新高考視域下高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思維培養(yǎng)策略

高中數(shù)學(xué)知識抽象、復(fù)雜且涉獵頗多，對學(xué)生思維、素養(yǎng)與能力的要求較高。對此，高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)應(yīng)從知識灌輸轉(zhuǎn)為素養(yǎng)本位，通過激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)并運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)難題。數(shù)形結(jié)合思維既是重要的數(shù)學(xué)思維，也是常見的解題方法。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引進(jìn)情境教學(xué)法、項目式學(xué)習(xí)法并且善用經(jīng)典題型，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維及應(yīng)用能力，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

一、數(shù)形結(jié)合思維概述

（一）數(shù)形結(jié)合思維的內(nèi)涵

中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)與形既是事物兩個方面的屬性，也是數(shù)學(xué)界最古老且基本的研究對象，若滿足“隱函數(shù)定理等數(shù)學(xué)定理支持”等條件則可相互轉(zhuǎn)化。數(shù)與形之間存在緊密聯(lián)系，此種聯(lián)系即稱為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合，是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種解題手段，廣泛應(yīng)用于集合、線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域，能憑借以形助數(shù)等方式幫助研究者或?qū)W生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、精準(zhǔn)捕捉數(shù)學(xué)問題要點并且探尋有效的解決方法[1]。

數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)是較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想與方法，指的是基于數(shù)學(xué)問題開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，確定問題所包含的數(shù)量關(guān)系并且利用幾何圖形表示此種關(guān)系、明確相應(yīng)概念性質(zhì)等，最終解決數(shù)學(xué)問題。

（二）新高考視域下的數(shù)形結(jié)合思維

隨著我國綜合國力持續(xù)提升與社會經(jīng)濟快速發(fā)展，我國基于教育體制現(xiàn)存問題與愈發(fā)強烈的社會人才需求而推進(jìn)高考改革，新高考更有利于選拔優(yōu)秀人才，其重點考查學(xué)生的獨立思考與問題解決能力等，有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)、綜合素質(zhì)、創(chuàng)新能力等。據(jù)教育部教育考試院對2024年高考數(shù)學(xué)全國卷試題的評析可知，教育部教育考試院以《深化新時代教育評價改革總體方案》為指導(dǎo)創(chuàng)新設(shè)計高考數(shù)學(xué)試卷，其具體體現(xiàn)為如下方面：減少全卷題量，為學(xué)生留出更多思考時間；突破常規(guī)模式，創(chuàng)設(shè)全新試卷結(jié)果；突出整體設(shè)計，注重思維考查等[2]。隨著我國持續(xù)推進(jìn)新高考，高考數(shù)學(xué)試卷加大了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查力度，旨在通過創(chuàng)設(shè)全新的試題情境、創(chuàng)新試題設(shè)問方式等，讓學(xué)生在獨立數(shù)學(xué)探索過程中形成高階數(shù)學(xué)思維，具備綜合運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。高考數(shù)學(xué)試題中的函數(shù)與方程題型、解析幾何題型等均蘊藏著數(shù)形結(jié)合思維，要求學(xué)生具備將代數(shù)條件轉(zhuǎn)為幾何直觀、實際問題建模等能力。與此同時，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）（以下簡稱新課標(biāo)）也強調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的重要性，一方面將其納入到“直觀想象”這一核心素養(yǎng)中，提出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力。”另一方面將其納入到學(xué)業(yè)質(zhì)量水平中，用于評估各階段數(shù)學(xué)教師教學(xué)及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，例如，水平一階段學(xué)生需“能夠用圖形描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數(shù)形結(jié)合”。

綜上可知，數(shù)形結(jié)合思維貫穿于高考數(shù)學(xué)重要題型并且屬于新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，符合新高考發(fā)展趨勢及“以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”“培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力”等要求。

二、新高考視域下高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)價值

（一）新課標(biāo)視域下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

近年來，我國積極推進(jìn)新課標(biāo)與新課改，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)與考試的重點，符合我國基礎(chǔ)教育改革與素質(zhì)教育要求，能培養(yǎng)出德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。同時據(jù)上文可知，新課標(biāo)中的“直觀想象”核心素養(yǎng)包含數(shù)形結(jié)合思維，并且提出學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維培養(yǎng)諸多要求。對此，高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，幫助學(xué)生運用抽象與邏輯推理等數(shù)學(xué)思維構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系，推動“立德樹人”理念深度落實。

（二）適應(yīng)新高考對學(xué)生思維品質(zhì)與應(yīng)用能力考查的要求

2024年，我國推進(jìn)第四批改革省份新高考落地，其以習(xí)近平總書記關(guān)于教育的重要論述為指導(dǎo)，遵循《深化新時代教育評價改革總體方案》不斷提高試題質(zhì)量與創(chuàng)新試題形式，持續(xù)深化基礎(chǔ)性考查與拓展綜合性考查，重點考查學(xué)生的思維品質(zhì)與助力學(xué)生素養(yǎng)提升。例如，2024年新課標(biāo)I卷第12題主要考查雙曲線定義、函數(shù)和方程思想等，學(xué)生運用基礎(chǔ)知識進(jìn)行邏輯推理即可算出答案，重點考查學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。由此可知，高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維符合新高考對學(xué)生思維品質(zhì)與應(yīng)用能力考查的要求，能增強學(xué)生對高考數(shù)學(xué)的適應(yīng)力[3]。

