高中數學建模教學的實踐與探索

數學建模是高中數學課程的重要內容之一，是數學聯系現實世界的重要橋梁。通過數學建模教學，在培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養的同時，使學生將實際問題轉化為數學問題，運用數學知識和方法加以解決。然而，在實際教學中，數學建模教學往往面臨諸多挑戰，如教學時間緊張、學生建模能力不足、教學資源匱乏等。因此，對提高高中數學教學質量，探索行之有效的數學建模教學實踐方法，具有十分重要的意義。現行高中數學課程標準著重強調情境化教學的重要性，要求教師引導學生在實際問題解決中發展數學抽象與模型建構能力。勻速圓周運動作為經典物理現象，其運動規律與三角函數模型存在本質關聯一一這種周期性特征顯著的研究對象，為培養學生數學建模思維提供了絕佳載體。在教授人教版必修第一冊“勻速圓周運動的數學模型”專題時發現，傳統講授式教學難以讓學生深度理解三角函數模型的物理意義，這促使我們重新設計融合多維度支持策略的教學方案。

一、理論基礎

數學建模是指運用數學方法和工具對模型加以解決、分析，進而通過將現實問題抽象化、簡化，從而建立數學模型，進而解決實際問題的過程。將現實問題轉化為數學問題，把現實問題通過數學的語言和工具加以描述，并加以解決，這是數學建模的核心思想。數學建模的過程通常包括以下幾個步驟：提出問題、假定模型、構建模型、求解模型、分析驗證結果。在高中數學教學中，數學建模教學在注重構建模型、解決模型的同時，注重培養學生的問題意識、模型思想和應用意識，使學生在數學知識與實際問題相結合的同時，提高數學素養，提高學生的綜合能力，是數學建模教學的頭等大事。

依據陳琦等學者提出的情境認知理論，真實情境的具象化呈現能有效激活學習動機[]。本節課選取古代農業灌溉筒車與現代觀景摩天輪作為對比案例，通過可視化技術，借助三維動畫模擬筒車、水斗運動軌跡，將角速這一抽象概念轉化為動態圖像。這種教學設計不僅增強了學生的具身體驗，更在古今技術對比中深化了數學模型的普適性認知。本教學設計以《農政全書》記載的傳統灌溉裝置為研究對象，通過課本圖示與三維動畫演示相結合的方式，將筒車運作機理具象化。在教學實踐中，我們特別設置核心問題“盛水筒的高度隨時間如何規律性變化”，以此引發學生對周期性現象的數學建模思考。這種基于古代科技遺產的教學設計，既實現了數學原理與工程實踐的有機統一，又在知識傳授過程中自然滲透了中華傳統科技智慧。

李峰教授關于數學史教育價值的研究成果在理論上支持了本課例[2]。研究數據顯示，當課堂教學中融入文化遺產元素時，學生的概念理解深度可提升 23% ，這一發現與我們在筒車教學實踐中觀察到的認知規律高度吻合。通過建立直角坐標系，將筒車中心設定為原點，我們引導學生逐步完成從物理量提取到數學模型建構的思維跨越。具體地說，首先需要對影響高度的關鍵參數進行識別：旋轉半徑、角速度、初始相位；然后通過質點運動分析，推導函數關系式樣，其高度隨時間的變化而變化。

二、教學設計分析

（一）教學目標

本節課教學目標明確，既注重知識技能的訓練，又強調過程方法的塑造和情感態度的塑造。學生通過體驗勻速圓周運動的數學建模過程，了解函數 y=Asin（ωx+φ） 的現實背景，進一步體會三角函數與現實世界的緊密聯系，這與讓學生在實際情境中了解數學知識應用價值的數學建模教學初衷是一致的。同時，依托于現實情境學生的數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養得以發展，有助于學生形成良好的數學思維品質和綜合素養。

（二）教學重難點

在課程設計中，我們把構建勻速圓周運動的數學模型作為教學的重點，著重通過函數 y=Asin（ωx+φ） 模型引導學生揭示周期性運動的本質規律。通過探究勻速圓周運動的數學模型，學生不僅能理解勻速圓周運動的數學模型，同時還可以用三角函數模型探究現實世界周期現象。同時，在本課的教學難點上，著重培養學生的數學抽象能力，即怎樣將旋轉輪上的質點運動轉化為三角函數模型。基于此，我們設計了以問題鏈和實物模型演示探究旋轉運動與三角函數相位角對應關系的教學問題鏈，使學生在從具體運動觀察到抽象數學表達的思維躍遷過程中，培養了其變量識別、關系轉化等核心能力，將抽象的相位角轉化為幾何關系，使學生有效降低了旋轉運動與三角函數相位角對應關系的認知負荷。

