kⁱ，t_k+1ⁱ? 期間受到外界影響的總和，即

其中， α_i（t）∈[0，1] 描述了 Ψ_t 時刻的外界信息的影響程度，滿足 0

基于偏見同化模型[19]和EPO模型[10]，我們研究了異步更新機制下內隱觀點與外顯觀點的共演化[31]，其中對于任意時刻 t∈[t_kⁱ，t_k+1ⁱ），t_kⁱ，t_k+1ⁱ∈T_i ，個體 i∈V 的內隱觀點更新過程為

個體外顯觀點與輿論觀點的更新規則如 （19）～（20） 所示。

我們理論分析了友好討論環境中的內隱觀點與外顯觀點共演化過程及結果[31]，其中個體間影響網絡 G（W） 是連通網絡且所有個體對討論對象均持支持態度（即 或均持反對態度。友好環境中的群體討論會加強個體的初始偏好，使得所有個體的內隱觀點與外顯觀點在對應初始偏好的極端觀點（即 sign（x_i（0）-1/2） ）處達成一致，導致群體極化現象的產生[31]，觀點演化過程如圖5所示。這一結果與Myers和Bish-op^[36] 的實證研究結果一致。

在基于 EPO模型框架的觀點共演化模型中，有幾點需要說明。首先，對于個體觀察到的外界輿論觀點 Ψ（Ψ_t ）的設定。在基于有界信任模型的共演化研究[28-30]中，沒有考慮個體間具體的互動（影響）網絡，即對于群體中的任意兩個個體都有機會進行互動，因此假設每個個體觀察到的外界輿論觀點相同，為所有個體外顯觀點的平均值，即 m_ij=1/n，?i，j∈V ；而在 EPO 模型[10]以及基于偏見同化模型的共演化研究[11，31]中，個體間的交流受到社交網絡結構的影響，因此每個個體觀察到的外界輿論觀點也受到社交網絡的影響，即個體只能觀察到鄰居的外顯觀點。這兩種假設都具有實際意義，不同的設定可能會產生不同的觀點演化結果。其次，對于初始外顯觀點的設定。一些研究假設個體初始外顯觀點與內隱觀點相同[28-30]，Ye等[10]也考慮了這一設定，但其證明了在 EPO模型（10）中，個體初始外顯觀點不影響最終的穩態觀點值。在基于偏見同化模型的觀點共演化研究[11]中，考慮個體初始外顯觀點比內隱觀點更中立，理論分析顯示在該問題設定下，初始外顯觀點不影響最終觀點穩態值，但初始外顯觀點越中立，內隱與外顯觀點在演化過程中也越中立，從而影響觀點收斂速度。綜上所述，目前基于 EPO模型的共演化研究未能充分展現上述因素在諸如多元無知、沉默的螺旋和盟友效應等經典心理學現象中社會壓力對個體觀點的影響，需要進一步深入研究。

2.3其他共演化框架及進展

在隨機性觀點動力學模型方面，Jadbabaie等[38]基于交互的Polya罐子模型提出了一個觀點動力學模型，研究了個體固有觀點與聲明觀點的共演化。模型假設個體的固有觀點保持不變，且無法被其他個體觀測，而在每個時刻，個體在社交網絡中廣播其聲明觀點，聲明觀點受到鄰居觀點的影響。Jadbabaie等[38]關注通過聲明觀點對個體的固有觀點進行預測。分析指出，在全連接網絡中，只要人群中不包含大的多數派，估計總體和個體固有觀點是可能的。這是因為群體中大規模的多數派迫使少數派撒謊，從而導致無法對固有觀點進行估計。在此基礎上，Tang 等[12，39]在任意網絡上對此模型進行了研究，提供了即使在共識情況下也會收斂到內在信念的估計器。

人們還研究了連續觀點與離散決策（行動）的共演化問題。Zhan 等[40]基于有界信任模型提出了社會網絡觀點與行動演化模型，其中假設每個個體對問題具有連續取值的觀點和離散的行動。觀點是私人的，只有鄰居可以獲得;而行動是公開的，對所有個體可見。Aghbolagh 等[41]基于博弈論建立了觀點和決策的共演化模型，證明其是序數勢博弈問題，并推導出觀點和決策收斂以及極化的充分條件。