（三）以先進(jìn)思想方法提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是先進(jìn)且重要的數(shù)學(xué)思想與解題方法，數(shù)與形結(jié)合承載著數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)知識。當(dāng)前，數(shù)形結(jié)合思維貫穿于高中數(shù)學(xué)體系，如函數(shù)、解析幾何等，能指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)與學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一方面，高中數(shù)學(xué)教師引進(jìn)數(shù)形結(jié)合思維能幫助學(xué)生建立抽象的數(shù)與具體的形之間的聯(lián)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”提供具象理解，為學(xué)生學(xué)習(xí)“形”提供嚴(yán)謹(jǐn)支撐，降低高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度；另一方面，高中數(shù)學(xué)教師引進(jìn)數(shù)形結(jié)合思維能幫助學(xué)生建立更直觀的解題思路與簡潔的解題方式。例如，針對“函數(shù) f（x）=∣x²-5x+6∣-k 的圖像與解的個數(shù)分析”一題，傳統(tǒng)的代數(shù)解法步驟煩瑣，學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思維繪制 y=x²-5x+6 的拋物線，分析水平直線 y=k 的交點就能確定答案。

三、新高考視域下高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)策略一一以三角函數(shù)為例

新高考視域下，高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維既符合高考數(shù)學(xué)改革要求，也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為增強研究的有效性與可行性，下面以“三角函數(shù)”為例詳細(xì)說明。“三角函數(shù)”在高中數(shù)學(xué)體系中占據(jù)重要地位，貫穿于代數(shù)、幾何等知識領(lǐng)域，包含正弦與余弦等基本概念、誘導(dǎo)公式、解三角形等知識，在高考數(shù)學(xué)試卷中占比約 10%-15% “三角函數(shù)”中蘊含數(shù)形結(jié)合思維，同時數(shù)形結(jié)合思維又能指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念，并且將其同實際圖形相關(guān)聯(lián)，以此激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識夯實基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思維培養(yǎng)策略具體如下所示：

（一）創(chuàng)設(shè)趣味情境，激活數(shù)學(xué)思維

新課標(biāo)提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。”同時高考數(shù)學(xué)注重創(chuàng)設(shè)新穎的情境，加強數(shù)學(xué)試題與學(xué)生生活的聯(lián)系，幫助學(xué)生從多角度、多維度思考問題與運用知識。對此，高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維時應(yīng)創(chuàng)設(shè)開放性、趣味性情境，讓學(xué)生能結(jié)合生活原型與利用自身知識經(jīng)驗思考數(shù)學(xué)知識，探究數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生以更直觀、具象的方式建立數(shù)學(xué)知識體系，激發(fā)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維[4]。

1.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境，初步體會數(shù)形結(jié)合思維

數(shù)學(xué)發(fā)展歷史悠久且成果豐富，具有獨特的育人價值，能通過帶領(lǐng)學(xué)生探尋歷史脈絡(luò)而感受數(shù)學(xué)的魅力、帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)故事打破數(shù)學(xué)枯燥的刻板印象。高中數(shù)學(xué)教師開展“三角函數(shù)的概念”教學(xué)活動初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維時，可引進(jìn)數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)生動、立體的文化情境，激發(fā)學(xué)生的情感共鳴與降低學(xué)生的認(rèn)知難度。

例如，三角函數(shù)源自于天文學(xué)，課前，教師先展示托勒密《天文學(xué)大成》中的弦表，比較此弦表與現(xiàn)代數(shù)學(xué)所用三角函數(shù)表，為學(xué)生講述托勒密運用幾何方法推導(dǎo)弦表的故事與價值。高中數(shù)學(xué)教師借助數(shù)學(xué)故事滲透三角函數(shù)的起源、正弦與余弦等知識，既能促進(jìn)學(xué)生理解三角函數(shù)的基本概念與基礎(chǔ)知識，也能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合的重要性，通過分析托勒密推導(dǎo)過程逐步體驗數(shù)形結(jié)合思維。

2.創(chuàng)設(shè)趣味問題情境，激活數(shù)形結(jié)合思維

高中生自主意識、探究欲望增強，同時渴望獲得他人的認(rèn)可。對此，高中數(shù)學(xué)教師開展“三角函數(shù)的概念”教學(xué)活動初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維時，采取問題驅(qū)動教學(xué)法，利用環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)問題來引導(dǎo)學(xué)生從多角度、維度思考問題，在具象且具有梯度的問題情境中激發(fā)數(shù)形結(jié)合思維，并且掌握關(guān)鍵概念、重要知識。

