復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無模型自適應(yīng)牽制控制

中圖分類號：TB13；TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Abstract：For the difficulties modeling and designing proper controllers for complex network control problems，a model free adaptive control based pinning scheme is proposed to control complex network with unknown and nonlinear coupled relationship in this paper. Firstly，a dynamical linearization model is built based on input/output data selected pinning node，then a distributed pinning scheme is proposed under minimum variance estimation criterion. This scheme is a data-driven control method because it is designed only with I/O data pined nodes instead network model. The stability analysis for the synchronization error is based on the reduction theorem，contraction mapping method and virtual control. The simulation results demonstrate that the proposed pinning scheme can drive all nodes in network to synchronization states by only control the pinned nodes in network.

Keywords： complex network; pinning control; model-free adaptive control; kuramoto network

0 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于真實世界中，諸如互聯(lián)網(wǎng)[1]，電力網(wǎng)絡(luò)[2]，社會系統(tǒng)[3]等。同步作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一種普遍現(xiàn)象，自發(fā)現(xiàn)以來已經(jīng)得到了廣泛的研究。然而多數(shù)網(wǎng)絡(luò)無法僅僅依賴于自身節(jié)點之間的相互作用實現(xiàn)同步，因此，針對這些網(wǎng)絡(luò)，需要設(shè)計合適的分布式控制器來驅(qū)使全體節(jié)點達(dá)到同步狀態(tài)。由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)量多，且受限于控制成本，控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點是一種代價高昂且可能是不可實現(xiàn)的控制方案。已有的研究表明，網(wǎng)絡(luò)整體的行為往往受關(guān)鍵少數(shù)節(jié)點支配。因此，文獻(xiàn)[4]提出了牽制控制思想，其主旨是通過控制少數(shù)節(jié)點以實現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。

牽制控制自提出以來已經(jīng)得到了廣泛的研究。通過采用牽制網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)節(jié)點的控制策略，汪小帆等[4完成了對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步控制。李翔等[5]進(jìn)一步提出了“虛擬控制\"這一概念以解釋牽制控制。近年來，有關(guān)牽制控制的研究還進(jìn)一步拓展到了有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)6」，時滯網(wǎng)絡(luò)[等方面，然而，這些研究中使用的控制器均是基于狀態(tài)反饋方法設(shè)計的[8-12]。對于基于模型的網(wǎng)絡(luò)牽制控制方法，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)量眾多，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，因而建模困難。即使系統(tǒng)模型精確已知，但由于模型復(fù)雜，也難以直接使用[13-14]。這些困難阻礙了基于模型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制方法的發(fā)展。

隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的進(jìn)步，系統(tǒng)運行中的大量狀態(tài)數(shù)據(jù)都能被實時采集，這些數(shù)據(jù)中包含著被控對象的全部有用信息[15]，因此，人們提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，該方法僅僅使用數(shù)據(jù)來設(shè)計控制器，避免了基于模型設(shè)計控制器的種種困難[16]。數(shù)據(jù)驅(qū)動的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)調(diào)控方案，是當(dāng)前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制研究的前沿方向之一。文獻(xiàn)[17]提出了基于RBFNN（Radial basis function neural network）的網(wǎng)絡(luò)投影同步控制方案。文獻(xiàn)[18]給出了基于RHONN（Recurrent High-Order Neural Networks）辨識網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的牽制控制方案。這些方法均通過預(yù)先設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過訓(xùn)練在線辨識出節(jié)點動力學(xué)的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)模型來設(shè)計牽制控制器。

一九九四年，侯忠生教授提出了無模型自適應(yīng)控制[15]（Model Free Adaptive Control，MFAC）。該方法通過定義偽偏導(dǎo)數(shù)（Pseudo Partial Derivative，PPD）這一新概念，設(shè)計了一種全新的針對離散時間非線性系統(tǒng)的動態(tài)線性化方法，其控制系統(tǒng)的實現(xiàn)僅僅取決于受控未知非線性系統(tǒng)中在線獲得的輸人輸出（Input/Output，I/O）數(shù)據(jù)，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法。MFAC具有設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單，無需建模，易于部署到實際系統(tǒng)等優(yōu)點，已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。

