巧用問題的自然生成設計初中數學復習課教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中指出，要設計體現結構化特征的課程內容[1].這是當前教育背景下提高學生核心素養的要求.大單元主題教學基于數學邏輯，對數學內容進行整合，凸顯教學的結構化特征，滲透數學的教與學思維.這種教學模式不但適用于新授課，而且能發揮出復習課的應用價值.本文以蘇科版數學教材八年級下冊第9章“中心對稱圖形一平行四邊形”的單元復習教學為例，談談大單元背景下復習課的教學構想.

1 教學理論分析

2022年版課標中的課程內容中（第四學段）與平行四邊形（包括平行四邊形、矩形、菱形和正方形）有關的描述是：理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關系；探索并證明平行四邊形的性質定理、判定定理.探索并證明矩形、菱形的性質定理；探索并證明矩形、菱形的判定定理；正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系.本節課的目標是復習整章的知識，所以要在一節課內把知識點串聯起來.

2 內容分析

在學習了2022年版課標后，筆者把第9章“中心對稱圖形一平行四邊形”的所有知識點，用兩種變換方式，即翻折和平移串聯起來.如此進行教學設計，是因為在本章教學的教學中，出現了很多翻折和旋轉的題型.后來筆者思考了為什么會出現很多翻折和旋轉題，發現最根本的原因是中心對稱圖形本身具有的特點，以及特殊的中心對稱圖形還具有軸對稱性.在弄清了這層邏輯之后，上課的思路就清晰了起來.首先，創設問題情境，從學生容易入手的折紙問題出發，借用翻折和旋轉的圖形變換思路，引出本章的幾個重要的中心對稱圖形，從平行四邊形$$ 矩形 $$ 菱形 $$ 正方形逐一推進，對這些圖形的定義、性質、判定進行知識體系的梳理.在一個個問題的推進中，讓學生嘗試以圖形變換為問題的切入點，引導學生體會這些圖形的價值及其蘊含的數學思想和數學模型，嘗試用圖形的變換來解題甚至編題.

由此，本節復習課的重點可以確定為借用問題的創設，以圖形的變換為主線，串聯起“中心對稱圖形一平行四邊形”中的知識點，完成知識體系的整體建構，通過問題的生成和解決實現知識的內化，再據此來解決新的問題；難點確定為用圖形變換的思想解決問題.

3教學設計

3.1設置問題情境，激發興趣

問題1同學們手上有一張平行四邊形紙片，想一想，如何通過翻折的方式，把它轉化為一個矩形.

生 （拿出平行四邊形紙片，開始對折）

師（這道題學生們基本完成了，隨意指定一位學生，展示折法）請問你這樣操作的依據是什么呢？

生這里是一個直角.

師為什么呢？

師引導學生一起：因為翻折可以形成相等的角，而它們的和是 180^° ，所以每一個角都是 90^° ，然后通過“有三個角是直角的四邊形是矩形”這一條來判定.

設計意圖借助問題情境，讓學生很快地進入到課堂中，同時這個問題起點不高，基本所有學生都能解決問題，調動了學生的積極性.學生通過動手操作，真切地體會到了“翻折可以形成相等的角”

3.2關注聯系，啟發學生思維

問題2同學們手上有一張矩形紙片，想一想，如何通過翻折的方式，把它轉化為一個菱形（非正方形）.

生 （拿出矩形紙片，開始折疊）

師（發現有很多學生利用了“四條邊都相等的四邊形是菱形”這一原理，請一個學生展示他的做法）來，講講你的做法.

生我先對折、再對折，形成了四個全等的矩形，然后像這樣折出對角線，這樣這個圖形的四邊都相等，我們就知道它是一個菱形.

師非常好！大家給這位同學鼓掌（掌聲響起）.那么老師還想再問一問，有沒有別的折法？

生 （動手操作）

師 （看了一圈，進展不大）提示一下，能不能從一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形這個角度來折疊？

生 （繼續研究，進展仍然不大）

師（展示折法）同學們來看看，看看老師這樣折可不可以？老師拿矩形的一個頂點去尋找它對角線的頂點，然后讓這兩部分重合，這樣就構造了相等的邊，現在我把其他兩個點也連起來，你們看中間這個是不是菱形，如何證明呢？（學生思考了一段時間，還是沒有舉手）你們看，通過翻折，已經形成“一組鄰邊相等”，我們是不是只要先證明它是一個平行四邊形就行了？

生 （思考一段時間后，有學生舉手）通過翻折和平行，可以得到角相等，根據等邊對等角，我們可以得到等腰三角形，再通過翻折，等量代換之后，我們就能得到一組對邊相等，接著我們就證明了四邊形的一組對邊平行且相等.

師非常好！其實這里有一個我們非常熟悉的“三兄弟”模型，我們一起來回顧一下.在一個圖形中，如果有角平分線、平行線，往往會形成等腰三角形.

師老師看到這個圖形，突然靈光一閃，能不能用這個圖形來編寫一道題呢？比如老師告訴大家這個矩形的長和寬，請你來看看，可以求出圖中的哪些線段？

生1 可以求菱形的邊長！

師很好，那請你來講講你的做法.

生1可以根據勾股定理列方程，

師非常好，這位同學給我們復習了求線段的一個重要方法，那就是勾股定理.同學們回顧一下，在本章的學習中，有很多時候我們都要用到勾股定理，是不是？（學生點頭）好，那么順著剛剛的思路，除了求菱形邊長，我們還可以求什么？

生2可以求菱形的面積和周長，還有三角形的面積和周長.