3觀點最大化問題及其研究進展

觀點最大化問題或推廣宣傳問題[13]源自于Kempe等[42]提出的影響力最大化問題，但更注重觀點的動態演化過程。觀點最大化問題考慮在給定的社會網絡中如何確定宣傳策略，使個體間經過一段時間交流討論后，實現宣傳目標最優。具體而言，觀點最大化問題由3個部分構成：1）觀點動力學模型：描述個體在網絡中的觀點演化；2）宣傳策略：針對社交網絡上討論對象的宣傳推廣的方法，例如選擇網絡中的k個個體作為意見領袖[43」、對在網絡中添加 k 條連接（邊）[4]等;3）優化目標：衡量宣傳效果的指標，例如網絡中的整體評價[13]、支持者個數[44]、群體觀點的收斂誤差[45]等。本文以F-J模型（6）為觀點動力學模型，網絡中的整體評價為優化目標這一經典設定為例，介紹觀點最大化問題的研究框架[13]。

3.1 經典的觀點最大化問題

受Kempe等[42]影響力最大化問題中選擇傳播信息的源頭種子節點的啟發，Gionis 等[13]考慮了在網絡中選擇 k 個個體作為意見領袖，說服其外顯觀點保持狀態1不變，通過意見領袖的影響力來最大化社交網絡 G（W） 上所有個體對討論對象的整體評價，其中整體評價定義為所有個體的穩態觀點總和，即

問題1（節點選擇[13]）：給定一個社會網絡 G（W）={V，E，W} ，其中所有個體根據F-J模型（6）調整觀點。目標是確定一個包含 k 個個體的集合 ，使集合 T_node 中個體的外顯觀點保持狀態1不變，實現整體評價最大化。令 Q_node={T_node?V ： ，相應的組合優化問題描述為

為了研究目標函數性質以及設計時間復雜度更低的求解算法，通常進一步分析目標函數是否具有單調性和子模性，這是組合優化問題重要的性質，具體描述如下。定義4（單調性 8. 子模性[43]）：考慮集合函數 f 及其定義域 Q 。

1）單調性：如果對于任意滿足 S₁?S₂?Q 的集合 S₁ 和 S₂ ，都有 f（S₁）?f（S₂） ，則集合函數 f 是單調遞增的。

2）子模性：如果對于任意滿足 S₁?S₂?Q 和任意 的集合 S₁ 和 S₂ ，都有 f（S₁?{s}）-f（S₁）≥ （204號 f（S₂∪{s}）-f（S₂） ，則集合函數 f 是子模的。

Gionis 等[13]證明了問題1的目標函數是單調遞增且子模的，即領導者個數越多，網絡上的整體評價就越高，但隨著領導者個數的增加，評價提升的幅度降低，即邊際收益遞減。此外，由于問題1的目標函數是子模的，根據現有研究可知，貪婪算法是一個 （1-1/e ）-近似算法[46]。進一步，Gionis等[13]證明了問題1是一個NP-hard問題。

組合優化問題最直接的求解方法是枚舉法，計算每一個可行解對應的目標函數值，選擇其中最優解。若采用枚舉法對問題1進行求解，則需要計算 次整體評價 。相比之下，貪婪算法可以將目標函數計算次數降低至 k（2n-k+1）/2 次。然而，由于目標函數計算涉及到矩陣求逆運算，貪婪算法的時間復雜度過高，難以應用于大規模網絡。大規模網絡上的觀點最大化問題求解仍是當前研究的一個重要挑戰。針對問題1，Gionis等[13]基于網絡結構特征設計了啟發式算法，包括節點度，自由度（即未被貪婪算法選擇的鄰居個數）等，并在實際網絡上對這些指標的有效性進行了比較研究。