例如，為了促進(jìn)學(xué)生深度理解三角函數(shù)的概念，教師可展示單位圓弧度制圖片，借助直角坐標(biāo)系研究三角函數(shù)的概念：將 a 設(shè)為任意角，其終邊與圓交點是 p 。由此可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)。待學(xué)生了解三角函數(shù)的概念及核心知識后，教師可反設(shè)問題：請以 p 點為起點，圍繞 a 點做逆時針旋轉(zhuǎn)運動，你能建立什么數(shù)學(xué)模型？如何描述p 點位置改變情況？高中數(shù)學(xué)教師可借助幾何圖形幫助學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，同時將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體問題，讓學(xué)生通過分析與解答問題進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)概念。

（二）營造探究氛圍，鼓勵自主探究

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師以項目為載體設(shè)計多種任務(wù)，為學(xué)生提供自主探究與合作學(xué)習(xí)的機會，營造積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)氛圍，既能促進(jìn)學(xué)生深度溝通與思維碰撞，也能讓學(xué)生在實踐探索過程中形成數(shù)形結(jié)合思維及知識遷移能力。其間，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)抓住高中生的思維與能力特征，認(rèn)識到高中生抽象思維趨于成熟、邏輯能力增強與辯證思維萌發(fā)，但是受學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)影響，學(xué)生存在符號理解障礙、空間想象力薄弱、知識遷移困難等問題。對此，高中數(shù)學(xué)教師可鏈接現(xiàn)實生活，設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)項目及任務(wù)活動，讓學(xué)生在觀察幾何圖形、數(shù)與形的關(guān)系過程中自然而然地形成數(shù)形結(jié)合思維，掌握以形輔數(shù)、以數(shù)輔形的思維方法[5]。

例如，針對“三角函數(shù)的性質(zhì)”一課，數(shù)學(xué)教師可設(shè)計“三角函數(shù)的圖形密碼”這一主題項目，旨在讓學(xué)生通過幾何直觀掌握三角函數(shù)周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，能認(rèn)識到三角函數(shù)的現(xiàn)實價值，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維及能力。

任務(wù)1：學(xué)生運用圓規(guī)繪制不同角度的單位圓的終邊并且測量其坐標(biāo)，繪制后，學(xué)生需制作三角函數(shù)表格：按照正弦、余弦、正切的順序填寫定義，按照sin α 、 cosα 、tan α 的順序填寫弧度制下的定義域。

任務(wù)2：觀察教師提供的三組圖片，小組合作探究“結(jié)合所學(xué)知識，觀察 α 終邊和單位圓相交的象限，你認(rèn)為三組函數(shù)數(shù)值符號蘊含什么規(guī)律”。

任務(wù)3：請求證教師所提供的角 θ 是第三象限角的充要條件，解釋何為充要條件并且用圖像展示答案。

（三）抓住經(jīng)典題型，推動深度思考

新課標(biāo)強調(diào)數(shù)學(xué)實踐的重要性，提出“學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗”等要求。對此，高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維時不能僅限于理論知識學(xué)習(xí)，應(yīng)借助“解題”檢驗學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維水平及現(xiàn)存不足，強化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用意識與能力。同時，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思維分屬于不同知識模塊，既需要學(xué)生主動學(xué)習(xí)與探究，也需要學(xué)生歸納總結(jié)題型及解題思路等，建立個性化知識網(wǎng)絡(luò)并且懂得舉一反三、融會貫通。

高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)分析高考數(shù)學(xué)出卷思路與高頻考點，引進(jìn)經(jīng)典題型推動學(xué)生深度思考并且熟練運用數(shù)形結(jié)合思維。例如，正弦定理和余弦定理解三角形問題與三角恒等變換綜合應(yīng)用解題的考查頻率較高，教師先出示2023年新高考Ⅰ卷第15題：

已知函數(shù) f（x）=coswx-1（wgt;0） 在區(qū)間 [0，2π] 有且僅有3個零點，則 w 的取值范圍是 。

教師先要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識解題，針對學(xué)生忽視邊界條件與函數(shù)圖像周期性行為的純代數(shù)思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，將cos ws=1 轉(zhuǎn)變?yōu)?y=cosws 和直線 y=1 的交點并且畫出標(biāo)準(zhǔn)圖像，以更簡單且直觀的方式解題。其間，教師指導(dǎo)學(xué)生繪制余弦函數(shù)圖像，幫助學(xué)生通過觀察圖像確定零點分布等要點。

結(jié)束語

新高考背景下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，基于學(xué)生的學(xué)情采取多樣化教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究與合作探索，讓學(xué)生借助趣味情境以更直觀、立體的方式學(xué)習(xí)知識與形成數(shù)形結(jié)合思維，通過實踐探索促進(jìn)思維發(fā)展，讓學(xué)生能理解抽象的數(shù)學(xué)概念并且找到解題關(guān)鍵，促進(jìn)學(xué)生全面、綜合發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

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