二次函數(shù)中考命題新動(dòng)向

二次函數(shù)，歷來(lái)是中考命題的“重頭戲”.隨著高考命題的變革，中考命題發(fā)生了微妙的變化.中考對(duì)二次函數(shù)的考法，正與高考對(duì)拋物線考法“無(wú)縫對(duì)接”，為了增強(qiáng)中考復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性，這種現(xiàn)象應(yīng)引起大家的關(guān)注.那么二次函數(shù)中考命題新動(dòng)向有哪些？本文舉例說(shuō)明，供大家參考.

新動(dòng)向1直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題

直線與拋物線的位置關(guān)系，一直是高考命題的熱點(diǎn).而在初中數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)代表著直線，二次函數(shù)代表著拋物線，于是中考對(duì)一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合考查可以轉(zhuǎn)化為對(duì)直線與拋物線的位置關(guān)系的考查，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

例1拋物線 y=x²-2x-3（-1?x?3） 與直線 y=x+m 有兩個(gè)交點(diǎn)，求 ψ_m 的取值范圍.

解令 y=0 ，則 x²-2x-3=0 ，解得 x₁= -1，x₂=3 ，所以拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為 （-1，0） ，（3，0），

線 與拋物線 y=x²-2x- 3（-1?x?3） 有兩個(gè)交點(diǎn)，

把（3，0）代人直線 y=x+m ，解得 m=-3 ，直線 再向上平移時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，直線 y=x +m 再向下平移時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng) y=x²-2x-3 與直線 y=x+m 有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立方程組

整理得 x²-3x-3-m=0 ，所以 Δ=b²-4ac =21+4m=0 ，解得 ，

綜上所述，拋物線 y=x²-2x-3（-1?x? 3）與直線 y=x+m 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是－21

新動(dòng)向2 定點(diǎn)定值問(wèn)題與拋物線、直線有關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題，是高考解析幾何的常考題型，這種題型同樣也出現(xiàn)在中考中，無(wú)論是高考題，還是中考題，它們的解法有著驚人相似的一幕，對(duì)相關(guān)變量設(shè)而不求，巧用韋達(dá)定理和整體代換，是求解這類常用技巧，

如圖1，當(dāng)直線 經(jīng)過(guò)（3，0）時(shí)，此時(shí)直例2如圖2，已知拋物線 y=x²-2x-3 ，過(guò)點(diǎn) D（1，a） 分別作直線 EF：y=k₁x- 十b₁（k₁≠0） ）交拋物線于點(diǎn) E，F(xiàn) ，直線 GH：y=k₂x +b₂（k₂≠0 ，且 k₂≠k₁ ）交拋物線于點(diǎn) G，H，M，N 分別為線段 _EF，GH 的中點(diǎn)， k₁k₂=2a ，求證：直線MN必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析當(dāng) k₁x+b₁=x²-2x-3 時(shí)， x_E+x_F ，進(jìn)而得到 ；同理可得： x_N=1 ，再由直線 _EF，GH 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) D（1，α） 可得（20 k₁+b₁=a，k₂+b₂=a ，則 k2，即M（ ；同理可得 ，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 MN 的解析式為 y=（k₁+k₂）x-（k₁+k₂） ，進(jìn)而完成解答.

證明 因?yàn)?k₁x+b₁=x²-2x-3 ，所以 x² -（2+k₁）x-b₁-3=0 ，所以 x_ΠE+x_ΠF=2+k₁ 所以 ，同理可得： 因?yàn)橹本€ _EF，GH 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) D（1，α） ，所以 k₁+ b₁=a，k₂+b₂=a， 所以 ，所以 同理可得： 設(shè)直線 MN 的解析式為 y=mx+n ，所以 解得 所以直線 MN：y=（k₁+k₂）x-（k₁+k₂） ，所以直線 MN 必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

新動(dòng)向3 證明恒等式

這類問(wèn)題從本質(zhì)上看，就是定值問(wèn)題的翻版，不同的是定值已經(jīng)知道.求解方法與定值問(wèn)題的求法相似，一般通過(guò)整體代換、整體約分或整體消元，來(lái)達(dá)到某代數(shù)值等于定值的目的，從而表明恒等式成立.

例3已知拋物線 y=3x²+bx+c 與 軸交于點(diǎn) C（0，-3） ，當(dāng) x=-1 時(shí)，該函數(shù)有最小值，設(shè)ψ_m 是拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）求 的值；（2）求證：

解 （1）因?yàn)楫?dāng) x=-1 時(shí)，該函數(shù)有最小值，所以 ，解得： b=6 ，

因?yàn)?C（0，-3） ，當(dāng) x=0 時(shí)， c=-3 ，故 b=6 c=-3 ，

（2）證明：由（1）得 y=3x²+6x-3

因?yàn)?ψ_m 是拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以

3m²+6m-3=0 ，所以 m²+2m-1=0 ，所以 m²+

2m=1 ，

點(diǎn)評(píng)本例第二小問(wèn)屬于恒等式證明問(wèn)題，由Σ_m 是拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得 3m²+6m-3= 0，化為 m²+2m=1，m²-1=-2m ，整體代入進(jìn)行降次運(yùn)算，即可求解.能熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)及整體代換進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

由此可見，從以上三類二次函數(shù)命題新動(dòng)向的題目分析來(lái)看，中考對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求又提高了一個(gè)層次，它要求我們不僅要會(huì)算，更要弄清其中的“算理”.這種中考命題的新方向，體現(xiàn)了中考與高考的銜接，體現(xiàn)了新課標(biāo)理念對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求.