（三）教學過程

以單位圓上點的運動規律引入，回顧已學知識，提出問題：如何刻畫一般的勻速圓周運動？通過特殊與一般的對照，進一步展開探究式學習與取舍，從而激發學生的興趣。這種導入方式既復習了已學知識，又為新知識的學習奠定了基礎，使學生明確本節課的學習目標和方向，為后續的教學活動做好鋪墊。

以傳統農具筒車為現實背景，通過真實情境激發學生探究如何用函數模型描述盛水筒高度隨時間變化的規律。教師在教學實施過程中，采取啟發式策略，引導學生展開自主探索：初期組織小組討論，鼓勵學生闡述建模思路，相互質疑完善，有效提升數學語言表達能力；逐步引導學生在角速度和時間之間建立函數關系，如在關鍵認知節點上設置遞進式問題鏈，如“圓周運動怎樣轉化為數學分析對象”，“哪種物理量有相關性”等；當抽象過程遇到瓶頸時，教師將三維空間運動通過參數化處理簡化為二維數學模型，極端坐標系的建立方法適時引入。這種分層遞進的教學設計既保留了學生建模活動的主體性，又通過關鍵點的引導確保了探究方向，使學生在坐標系選擇、變量轉換、參數確定等建模環節中，系統性地發展幾何抽象能力、變量關系推理能力以及數學模型構建能力。

為檢驗學習成效，我們設計了知識遷移訓練模塊—一摩天輪高度建模問題，拓展訓練要求學生運用筒車案例中掌握的建模方法，解決旋轉觀光設施的數學建模問題，并在這些模型中進行綜合運用。教學對話聚焦核心矛盾：“正弦函數為何能描述摩天輪艙室運動規律？”通過類比推理，學生需要自主完成從傳統農具到現代游藝設施的數學模型轉化，這種跨時空的思維訓練顯著提升了學生的數學建模能力。

課程總結環節，特別針對知識結構構建設計了策略。教師通過GeoGebra動態演示，引導學生“實際問題抽象一數學模型構建一現實場景驗證”的建模思維路徑，將摩天輪模型擴展到鐘擺運動、聲波傳播等現實場景。正如周軍在《教學策略》中所強調的那樣：采用歸納式的方法進行課堂總結，在系統性建構知識體系的同時，更能激發學生對數學學科的深層認同感[3]

作業分為課本作業和補充作業，既注重基礎知識的鞏固，又通過補充作業拓展學生的思維和應用能力，滿足不同層次學生的學習需求。這種分層遞進的設計體系結構，在充分彰顯差異化教學中分層指導原則的同時，也給學有余力的學生提供了個性化發展的空間，保證了全體學生的認知發展基線。

（四）教學反思

教學反思部分真實地歸納了這節課的教學亮點和不足。從生活實際出發，激發學生學習興趣，符合學生認知規律和學習特點，以學生熟悉的筒車車型為切入點。通過抽象概括，幫助學生建立勻速圓周運動的數學模型，充分滲透了數學建模思想，培養了學生的數學抽象、邏輯推理和數學建模能力。然而，教學反思也指出在學生自主探究環節，由于時間有限，學生的思考不夠深入，部分學生對模型中參數的實際意義理解不夠透徹。

三、教學亮點與創新

（一）情境創設貼近生活

教學中選取了筒車和摩天輪這兩個學生熟悉且具有實際意義的情境，使抽象的數學知識變得直觀、生動，易于理解。以筒車為代表的傳統農耕器具凝聚著中華民族的智慧結晶，其數學文化內涵與李峰倡導的“數學文化滲透”理念深度契合。在教學實踐中我們發現，學生在學習中會明顯地將文化認同感轉化為主動探究的學習動機，而這種文化情境和數學思維的雙重建構，正是在了解了筒車汲水原理和圓周運動的數學本質之后，為后面的造型活動的認知奠定了基礎，在學習中學生會認識到這種文化認同感，從而在學習過程中形成了一種主動探究的學習動機，增強了學生運用數學解決實際問題的意識和能力，使學生在學習中學到數學知識，達到學習數學的目的。

（二）注重數學建模過程

本節課呈現了數學建模的完整流程，涵蓋了問題情境創設、模型構建、求解驗證和反思優化等各個關鍵階段。學生在教師指導下，通過實踐探索，逐步掌握了將現實情境抽象為數學模型的方法，并運用數學工具，完成了全過程的解題操作。這種強調過程導向的教學范式，不僅有效培育了學生的數學思維品質，更在創新意識培養和建模素養提升方面展現出顯著成效。值得注意的是胡蓉團隊在可視化建模的技術實現層面上對本課程的技術應用提供重要的理論支撐和實踐參照[4]。我們嘗試將GeoGebra的三維動態演示功能與三角函數建模相結合，通過同步模擬摩天輪座艙軌道的筒車輻條運動軌跡，直觀呈現旋轉角度與垂直高度的動態關聯。當學生觀察到摩天輪座艙高度隨T值變化而形成的波動曲線時，角速度抽象的@a參數與振幅a參數立即轉化成可感知的幾何圖形，從而使其具有較強的形象性。這種數形轉換過程有效突破了傳統教學中參數意義的理解瓶頸，使“形助數解，數賦形魂”的教學理念得到充分體現。