然而到目前為止，尚未見到基于MFAC方法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制工作?？紤]到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制中存在建模困難、控制器設(shè)計困難等挑戰(zhàn)，本文提出了基于 MFAC 的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制同步控制方案。本文主要貢獻(xiàn)：1）與基于模型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制方案相比，基于MFAC的牽制控制器設(shè)計不需要已知網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)模型，無需辨識網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點動力學(xué)，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的牽制控制方法;2）不同于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制以及已有的數(shù)據(jù)驅(qū)動復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制方法[19]，MFAC作為一種在線運行的控制算法，無需任何預(yù)訓(xùn)練過程，其控制器結(jié)構(gòu)簡單，計算耗時少，因此其實時性好且參數(shù)選取方便;3）誤差收斂性分析中，首先對牽制節(jié)點使用簡約定理處理其受到的耦合效應(yīng)，將牽制節(jié)點轉(zhuǎn)化為單個非線性系統(tǒng)。然后使用壓縮映射方法分析MFAC對牽制節(jié)點的控制誤差收斂性，最后針對不受控節(jié)點的誤差收斂性則采用虛擬控制方法加以證明，從而證明網(wǎng)絡(luò)全體節(jié)點的同步誤差收斂性。

1基礎(chǔ)知識與問題描述

帶有 n 個節(jié)點的受控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以用下述模型描述[20]：

其中， x_i 是第 i 個節(jié)點的狀態(tài)， f：RR 是連續(xù)函數(shù)， f 滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù) ，使得 ?a，b∈R ，有|f（a）-f（b）|?L_f|a-b| 。 cgt;0 是節(jié)點之間的耦合強(qiáng)度， W=（w_ij）_λn×n 是網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣， w_ii=0 。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點i到j(luò)之間存在連接邊時，wi=1，否則wi=0。節(jié)點i的度定義為deg（i）=∑w 。 H 是連續(xù)的非線性函數(shù)，用于表示節(jié)點間的耦合關(guān)系，滿足 H（0）=0 ，且當(dāng) y∈R 時， H（-y）=-H（y） 。 H 滿足Lipschitz條件。（204號 u_i（k） 是控制輸入。當(dāng)控制第 i 個節(jié)點時， δ_i=1 ，否則 δ_i=0 。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)（1）中有 llt;_n 個節(jié)點受控時，將網(wǎng)絡(luò)中受控的 l 個節(jié)點經(jīng)過重新排序，編號變?yōu)榍?ξ_l 個節(jié)點 i=1，…，l 。

牽制控制的目標(biāo)是通過對網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點施加控制，使得網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點均達(dá)到同步狀態(tài)，即：

其中， s（k） 是同步流形，滿足 s（k+1）=f（s（k）） 。目標(biāo) s（k） 可以是孤立運行的節(jié)點，平衡點或者混沌軌道。

2無模型自適應(yīng)控制理論簡介

本節(jié)介紹緊格式動態(tài)線性化（Compact Form Dynamic Linearization，CFDL）方法下的 MFAC控制器設(shè)計過

程?？紤]如下單入單出離散非線性系統(tǒng)：

x_i（k）=g[x_i（k），…，x_i（k-L_x），u_i（k），…，u_i（k-L_u）]

其中， g 為未知的非線性函數(shù)， x_i（k）∈R 與 u_i（k）∈R 對應(yīng)于 k 時刻的系統(tǒng)輸出與輸入。 L_x 和 對應(yīng)于系統(tǒng)輸人與輸出未知階數(shù)。

2.1 動態(tài)線性化

假設(shè)1系統(tǒng)（3）對控制輸入 u_i（k） 的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)2系統(tǒng)（3）滿足廣義Lipschitz條件，即若控制輸人 Δu_i（k） 非零，則有 ∣Δx_i（k+1）∣?b∣Δu_i（k）∣ ，其中 Δx_i （20（20號 （k+1）=x_i（k+1）-x_i（k） 為前后時刻的輸出變化增量，其中 Δu_i（k+1）=u_i（k+1）-u_i（k） 為前后時刻的控制器控制輸入變化量， b 是一個正的常數(shù)。