師 還有嗎？圖中還有其他線段可以求出嗎？

生3還可以求出菱形的對角線長！

師 很好，怎么求呢？

生4利用勾股定理.

生5還可以用等積法！

師很好，大家說得都非常棒，讓我們來總結一下.

師生活動結合學生的回答，回顧\"角平分線、平行線、等腰三角形”的模型和勾股定理，并且匯總成本節課的板書.構造菱形的過程，讓學生再次體會到翻折可以形成相等的角和相等的邊.

3.3編寫題目，發散思維

問題3同學們，剛剛我們一起通過翻折編了一道題，老師覺得這是一個出題的好方法.現在教師給大家準備了一個正方形，大家能不能嘗試用翻折的方法來編寫一些題目呢？這里可以入手的方向非常多，所以老師給定幾個元素，大家來嘗試一下.首先給的元素是正方形、 45^°

生6可以連接對角線，已知正方形的邊長是1，求對角線長.

師很好，請你來解答一下這道題吧.（學生回答）好，那老師再加點難度，請利用正方形、翻折、角平分線試試看.

生7我可以這樣，把正方形相鄰的兩條邊沿著其一條對角線對折，使這兩條邊和對角線重合，形成了這樣一個圖形.我的題是：已知這個正方形的邊長是1，求這個等腰直角三角形的直角邊長.

師很好，這道題出得相當精彩，我們來給她一點掌聲！然后請大家來嘗試做做看這道題，好嗎？ （請學生上黑板完成這道題并進行簡單的說明）好，老師再追加一問，此時三條線段有什么關系？

師真的是非常精彩的一個題，感謝剛剛那位同學.有了這個圖形做啟發，老師又想到這樣一個題，同學們來幫我看看.在剛剛的圖形的基礎上，我移動角的邊上的點，但是保持中間的這個角度 45^° 不變，大家看看這三條線段仍然滿足剛剛的關系嗎？你能不能嘗試證明呢？

生 （嘗試了作垂直，但是沒有解決問題）

師老師提示一下，這個 45^° 的條件很重要，怎么去使用它呢？除了把這個角分開，還可以把旁邊的兩個角拼到一起，是不是？也就是利用旋轉的方法，把這個三角形順時針旋轉 90^° ，移到這個位置，請你試試看！

生8（恍然大悟）解決了問題.我們可以這樣做.（學生回答解決問題的方法）

設計意圖 借助編題的過程，讓學生進入到創設的情境中，同時，讓圖形運動起來，體現了數學中由特殊到一般的數學思想方法.而問題的解決，類似于線段中的“截長補短”思想方法，除了把角分割開，還可以把兩個小的角拼到一起，這種思想方法也體現了大單元教學的思路，

3.4 回顧總結，提煉思想

通過本節課的復習，你對本章內容有哪些新的理解？請學生回顧總結，暢所欲言，教師適當給予補充，完善本節課的知識結構，并且提煉出研究幾何圖形的一般方法，如圖1所示.

4 反思與評價

4.1 問題與活動生成，串聯知識點

基于大單元的復習課，可以考慮通過巧妙的教學設計，把本章的知識點串聯起來，對所學知識進行整理和梳理.本節課巧妙地利用折紙這一活動，幫助學生再現圖形，整合有關圖形的基本知識，完善認知結構.同時，在這一過程中，還生成了新的問題，師生再一起解決問題.這培養了學生發現問題、提出問題的意識和習慣，提高了學生發現和再創造的能力[2].

4.2 結構化教學，并聯研究方法

數學家華羅庚說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要.”教師在教學過程中，應該更加注重對學生研究方法的指導.以平行四邊形這一章為例，教師更應該突出研究幾何圖形的一般方法.從學習過程上來說，可以從圖形的定義、性質、判定和應用展開學習；從關注的元素來看，可以研究圖形的邊、角、對角線；從研究的方法上來說，可以運用觀察、猜想、證明、從特殊到一般等方法.以后學生遇到圖形的章節，他們也會用這樣的方法來學習，從而更有利于他們理解知識，形成更加穩定的知識體系和認知結構.

4.3多措并舉，深化思維

這節課除了大單元結構化的設計外，還有一個亮點，就是通過復習引出了正方形的“半角模型”.以往在講“半角模型”的時候，總是通過例題來引入，而這次是通過折疊的情境創設，一步步推進到\"半角模型”，可以說是自然生成的.學生通過“半角模型”的發現、猜想、證明以及應用，體會到了數學中的建模思想.整個教學過程從表層分析深人到深度分析，激發了學生的邏輯思維能力和創造力，實現復習課鞏固提高以及再生成的多重價值.

5結語

總之，本節課應用了大單元結構化的復習課模式，通過折紙的教學構思，以學生的問題探究為基石，借助問題的生成、變式，促進學生的思維發展，在此基礎上，本節課梳理和建構了知識體系，使學生感悟了數學思想、積累了研究幾何圖形的經驗以及體驗到數學學習的快樂，最終達到提升學生幾何直觀、推理能力、應用意識、創新意識等核心素養的目的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]陳元云，邢成云.大單元背景下初中數學復習課教學設計[J].中學數學教學參考，2023（5）：42-45.