對一道教材拓廣探索問題的變式探究

勾股定理是初中數學的重要定理，在幾何圖形的面積和邊長關系的研究中具有關鍵作用.教材中的練習題是引導學生深人理解和應用定理的重要素材.本文圍繞一道教材中的拓廣探索問題展開，通過多種變式探究，進一步挖掘勾股定理在不同圖形情境下所體現的面積關系.

1 問題呈現和分析

人教版八年級下冊第十七章第一節“勾股定理”習題拓展探索部分有以下問題：

例1如圖1，分別以等腰 RtΔACD 的邊AD、AC、CD為直徑畫半圓.求證：所得兩個月形圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于RtΔACD 的面積.

解析 因為 ΔACD 是等腰直角三角形，由勾股定理，得 AD²=AC²+CD² 因為S半圓ACD 又因為 S_??EACG+S_??ECDH=S_?≠?AACD-S_?ΔACD

所以 S_?H?H?EAGCE+S_?H?HEDHCF=S_?*E?HACE+S_?*E?HCDF- (S_Ξ##ACG+S_Ξ#?CDH) （20

2 問題變式探究

以上問題中的三角形是特殊的直角三角形，即等腰直角三角形.那么，以上結論對于任意的直角三角形是否成立呢？

例2如圖 2，AC⊥BC ，分別以 RtΔABC 的邊 AB?AC，BC 為直徑作半圓.探究所得兩個月形圖案AFCE和BHCG的面積與 RtΔABC 的面積之間的關系.

解析類似例1的證明過程，根據勾股定理可證 S_/#/#AFCE+S_/#/#BHCG=S_/ΔABC，

以上問題的圖形和結論都非常優美.事實上，古希臘數學家也曾研究過這一問題，稱為月牙定理（或月形定理)[1].例1中以邊 AB 為直徑作的半圓與點C 在同一側，若所作的半圓與點 C 不在同一側，會得到怎樣的結論呢？

例3如圖 3，AC⊥BC ，分別以 RtΔABC 的邊 AB、AC，BC 為直徑作半圓.探究半圓 ABD ，BCE ，AFC的面積之間的關系.

解析 因為 ΔABC 是直角三角形，由勾股定理，得 AB²=BC²+AC² 因為 所以

根據例3可知，以直角三角形的斜邊為直徑的半圓的面積等于以直角邊為直徑的兩個半圓的面積之和.根據勾股定理可知，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積等于以直角邊為邊的兩個正方形的面積之和，如圖4所示.故此結論可看作勾股定理的變式.

邊 AB?AC，BC 為直徑作等邊三角形.探究三個等邊三角形的面積之間的關系.

解析 因為 ΔABC 是直角三角形，

由勾股定理，得 AB²=BC²+AC²

因為S△ABD

所以

事實上，以上結論可繼續推廣，將等邊三角形改為正 n 邊形，也可得到類似的結論，且證明方法無本質差別.

3結語

那么，將半圓改為其他正多邊形，結論是否成立呢？

例4如圖 5，AC⊥BC ，分別以 RtΔABC 的

通過對一道教材問題的多種變式探究，我們體會到了勾股定理在不同圖形情境下的廣泛應用以及相關面積關系的奇妙之處.從等腰直角三角形到任意直角三角形，從半圓到等邊三角形乃至正 n 邊形，這些探究不僅可以加深學生對勾股定理的理解，也為學生進一步研究幾何圖形的面積關系提供了更多的思路和方法.

參考文獻：

[1]華興恒，有趣的月形定理[J].數理天地（初中版），2020(7):34-35.