引理1動態(tài)線性化[15]：未知非線性系統(tǒng)（3）滿足假設(shè)1和假設(shè)2時，當(dāng) 的情況下，時變參數(shù) ?_i（k）∈R 必存在，其被稱為偽偏導(dǎo)數(shù)（pseudo partial derivative，PPD），且使得網(wǎng)絡(luò)受控節(jié)點模型可轉(zhuǎn)化為如下CFDL輸人輸出關(guān)系模型：

Δx_i（k+1）=?_i（k）Δu_i（k）

其中， ?_i（k） 為一個有界時變參數(shù)，滿足 ∣?_i（k）∣?b 。

注1緊格式動態(tài)線性化方法反映的是數(shù)據(jù)輸入與輸出增量之間的實時動態(tài)關(guān)系，是對未知非線性系統(tǒng)的一個精確表達(dá)。建立該動態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型的目的是為了用于設(shè)計控制器。對于傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)線性化方法，例如泰勒展開等，要求受控系統(tǒng)的模型精確已知，其省略了高階項的線性化后的表述是一種近似的線性化關(guān)系?；跀M合模型的線性化方法，例如正交逼近或神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)逼近則需要考慮設(shè)計復(fù)雜的基函數(shù)或構(gòu)建復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這使得需要調(diào)節(jié)的參數(shù)數(shù)量龐大，控制器設(shè)計困難。此外，在控制器設(shè)計時，假設(shè)1是對受控一般非線性系統(tǒng)的常見約束條件[15]。假設(shè)2限制了被控系統(tǒng)輸出輸入之間數(shù)量關(guān)系變化率的幅值，許多現(xiàn)實中的物理系統(tǒng)滿足該條件[21-25]。

2.2牽制控制算法設(shè)計

考慮下述控制輸人指標(biāo)函數(shù)：

J[u_i（k）]=∣x_i^*（k+1）-x_i（k+1）∣²+λ_i∣u_i（k）-u_i（k-1）∣²

其中， λgt;0 為權(quán)重因子，期望軌線為 x_i^*（k+1）=s（k+1） 。

將式（4）帶人指標(biāo)函數(shù)（5）中，對 u_i（k） 求導(dǎo)，可得控制輸人求解算法[15]：

其中， ρ_i∈（0，1] 的加入是為了使算法具有一般性。

式（5）中的未知偽偏導(dǎo)數(shù) ?_i（k） ，使用如下指標(biāo)函數(shù)估計其值 ?_i（k） ：

其中， μ_i 同樣為可調(diào)權(quán)重因子。類似地，將式（7）對 ?_i（k） 求極值，所得到的PPD估計迭代算法：

其中， η_i∈（0，1] 是使得估計算法更具有一般性的步長因子。

綜合控制算法（6）和（8），可得到對離散時間情形下單入單出（single input single output，SISO）的非線性系統(tǒng)的CFDL-MFAC牽制控制方案：

?_i（k）=?_i（1） ，當(dāng) |?_i（k）|?? 或 sign（?_i（k））≠sign（?_i（1）） 時

其中，式（11）是重置算法，其作用為保證參數(shù)估計算法能夠保障穩(wěn)定性收斂性要求。 i=1，…，l 為網(wǎng)絡(luò)中施加控

制的l個節(jié)點?？刂品桨钢袪恐瓶刂乒?jié)點的選取與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、節(jié)點自身的動力學(xué)、以及節(jié)點相互之間的耦合關(guān)系有關(guān)。因此，針對不同網(wǎng)絡(luò)，其牽制節(jié)點選取方法也不盡相同。常見的牽制節(jié)點選取策略包括最大度節(jié)點選取[4]，控制節(jié)點排序方法等[26-27]。

為了對牽制控制的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，此處首先介紹簡約定理。引人該引理的目的是對受控節(jié)點的耦合效應(yīng)進(jìn)行等效處理：