3.2觀點最大化問題的研究進展

本節將圍繞構節點選擇、增加連接、資源分配和時機選擇等宣傳策略（如圖6所示），介紹觀點最大化問題的研究進展。

3.2.1 節點選擇

在Gionis等[13提出的節點選擇這一經典宣傳策略的基礎上， Xu 等47將其拓展到符號網絡中，即網絡中具有負權重的邊表示個體間的不信任關系，證明了外顯觀點的整體評價最大化問題是一個NP-hard 問題，并設計了多種啟發式算法指標，比較了不同指標在實際網絡中求解的有效性。基于F-J模型（6），Sun和 Zhang[48]研究了如何在網絡中選擇 k 個個體，令其內在信念 s_i=0 ，以最小化網絡上的整體評價。理論上，證明了最優節點選擇為結構中心性[49]與內在信念乘積最大的 k 個個體，其中網絡中節點 i 的結構中心性 ρ_i=1_n^T（?I_n+L）^-1e_i，e_i 為 n 維向量，除第 i 個元素為1外其余均為0。對于大規模網絡上的求解，基于采樣方法，設計了線性時間的快速算法評估個體的結構中心性。Mackin和Patrson[43]和Clark等[45]研究了如何選擇領導者以最大化群體的觀點收斂誤差。此外，Mackin 和Patterson[50]引人了相互競爭的領導者，研究了領導者選擇以最大化網絡中觀點的多樣性。

3.2.2 增加連接

增加連接已被廣泛使用于實際推廣宣傳活動中，例如社交媒體平臺通過將特定信息推送給用戶進行宣傳推廣[51]。基于具有相互競爭領導者的DeGroot 模型（1），人們研究了如何為領導者添加 k 個連邊實現網絡上對討論對象的整體評價最大化[4452-53]，其中領導者保持觀點值為1不變。理論上，已證明目標函數具有單調性和子模性[4，52]，并且優化問題是一個 NP-hard 問題[44]。在求解方面，上述研究側重點不同：Zhao 等[44]設計了基于網絡中心性指標的啟發式算法，并在真實網絡中對比了指標的有效性;Zhou 和 Zhang[52]等提出了一個 （1-1/e- ε）-近似算法，其時間復雜度為 ，其中 εgt;0 為可調參數；進一步地，Zhou等[53]提出了一個亞線性時間算法。此外，Zhao 等[44]假設個體觀點定義域為 [-1，1] ，考慮了支持者總數（即 ））最大化問題，指出該目標函數不具有子模性。

基于F-J模型（6），已有研究考慮了如何向網絡中增加 k 條連邊以最小化網絡極化-分歧指數 I（G）= P（G）+D（G）^[54-57] ，其中極化指數 P（G）=x^*TLx^* ，分歧指數 。具體而言， Zhu 等[54]證明了以極化-分歧指數作為目標函數具有單調性，但不具有子模性，推導了貪婪算法求解問題的近似度，并且設計了時間復雜度為 ）的快速求解算法。Musco等[55]研究了如何設計網絡結構可以最小化網絡極化-分歧指數，理論證明了該問題是一個凸優化問題。Racz 和Rigobon[5]以及Wang 和Kleinberg[5]深人理論分析了加人連邊對網絡極化指數和極化-分歧指數的影響，以及網絡結構對加入連接的影響。

Amelkin和Singhp[58]定義了網絡平均觀點 π^Tx ，其中 π 為行隨機的鄰接矩陣 W 特征值 λ=1 對應的單位左特征向量， x 為群體觀點向量。假設已知網絡受到攻擊，導致群體觀點由 x 變為 ，提出了基于連接推薦的禁止外部影響問題，旨在研究通過在網絡中增加 k 條連接，使得圖的鄰接矩陣變為 ，以最小化修改后的網絡平均觀點與受攻擊前網絡平均觀點的差異，即 。

