探秘數學之鑰：線段中點與角平分線的應用

例1如圖1所示，在 ΔABC 中， BD⊥AC ，垂足為 D，CE⊥AB ，垂足為 E ，其中點 F 和 G 分別是線段 BC 和 DE 的中點，若 BC=18，DE=10 ，則 FG 的長度是（ ）

答案 (A).

解析通過構造輔助線，即連接 EF 和 FD 便于后續計算，利用中點的性質可確定 FD 和 EF 的長度，最終使用勾股定理可計算出 FG 的長度.

如圖2所示，連接 EF，DF ，

在 ΔBDC 中，因為 BD⊥AC ，點 F 是 BC 的中點，

所以

同理可得，在 ΔBEC 中，因為 CE⊥AB ，

所以 ，

則 EF=DF=9 ，

又因為 G 為 DE 的中點，

所以

在 RtΔEFG 中，依據勾股定理可得：

(A)2 ： (B) ： (C)8. (D)9.

例2如圖3所示，現有 ΔABC ，延長 BC 至點D ，使得 CD 是 BC 的一半，取邊 AC 的中點為點 E ，過點 E 作一條平行線，得到 EF / CD ，且 EF= 2CD ，連接 FD ，若 AB=8 ，試求出 FD 的長度

(A)3. (B)4. (C)2√3. (D)3√2.

答案 (B).

解析通過構造輔助線，即連接 EG ，再結合三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理可解決該題.

如圖4所示，取邊BC的中點 G ，連接 EG ，

因為點 E 是邊 AC 的中點，則 EG 是 ΔABC 的一條中位線，所以 業又根據題意得到 所以 CD=CG ，則可得到 GD=2CD 因為 EF=2CD ，所以 EF=GD ·因為兩條對邊互相平行且相等，因此可得四邊形EFDG是一個平行四邊形，

則 EG=FD=4

例3如圖5所示，在 ΔABC 中， CE 是 ∠ACB 的角平分線，過點 A 作 AF⊥CE 交 CE 于點 F ，延長AF 交 BC 于點 D = ∠AEC=2∠ACE

（1）求證： BE=EC ·

（2）如圖6所示，作 AH//BC ，延長 CE 交 AH 于點 H ，求證： AB=2CF

解析首先由角平分線的性質確定角度相等，再利用角度關系確定線段相等，即 BE=EC ，再利用

平行線的性質可證明.

（1）由圖5可得， CE 平分 ∠ACB ，

所以 ∠ACE=∠BCE

因為 ∠AEC=∠B+∠BCE=2∠ACE ，

所以 ∠B=∠ACE=∠BCE ，

則 BE=EC ·（2）如圖6所示，可得 AH//BC 0由兩條線平行，內錯角相等的性質可得 ∠H=

∠BCE，∠HAE=∠B ，由（1）可得 ∠ACB=2∠BCE=2∠ACH ，

∠B=∠BCE ，因此在 ΔACH 中，可得 ∠H=∠ACH

=∠HAE ，所以 EB=EC ，可得 ΔEBC 和 ΔAHC 是一個

等腰三角形，因此可得 AH=AC，EA=EH ，所以 EA+EB=EH+EC ，即 AB=HC ·又因為 AF⊥CH ，所以 CF=HF ，所以 HC=2CF ，則由等量代換可得 AB=2CF ：

結語

初中數學的幾何應用題目中多會出現線段中點和角平分線等性質的內容，需要同時結合勾股定理、角平分線的性質和判定以及平行線的性質等內容進行解題.而在證明過程中，需要多使用分類討論或類比等思想轉化題目條件，構造多類輔助線以形成等腰三角形或矩形等圖形，深入思考，最終達到提升計算思維能力這一目標.