引理2簡約定理[20]：若復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）滿足如下兩個條件：1）節(jié)點動力學(xué)的統(tǒng)計學(xué)行為（狀態(tài)的頻率分布）保持不變。2）網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點應(yīng)當(dāng)是相互連通的。則網(wǎng)絡(luò)（1）中受控節(jié)點的耦合作用項 H 之和滿足如下關(guān)系[20]：

其中， 為節(jié)點 i 的人度， α 是耦合關(guān)系函數(shù) H 的系數(shù)， 是單個節(jié)點動力學(xué)的物理測度。

V 是式中積分項的原函數(shù)，用于表示節(jié) i 點受到鄰居節(jié)點的總等效耦合效應(yīng)。 C 為積分常數(shù)。

式（12）表示了節(jié)點 i 受到的與其它節(jié)點的累計交互效應(yīng)，因此（1）中的受控節(jié)點可等效為如下形式[20]：

其中， F 是將式（13）看作非線性函數(shù)時的等價表示函數(shù)。

注2簡約定理的引入是進(jìn)行牽制控制穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵。對于條件1），若網(wǎng)絡(luò)中的耦合是弱耦合[20]，則能夠有效保證節(jié)點的狀態(tài)分布能夠不因節(jié)點間相互作用或者外部噪聲發(fā)生改變。對于條件2），諸如無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，均能滿足其對節(jié)點連接關(guān)系的要求。由于（1）是（14）的特例，因此當(dāng)式（14）滿足假設(shè)2時，（1）中的函數(shù)f 以及耦合關(guān)系函數(shù) H 必然要滿足Lipschitz條件，否則假設(shè)2不成立。

引理3向量基本不等式[21]：設(shè) ，則有

X^TPX?r_PX^TX

其中， P 為 n 階實對稱矩陣， r_P 為 P 的譜半徑。

假設(shè)3假設(shè)牽制節(jié)點等效動力學(xué)（14）是能控的，即存在有界輸入信號 u_i^* （k）∈R ，使得（14）能被該輸人信號控制收斂到有界的期望輸出。

假設(shè)4當(dāng)牽制節(jié)點對應(yīng)的系統(tǒng)控制輸入 u_i（k）≠0 時（其中時刻 k 是任意的），取一個小正數(shù) ε ，則應(yīng)滿足 ?_i（k）gt; ε 或者 ?_i（k）lt;-εlt;0 ，即牽制節(jié)點對應(yīng)動態(tài)線性化模型中的偽偏導(dǎo)數(shù)的符號保持不變。

注3假設(shè)3是控制器可解出且能工作的一個必要條件，即要求對于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點，其是輸出能控的。假設(shè)4與基于模型的控制算法例如自適應(yīng)控制中對控制方向已知的假設(shè)類似[28-29]。

3穩(wěn)定性分析

MFAC牽制控制方案的同步誤差收斂性證明過程分為兩部分，首先基于非線性系統(tǒng)（14），證明其在MFAC控制下的誤差收斂，然后證明在受控節(jié)點誤差收斂后，網(wǎng)絡(luò)中其余不受控節(jié)點也能同步到期望值。

定理1對滿足簡約定理中條件1）、2）的網(wǎng)絡(luò)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（14）滿足假設(shè)1－4，應(yīng)用CFDL-MFAC控制方案（10-12），則存在正數(shù) ，當(dāng) λ_igt;λ_i（min） 時，有

1）與受控節(jié)點相對應(yīng)非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差滿足單調(diào)收斂，且 。

2）閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出序列 u_i（k），x_i（k） 是有界的（BoundedInputBoundedOutput，BIBO）。

證明：請參考文獻(xiàn)[15]或[22]。

由定理1，知 ξ_l 個受控節(jié)點可通過 MFAC牽制到控制目標(biāo)，此時網(wǎng)絡(luò)（1）轉(zhuǎn)換為如下形式[5]：

x_i（k+1）=s（k+1），i=1，2，…，l

此時，可將牽制節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)中其它節(jié)點的耦合作用看作虛擬控制器[5]，并可定義虛擬控制輸人為 （204號 [s（k）-x_i（k）] ，其中 ，因此全體不受控節(jié)點可組成網(wǎng)絡(luò)（16），且其受到虛擬控制器的作用。