3.2.3 資源分配

資源分配是影響力營銷的重點，商家通過給網絡中的個體提供資金等資源，勸說其修改內在信念或初始觀點，以最大化整體評價等宣傳目標。基于節點選擇和增加連邊策略的觀點最大化問題通常建模為一個組合優化問題，而資源分配問題的決策變量通常為連續取值，即可以決定對個體的觀點修改程度或提供給個體的資源量。基于符號網絡上的F-J模型（6）， Xu 等[47考慮了如何修改總和為 μ 的個體內在偏見以最大化整體評價，并且提供了最優解的解析形式，與結構中心性相關，可通過貪婪算法求解;Zhou 等[59]考慮如何調整 k 個個體的內在信念以最大化整體評價，提供了時間復雜度為 O（n³） 的最優解計算方法，并設計了快速求解算法。Varma等[]構建了一個博弈框架研究資源分配問題，其中兩個對立的商家（影響者）參與博弈。在群體討論開始前，每個商家對社會網絡中的個體進行一定的投資以改變其初始觀點，隨后個體間進行討論交流，觀點更新過程由連續時間的DeGroot模型描述，討論將持續一段時間，商家以社會網絡中所有個體在某個給定時刻的觀點值總和減去投資成本作為推廣宣傳的收益。Varma等[6研究了商家如何將固定的資源分配給個體以最大化推廣宣傳的收益，證明了博弈問題具有唯一納什均衡，基于KKT條件給出了最優反應策略的解析形式。此外，這個基于博弈框架的資源分配問題進一步被拓展到多輪宣傳中[61-65]，研究了納什均衡的存在性以及解析形式。

本質上，節點選擇、增加連邊和資源分配為網絡中關鍵節點的識別問題。實證研究表明，推廣宣傳的效果還取決于策略實施的時機[66-67]。

3.2.4 時機選擇

時機選擇關注個體在網絡中宣傳時刻對群體觀點演化的影響。基于級聯F-J模型，Wang等[14]提出了社會權力博弈問題，研究了個體如何將有限的固執程度總和分配到每輪討論中，以最大化最終個體的社會權力。研究發現，個體最優反應策略為\"先發優勢\"策略，即在早期階段表現頑固能夠獲得最高的社會權力。Bernardo 等[68]基于關于氣候問題的談判數據驗證了先發優勢策略的有效性。

近期，我們基于DeGroot模型提出了領導者最優時機選擇問題[4]，旨在研究當領導者只能在群體討論中發言k次，如何選擇發言的時刻以最大化網絡上的整體評價，其中領導者觀點保持1不變，普通個體觀點可以視為對領導者觀點的支持程度，且只有當領導者發言（參與群體觀點討論）時，其觀點影響普通個體的觀點。考慮到產品推廣、輿論宣傳等實際宣傳場景通常具有時效性，可能沒有足夠的時間使所有個體觀點達到平衡狀態，因此引入了一個具體的民調時刻 T∈N⁺ ，以該時刻所有個體的平均觀點作為優化目標，即

其中， Γ={{t₁，t₂，…，t_k} 1 0?t₁lt;…k {T?N：|Γ|=k，max_t∈Tt 表示普通個體在 t∈N 時刻的觀點向量。具體宣傳期間的觀點演化過程如下[4]：

考慮普通個體的社會網絡 G（W_N）={V_N，E_N，W_N} ，其中 V_?N={1，2，…，n} 表示普通個體集合。領導者 L 的觀點保持不變，即

x_L（t）=1，?t∈N

由于領導者通常具有顯著影響力[69]，假設當領導者發言時，其觀點可以影響所有個體[4]。具體來說，對于任意時刻 t∈N ，普通個體 i∈V_N 觀點調整過程為

其中，領導者對個體 i∈V_N 的影響 w_iL（t） 滿足：

時機選擇問題描述如下。

問題2（時機選擇[4]）：考慮領導者 L 參與普通個體的群體討論以獲得民眾支持，其中普通個體社會網絡G（W_N）={V_N，E_N，W_N} ，普通個體初始觀點向量為 x_N（0）∈[0，1]ⁿ ，根據DeGroot模型（23）-（25）調整觀點。民意調查在 T∈N⁺ 時刻進行，領導者將討論中發言 k?T 次，目標是確定領導者發言時機 Γ∈Q_timing（k，T） ，以最大化民調時刻的民意 H（T，T，x_N（0）） ），最優時機選擇問題描述為