（三）培養學生的數學核心素養

對于客觀存在的課堂過程中的認知差異，我們借鑒了DiangeHeacox的差異教學理論，對階梯式問題鏈體系進行了設計[5]。在基礎認知層面，通過分析筒車車輪運動的周期性特征，引導學生建立三角函數模型的初步印象；進階階段則要求將角速、半徑等物理量轉化為函數參數，完成數學抽象的關鍵跨越；最終在摩天輪案例中設置多變量建模任務，促使學生綜合運用周期、振幅、相位等元素，解決實際問題。這種分層遞進的教學設計，既保證基礎薄弱的學生能夠參與進來，又為學有余力的學生預留了拓展思維的空間。對于基礎薄弱的學生在教學設計中提供了良好的拓展空間，幫助他們在學習中逐步提升自我能力，激發學習興趣。對于學有余力的學生，進階階段的任務能夠激發他們探索的興趣，提升他們的綜合能力。

四、教學實踐反思

（一）情境創設的重要性

本課程通過將傳統筒車與現代摩天輪這兩個典型機械裝置引入課堂，有效調動了學生的認知投入和探究熱情。真實背景與知識體系的有機融合是構建數學建模教學框架的核心要素，當教學情境與學生既有生活經驗形成認知共鳴時，抽象數學模型便自然呈現出其解釋現實世界的強大生命力。讓學生在熟悉的情境中展開數學建模活動，提高學生的學習積極性和參與度，教師在今后的教學中要注重運用貼近學生生活實際的情境資源，富有時代性和趣味性，在教學中，教師要注重運用數學建模活動中的數學建模活動，使數學建模活動成為學生學習

（二）學生主體地位的強化

教師在教學過程中，引導學生觀察、分析、推理、歸納，學生的主體作用得到了充分發揮。從數學模型構想的敘述到模型的推導，再到模型的應用，學生始終處于積極主動的思考狀態。在本節課的學習過程中，既讓學生親身體驗數學建模的全過程，又培養了學生的創新思維和動手能力，這是本節課的主要內容之一。但真正把學生的主體地位落到實處，在實際教學中并不是一件容易的事情。數學造型課程的教學中，教師要尊重學生的個性差異和知識層次，關注學生的學習需要和興趣愛好，在激發學生學習積極性和主動性的同時，為學生提供個性化的教學指導和服務，這是數學造型課程在教學中所要做的。

（三）教學時間的合理分配

數學建模教學涉及多個環節，每個環節都需要充分的時間來保障教學的效果。但在實際的課堂教學中，往往面臨著一些環節無法深入展開而導致時間緊張的問題。就拿這節課來說，時間有限，思考不夠深入，討論不夠深入，學生自主探究的環節就是學生自主探究的環節。因此，教師在設計數學建模教學時，應充分考慮各教學環節的時間需要，對教學時間進行合理調配。對重點和難點環節要給予足夠的時間保障，同時要注重教學環節之間的銜接和過渡，提高課堂教學效率，確保整個數學建模教學過程能夠完整而深入地實施。

結束語

對高中數學建模教學的研究，可以從以下幾個方面進一步深入：一是加強數學建模教學的理論研究，構建更加完善的教學理論體系；二是探索適應不同地區、不同層次學校和學生教學需求的多樣化數學建模教學模式和方法；三是抓好數學建模教學的評估研究工作，建立科學合理的評估制度；四是加強教師數學建模教學培訓和業務拓展，提高教師數學建模素養和教學能力，為順利開展數學建模教學提供堅強保證。

參考文獻

[1]陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2]李峰.數學文化與新課程標準下中學數學教育中數學文化的滲透[D].濟南：山東師范大學，2005.

[3]周軍.教學策略[M].北京：教育科學出版社，2007.

[4]胡蓉.利用信息技術優化幾何教學].實驗教學與儀器，2008，25（4）：40-41.

[5]DianeHeacox.差異教學－幫助每個學生獲得成功[M].北京：中國輕工業出版社，2004.

本文系三明市基礎教育科學研究2024年度課題“基于四個理解的高中數學拔尖學生教學模式研究”（項目編號：JYKT-24003）。