記節(jié)點 i（i=l+1，…，n） 的同步誤差為 e_i（k）=x_i（k）-s（k） ，記網(wǎng)絡(luò)中全體非受控節(jié)點誤差向量為e（k）=[e_l+1（k），…，e_n（k）] 。將式（16）兩側(cè)分別減去 s（k+1）=f[s（k）] 的兩邊，可得到式子：

其中， 0

由于網(wǎng)絡(luò)耦合函數(shù) H 滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù) L_h ，使得 ?a，b∈R 滿足

∣H（a）-H（b）∣h∣a-b∣

利用微分中值定理有

其中， h_ij（k）∈R 表示 i，j 節(jié)點之間的等效耦合效應(yīng)系數(shù)，且有界。

利用式（19），（17）可轉(zhuǎn)換為如下形式：

定義矩陣：

定義 所有特征值絕對值的最大值為 β 。

全體未受牽制控制的節(jié)點的誤差可改寫為

其中，

定理2對于全體不受控節(jié)點組成的網(wǎng)絡(luò)（16），當(dāng) （1+c）L_f²+（c+c²）β²lt;1 時，其節(jié)點均能夠在虛擬控制器的作用下同步到期望值。

證明：選取Lyapunov函數(shù)為 V（k）=e^T（k）e^（k） ，并對其作差分：

由引理（3），式（22）轉(zhuǎn)換為

當(dāng) （1+c）L_f²+（c+c²）β²lt;1 時， ΔV（k+1）lt;0 ，由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，當(dāng) 時， e（k）-0 ，此時全體非受控節(jié)點也被牽制同步到期望值。

4仿真分析

為驗證提出的MFAC牽制控制策略的有效性，本節(jié)中考慮受控網(wǎng)絡(luò)不同，期望為時變和非時變軌道的情形，并與狀態(tài)反饋牽制控制方法[5]進(jìn)行比較。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）中，狀態(tài)反饋牽制控制的控制器設(shè)計如下：

u_i（k）=K_i[s（k）-x_i（k）]

其中， K_i 是牽制節(jié)點 i 的反饋增益，在仿真實驗中，狀態(tài)反饋增益按照[30]中方法選取。

例1kuramoto 網(wǎng)絡(luò)是一種廣泛存在于現(xiàn)實世界中的帶有非線性耦合的網(wǎng)絡(luò)模型，例如電網(wǎng)和許多物理系統(tǒng)均可由其表示[31]。網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點為互相耦合的振蕩子，且節(jié)點具有如下形式：

其中， θ_i（t） 是振子 i 的相位， ω_i 是振子的固有角頻率，單位為rad/s。 c 為耦合強(qiáng)度， a_ij 是網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣 A 中的元素。需要注意的是，對MFAC方法，該系統(tǒng)模型僅僅用來生成 I/O 數(shù)據(jù)而不是用來設(shè)計控制器。

耦合強(qiáng)度為 。對網(wǎng)絡(luò)模型采用前向歐拉方法進(jìn)行離散化，離散步長為 T=0. 05s 。仿真分為如下3種情形：情形1，考慮帶有10個節(jié)點的環(huán)形kuramoto網(wǎng)絡(luò)，研究期望軌道為非時變和時變的情形，并與狀態(tài)反饋牽制控制方案進(jìn)行對比；情形2，在情形1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究MFAC對時變期望軌跡的跟蹤控制能力；情形3，使用MFAC對具有無標(biāo)度結(jié)構(gòu)的kuramoto網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行扌情形1考慮帶有如圖1所示的環(huán)形結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，牽制控制的目標(biāo)為使全體節(jié)點達(dá)到期望軌線 s（k）=π 各節(jié)點初始狀態(tài)分布于 [0，2π] 。在網(wǎng)絡(luò)中選取節(jié)點1作為牽制控制節(jié)點，MFAC控制器參數(shù)為 μ₁=20，ρ₁=1，λ₁=30 ?_i（0）=23 。狀態(tài)反饋方法反饋增益為 K₁=30 。仿真結(jié)果如圖2。從圖1中可以看出，在MFAC牽制控制下，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點均同步到了期望軌線 s（k）=π 。且同步所需時間與狀態(tài)反饋方法相近。

