一道幾何動點(diǎn)問題的解法分析和教學(xué)啟示

1引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何動點(diǎn)問題與函數(shù)圖象相結(jié)合的題型是重點(diǎn)與難點(diǎn).下面以2024年安徽中考第10題為例，探討此類問題的解決措施及其帶來的教學(xué)價值.

2 試題呈現(xiàn)

例題如圖1，在 RtΔABC 中， ∠ABC=90^° ，AB=4 BC=2，BD 是邊 AC 上的高.點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊AB、BC上（不與端點(diǎn)重合），且 DE⊥DF .設(shè)AE=x ，四邊形DEBF的面積為 y ，則 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象為（ ）

點(diǎn)評此題是幾何動點(diǎn)和函數(shù)圖象相結(jié)合的綜合性問題，考查直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等面積法、相似三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖象和解析式等內(nèi)容，具有較強(qiáng)的綜合性.

3解法分析

解法1過點(diǎn) D 作 DH⊥AB 于點(diǎn) H ，如圖2所示.

因?yàn)?∠ABC=90^°，AB=4，BC=2

根據(jù)勾股定理可知

因?yàn)?BD 是邊 AC 上的高，

所以

所以 （2

在 ΔBCD 中，根據(jù)勾股定理得

所以

因?yàn)? 所以 所以S△ADE 因?yàn)?∠BDF=∠EDF-∠BDE=90^°-∠BDE ∠ADE=∠ADB-∠BDE=90^°-∠BDE ，所以 ∠BDF=∠ADE 易知 ∠DBF=∠DAE ，所以 ΔBDF～ΔADE 所以 所以

所以 ，故選（A）.

解法2 過點(diǎn) E 作 EH⊥AC 于點(diǎn) H ，如圖3所示.

根據(jù)勾股定理可知

因?yàn)?∠BAC=∠CAB ，

∠ABC=∠ADB=90^°

所以 ΔABCΔΔADB ，

所以 A

所以 （204號

（204號

易知 ΔAEH～ΔABD ， （204號

所以 ，

同解法1可知 △ADE，所以

點(diǎn)評解法一先用等面積法求出 BD ，再根據(jù)勾股定理求出 CD 和 AD ；解法二則是利用相似三角形的性質(zhì)直接求出 BD 、 AD 和 CD .求出相關(guān)線段的長度后，解法一將四邊形BEDF分割為 ΔBDE 和ΔBDF ，分別求出 ΔBDE 和 ΔBDF 的面積后再相加即可求出四邊形BEDF的面積，從而得到 的解析式.解法二的思路是用 ΔABC 的面積減 ΔADE 和 ΔCDF 的面積，從而得到四邊形BEDF的面積，進(jìn)而得到 的解析式.

4 教學(xué)啟示

在教學(xué)過程中，對于此類幾何動點(diǎn)與函數(shù)相結(jié)合的問題，教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

（1）強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的理解與運(yùn)用，確保學(xué)生能熟練運(yùn)用這些知識解決幾何問題中的證明和計(jì)算問題，為解決復(fù)雜問題奠定基礎(chǔ).（2）培養(yǎng)學(xué)生分析圖形的能力，通過識別圖形中的直角三角形、相似三角形等基本圖形，找到解題的切入點(diǎn).（3）鼓勵學(xué)生嘗試多種解題思路，提升思維的靈活性與發(fā)散性.