理論上，我們分析了網絡結構、發言時機以及初始觀點對觀點演化的影響[4]。研究結果顯示，目標函數H（T，T，x_N）（ 0））關于發言時間集合 Γ∈Q_T={0，1，…，T-1} 單調遞增且具有子模性。然而目標函數H（T，T，x_N（0） ）并不是一個關于領導者發言次數 |Γ| 的單調函數，即在某些情況下，領導者在恰當的時機進行干預可能比更多次但時間不恰當的干預得到更好的宣傳效果，即存在 ∣r₁∣lt;∣r₂∣，H（r₁，T，x_N（0））gt; H（T₂，T，x_N（0） ）的情況。這一性質符合傳染病控制研究[70]中早期的干預比后期更長期的干預更有效的結果。此外，我們給出了一個關于網絡結構 G（W_N ）的充要條件，使得領導者發言時間集合 T 不影響宣傳推廣效果。具體而言，對于任意初始觀點 x_N（0）∈[0，1]ⁿ ，任意民調時間 T 和發言次數 k?T ，領導者發言時間 T 不影響民調結果 H（T，T，x_N（0）） 當且僅當 G（W_N） ）是一個規則網絡，即存在 dgt;0 ，使得 D=dI_n 。針對描述社交網絡中意見領袖與其跟隨者影響關系的星型網絡，推導了領導者在星型網絡中的最優干預時機。分析發現，若星型網絡的中心節點（即意見領袖，影響網絡中其余所有個體，但不受其影響）度小于所有非中心個體的度，則領導者在討論開始時進行發言（即 {0，1，…，k-1} ）效果最好;否則，即中心節點度大于所有非中心個體的度，則在民調前進行發言（即 {T-k，…，T-1} ）效果最好。對于時機選擇問題的求解，由于目標函數具有子模性，貪婪算法是一個（1-1/e ）一近似算法。為了進一步降低計算的時間復雜度，我們定義了時間重要性指標，基于此設計了啟發式算法，在實際網絡和生成式隨機網絡中驗證了貪婪算法和啟發式算法的有效性。

此外，Zhao 等[71]將領導者建模為間歇控制方式，提出了領導者間歇式控制不影響最終群體穩態觀點的條件，Shen等[72]將其研究進一步拓展到了符號網絡。

4未來展望

復雜網絡上的觀點動力學分析與干預作為連接網絡科學、控制理論與社會行為科學等的交叉領域，雖已取得豐富的研究成果，但仍面臨模型有效性驗證以及與現實復雜性適配的差距。在人工智能等技術以及社交媒體平臺蓬勃發展的背景下，人們參與社會活動的方式發生了深刻變化，一些值得深入探討的方向包括：

1）共演化模型理論體系深化。當前內隱觀點與外顯觀點共演化研究仍集中于構建模型以重現實際社會現象方面，理論分析大多局限于特定具體的條件假設。內隱觀點與外顯觀點的耦合，以及為描述個體認知偏差等因素對觀點演化影響而引入的非線性項，使得系統的理論分析非常困難。因此，深化共演化模型的動力學系統理論分析方法具有重要的理論價值，還有助于理解輿論演化機理，為信息治理與輿論引導提供理論基礎。

2）基于學習算法的最優策略求解。針對大規模網絡上的觀點最大化問題，如何快速有效地求解最優策略仍面臨很大挑戰。已有一些通過結合學習算法對影響力最大化問題中的種子節點選擇問題的研究，通過圖嵌人、圖神經網絡等方法在小規模網絡上進行訓練，用于大規模網絡節點重要性的預測[73-74]。雖然觀點最大化問題中涉及具體的觀點演化規則，但節點選擇、增加連邊等宣傳策略本質上可轉化為重要節點識別問題。目前結合學習算法的組合優化問題研究已初現潛力[75-76]。

3）結合大語言模型（Large Language Model，LLM）的模型驗證及宣傳策略研究。目前，通過實際數據驗證觀點動力學模型的有效性的研究非常少。仿真實驗也主要基于實際網絡或生成式的隨機網絡，隨機生成或人為設定觀點初始狀態和參數，定性分析觀點研究結果與經典的社會學理論以及實證研究結果是否一致。LLM技術的發展為觀點動力學模型結合實際數據進行研究帶來可能。近期研究已嘗試利用LLM進行觀點演化仿真[7-79]。結合LLM對觀點動力學模型有效性驗證以及社交網絡上推廣宣傳策略研究將是未來的重要研究內容。

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（責任編輯 耿金花）