情形2考慮時變期望軌跡 。各節(jié)點初始狀態(tài)分布于 [0，2π] 。選取1，5，10號節(jié)點作為牽制節(jié)點，MFAC控制器參數(shù)選取為 η_i=1，μ_i=12，ρ_i=1，λ_i=21，?_i（0）=23，i=1，5，10 。仿真結(jié)果如圖4所示，可見MFAC能有效牽制網(wǎng)絡(luò)同步到時變的期望軌線。

情形3本例進(jìn)一步考慮帶有無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[32的kuramoto 網(wǎng)絡(luò)。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型可通過如下過程生成：網(wǎng)絡(luò)中最初確定有 m₀ 個節(jié)點，后續(xù)逐步向網(wǎng)絡(luò)中每次添加一個新節(jié)點，新加入的節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中的已有舊節(jié)點產(chǎn)生m（mlt;_m0 ）條連接邊，新連邊與網(wǎng)絡(luò)中所有舊節(jié)點同時地依照概率 p 連接，其中 Σ_P 與網(wǎng)絡(luò)中舊節(jié)點的度成正比，最終生成帶有 N 個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)。由無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成過程可知，網(wǎng)絡(luò)中僅有少數(shù)節(jié)點具有較大的度，大多數(shù)節(jié)點的度較小。大量研究表明，電網(wǎng)、社會、金融等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)從連接結(jié)構(gòu)上看，均屬于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[33]。本仿真的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中 m₀=3，m=1 ，總節(jié)點數(shù) N=100 。針對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布特點，為了使用較少的節(jié)點對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行控制，牽制節(jié)點選取策略采取牽制度較大節(jié)點的方法[5]。對網(wǎng)絡(luò)中度較大的前25個節(jié)點（ 25% ）節(jié)點加以控制?？刂颇繕?biāo)為使全體節(jié)點被牽制到期望軌道 s（k）=π 。網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點初始狀態(tài)分布于 [0，2π] 區(qū)間上。MFAC控制器參數(shù)為 η_i=1，μ_i=30，ρ_i=1，λ_i=21 ，仿真結(jié)果如圖5?？梢妼o標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，MFAC牽制控制方法能牽制全體節(jié)點同步到期望軌道。

例2考慮構(gòu)造如下帶有余數(shù)型復(fù)雜時變動力學(xué)的離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)：

其中， 是對 k 整除 n 后取余函數(shù)，耦合強(qiáng)度 c=0.4 。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為如圖1所示環(huán)形結(jié)構(gòu)，期望軌線為（204號 s（k）=1.57 。牽制節(jié)點為 3，5，7，9，10 。各節(jié)點初始值分布于[O-7]區(qū)間內(nèi)。MFAC控制器參數(shù)為 η_i=1，μ_i= 30，ρ_i=1，λ_i=21，?_i（0）=67，（i=3，5，7，9，10） 。狀態(tài)反饋增益為 K_i=0.5 。MFAC、狀態(tài)反饋方法仿真結(jié)果分別如圖6，7。對比可見對于帶有復(fù)雜時變動力學(xué)的網(wǎng)絡(luò)（26），MFAC由于在線估計了網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)，因此其控制效果要優(yōu)于狀態(tài)反饋方法。

5 結(jié)論

本文針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制問題，設(shè)計了基于MFAC的牽制控制方案。該方案僅利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的I/O數(shù)據(jù)即可實現(xiàn)其牽制控制，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，相比較于基于模型的控制方法，它不需要建立被控對象的數(shù)學(xué)模型，其控制效果不受未建模動力學(xué)的影響。且控制方案是分布式的，控制算法中單一控制器僅有一個需要在線整定的參數(shù)，計算能力要求低，易于部署。仿真數(shù)例驗證了MFAC方法可實現(xiàn)對不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制。未來工作將會進(jìn)一步推廣到設(shè)計基于偏格式動態(tài)線性化（PFDL）以及全格式動態(tài)線性化（FFDL）數(shù)據(jù)模型的MFAC牽制控制方法。

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