二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題分類與分析

二次函數(shù)綜合大題往往會(huì)和幾何圖形相結(jié)合進(jìn)行考查，以角度、周長(zhǎng)和面積為特點(diǎn)將問題歸類成三類，每類問題的考查內(nèi)容、解題思路并不相同，應(yīng)結(jié)合具體例題仔細(xì)區(qū)分，找到解題的關(guān)鍵，如此才能提高解題效率.

1角度問題

在二次函數(shù)與幾何圖形的綜合性問題中，最常見的一類問題是角度相關(guān)的簡(jiǎn)答題，常見考查內(nèi)容有證明角度相等情況、探討特殊角度存在情況以及角度倍數(shù)關(guān)系.這些與角度有關(guān)的綜合性問題難度較大，需要結(jié)合幾何形式和二次函數(shù)的解析式對(duì)其進(jìn)行解答，主要體現(xiàn)在假設(shè)結(jié)論存在，以已知結(jié)論推導(dǎo)可能成立的方程式并求解，從而解決問題.

例1如圖1，拋物線 y=ax²+bx+3 與 x 軸交于點(diǎn) A（3，0） ， C（-1，0） ，與 軸交于點(diǎn) B ·

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn) G 是拋物線在第一象限上的一點(diǎn)，且 ∠BCG=45^° ，求點(diǎn) G 的坐標(biāo).

解（1）拋物線的解析式為： y=-x²+2x +3 ：

（2）當(dāng) x=0 時(shí)， y=3

所以點(diǎn) B（0，3） ，即 OB=3 因?yàn)辄c(diǎn) C（-1，0） ，所以 OC=1 ，所以 設(shè)直線 CG 交 y 軸于點(diǎn) H ，過點(diǎn) H 作 HN⊥CB

點(diǎn) N ，如圖2.在 RtΔBCO 中， 0即 BN=3NH ，因?yàn)?∠BCG=45^° ，設(shè) HN=x=CN ，即 BN=3x ， ，所以 ，解得 所以 即點(diǎn)H 設(shè)直線 CG 的表達(dá)式為 y=kx+b ，

把 C（-1，0） ， 代人，可得 即直線 CG 的表達(dá)式為 A聯(lián)立上式和拋物線表達(dá)式，可得 解得 x=-1 （舍去）或 ，所以點(diǎn) G 的坐標(biāo)為

2 周長(zhǎng)問題

二次函數(shù)的綜合性問題還包括線段圍成的圖形周長(zhǎng)問題，需要結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，進(jìn)一步應(yīng)用勾股定理對(duì)線段長(zhǎng)度做出解答.周長(zhǎng)問題可能涉及最小、最大值情況，需要找到對(duì)應(yīng)情況，再運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解題，

例2如圖3所示，拋物線 y=ax²+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A（-1，0） ， C（0，3） ，且 OB=OC ，點(diǎn) D，E 為直線 x=1 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 DE=1 ，點(diǎn) D 在點(diǎn) E 的上方，當(dāng)四邊形ACDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo).

解在 軸上取點(diǎn) F ，使 CF=DE=1 ，連接 BF ，交直線 x=1 于點(diǎn) E ，如圖 4 ，所以四邊形CFED為平行四邊形，所以 EF=CD ：因?yàn)?C（0，3） ，所以 F（0，2） ， OF=2 ，因?yàn)?C（0，3） ， OB=OC ，所以 OB=3，B（3，0） ，因?yàn)?A（-1，0） ，所以直線 x=1 為拋物線 y=ax²+bx+c 的

對(duì)稱軸，所以 EA=EB ，AE+CD=BE+EF=BF ，所以 AE+CD 的最小值為 BF ，所以四邊形ACDE的周長(zhǎng)最小值為 AC+

DE+BF ，因?yàn)?F（0，2），B（3，0） ，所以直線 令 x=1 ，則 ，所以點(diǎn) E 的坐標(biāo)為

3 面積問題

與幾何圖形相結(jié)合的二次函數(shù)問題同樣也會(huì)對(duì)面積大小進(jìn)行提問，解題的關(guān)鍵思路是結(jié)合面積公式進(jìn)行解答，選擇合適的參照條件也同樣重要.其中，求三角形、四邊形面積最為常見，常常結(jié)合割補(bǔ)法進(jìn)行解答.

例3如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=x²+bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）， B（4，6） ，與 軸交于點(diǎn) c ：

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接 AC，AB，BC ，求 ΔABC 的面積.

分析結(jié)合二次函數(shù)求三角形面積的關(guān)鍵是結(jié)合面積公式選擇合適的底和高，同時(shí)也要靈活運(yùn)用割補(bǔ)法.選擇割補(bǔ)法求面積，用 S_ΔDBC 減去 S_ΔDAC ，即等底不等高的方式，運(yùn)算求出具體值.

解（1）二次函數(shù)解析式為 y=x²-4x+6 ：（2）如圖6所示，連接 AC、AB、BC ，延長(zhǎng) BA 與

軸交于點(diǎn) D ，如圖6.因?yàn)楫?dāng) x=0 時(shí)， y=x²-4x+6=6 ，所以點(diǎn) C（0，6） ，因?yàn)辄c(diǎn) A（1，3） ，點(diǎn) B（4，6） ，設(shè) AB 所在直線

解析式為 y=mx+n ，所以 、解得 所以直線 AB 為 y=x+2 ，點(diǎn) D（0，2） ，所以 S_ΔABC=S_ΔDBC-S_ΔDAC=6

4結(jié)語

上述例題對(duì)二次函數(shù)的綜合性問題都做出具體的分析與解讀.不同類型的綜合性問題考查側(cè)重點(diǎn)不同，角度問題需要結(jié)合特殊角度或角度關(guān)系找到圖形特點(diǎn)再運(yùn)算求解，周長(zhǎng)問題需要利用對(duì)稱性質(zhì)、幾何定理根據(jù)具體情況進(jìn)行求解，面積問題則需要選擇合適的底和高確定公式，代入求解即可.

參考文獻(xiàn)：

[1楊群.二次函數(shù)與幾何綜合題常見最值問題分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（20）：14-15.

[2]王東國(guó).例析二次函數(shù)與幾何綜合題的最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（16）： 69-70+77