正方形內(nèi)的一個(gè)模型及其應(yīng)用

1引言

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊.以平面幾何為載體的問題復(fù)雜多變，解決這類問題需要較為靈活的思維.幾何模型作為對(duì)幾何問題的抽象、簡(jiǎn)化和概括，能幫助學(xué)生更好地理解幾何概念、掌握幾何性質(zhì)，提高解題效率.本文介紹正方形內(nèi)的一個(gè)常見模型一十字架模型，并分析其在解題中的應(yīng)用.

2 正方形十字架模型

在正方形中，若有兩條互相垂直的線段，且這兩條線段的端點(diǎn)分別在正方形的對(duì)邊上，則這樣的幾何結(jié)構(gòu)被稱為正方形的十字架模型，如圖1所示.常見的情況是一條線段的端點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，如圖2所示.

正方形十字架模型的性質(zhì)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 是對(duì)邊AB、 CD 上的點(diǎn)，點(diǎn) G，H 是對(duì)邊 BC，AD 上的點(diǎn)，且 EF⊥GH ，則 EF=GH

證明如圖3，分別過點(diǎn) A，B 作 ，BN//GH ，與 _CD，AD 分別交于點(diǎn) M，N

根據(jù)四邊形ABCD為正方形易知 AE // MF 又因?yàn)?AM//EF ，

所以四邊形AEFM為平行四邊形，

所以 AM=EF ：

同理，四邊形BGHN為平行四邊形，

所以 BN=GH ：

又因?yàn)?EF⊥GH ，

所以 AM⊥BN ，

所以 ∠ABN=∠DAM

根據(jù)正方形的性質(zhì)可知 AB=AD ，

∠BAN=∠ADM=90^°，

所以 ΔABN?ΔDAM

故 AM=BN ，

因此 EF=GH ·

下面再證明以上模型的逆命題.

正方形十字架模型的逆命題如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn) 是對(duì)邊 AB，CD 上的點(diǎn)，點(diǎn) G，H 是對(duì)比 BC，AD 上的點(diǎn)，且 EF=GH ，則 EF⊥GH

證明如圖3，分別過點(diǎn) A，B 作 、BN// GH ，與 _CD，AD 分別交于點(diǎn) M，N

類似前面的證明可知 AM=EF BN=GH

又因?yàn)?EF=GH ，所以 AM=BN ·

根據(jù)正方形的性質(zhì)可知 AB=AD ，∠BAN=∠ADM=90^°，

所以 ΔABN?ΔDAM 故 ∠ABN=∠DAM 所以 ∠ABN+∠BAM=∠DAM+∠BAM= 90^° ，即 AM⊥BN ，從而 EF⊥GH

3正方形十字架模型的應(yīng)用

例1如圖4，正方形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 上， BE⊥CF 于點(diǎn) G ，若 BC=4 AF=1 0則 GF 的長(zhǎng)為

解析 因?yàn)檎叫蜛BCD的邊 BC=4 ，所以 BC=CD=AD=4 ，∠BCE=∠CDF=90^° DF=AD-AF=3. 在 RtΔCDF 中， 因?yàn)?BE⊥CF 于點(diǎn) G ，根據(jù)正方形十字架模型可知 BE=CF=5 所以在 RtΔBCE 中， （204因?yàn)镾△BCE 所以 ，所以

例2如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 ^3，E 為BC邊上一點(diǎn)， BE=1 .將正方形沿 GF 折疊，使點(diǎn) A 恰好與點(diǎn) E 重合，連接 AF，EF，GE ，則四邊形AGEF的面積為

解析 由折疊的性質(zhì)可知，AG=EG，AF=EF

所以 ΔAGF?ΔEGF 0所以 ∠AFG=∠EFG 因?yàn)?ΔAFE 為等腰三角形，

所以 GF⊥AE .根據(jù)正方形十字架模型GF=AE ·設(shè) AG=GE=x ，則 BG=3-x ·在 RtΔBGE 中， BE²+BG²=GE² .所以 1²+（3-x）²=x² ，解得 ·在 RtΔABE 中，根據(jù)勾股定理可知 AB²+BE²=AE² ，所以 ，所以 ·設(shè) AE 和 GF 交于點(diǎn) O ，則

4結(jié)語(yǔ)

正方形中的十字架模型作為一種重要的幾何結(jié)構(gòu)，具有豐富的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用.在日常教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)這一模型的教學(xué)，有助于學(xué)生更好地掌握正方形的性質(zhì)，提升幾何解題能力和數(shù)學(xué)思維水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]董平.正方形中的“ + 字架”模型探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2024（20）：26—28.

[2]張叢叢.關(guān)于正方形模型問題的舉例探究[J].數(shù)理天地（初中版），2023（9）：8-9.