例析與三角形相結合的二次函數問題

1 三角形存在性問題

在二次函數與三角形相結合的存在性問題中，常考查等腰三角形和直角三角形存在性問題.具體來說，需要在給定二次函數的圖象上或坐標軸上找一點與已知點構成等腰三角形或直角三角形.解決這類問題一般要分三種情況討論，通過聯立直線和拋物線解析式并利用勾股定理建立方程求解.

例1如圖1，已知拋物線 y=ax²+bx-3 與坐標軸交于點 A(-1，0)，B(3，0) ，與 軸交于點 C

（1）連接 AC ，在 x 軸上是否存在點 P （不與點A，B 重合)，使得 ΔPAC 是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求點 P 的坐標.

（2）在拋物線上是否存在點 P ，使得 ΔACP 是直角三角形且 AC 為直角邊？若不存在，請說明理由；若存在，求點 P 的坐標.

所以拋物線的解析式為 y=x²-2x-3. 設點P(x，0)

因為點 A(-1，0)，C(0，-3) .

所以

當 ΔPAC 為等腰三角形時，分為三種情況：

① 當 PA=AC 時，有 ，解得 或 ，

所以點 P 的坐標為 或 (-1- ：

② 當 PA=PC 時，有 ，解得 x=4 ，所以點 P 的坐標為（4，0).

③ 當 PC=AC 時，有 ，

解得 x=±1 ，所以點 P 的坐標為 (1，0) 或 (-1 00)（與點 A 重合，舍去).

（2）易知AC的解析式為 y=-3x-3. 分為以 下兩種情況討論.

① 當 ∠CAP=90^° 時，直線 AP 的解析式為 y=

聯立直線 AP 的方程和拋物線方程，

得

解得 （不符合題意，舍去），

所以點 P 的坐標為

解析 (1)將點 A(-1，0)，B(3，0) 代入拋物線解析式 y=ax²+bx-3 ，得 解得 ， ，

② 當 ∠ACP=90^° 時，直線 CP 的解析式為 y=

聯立直線 CP 的方程和拋物線方程，得 （20解得 （不符合題意，舍去)，所以點 P 的坐標為 綜上所述，拋物線上存在點 P ，使得 ΔACP 是直角三角形且 AC 為直角邊，點 P 的坐標為

2 三角形面積問題

二次函數背景下的三角形面積問題是常見的一類題型.這類問題的難點在于如何結合函數解析式求出三角形的相關邊長或高，解決時需要綜合運用函數知識與幾何方法，對學生的數學思維和綜合能力要求較高.常見的解決方法有割補法和鉛垂法，將所求三角形轉化為更易求面積的三角形.

例2如圖2，拋物線經過 A(1，0)，B(4，0) ，C(0，-4) 三點.點 D 是拋物線上一個動點，且在直線BC上方.連接 _DC，DB ，求 ΔBCD 面積的最大值.

解析設拋物線的解析式為 y=ax²+bx+c ，因為拋物線經過 A(1，0)，B(4，0)，C(0，-4) 三點，

.所以 ，解得，

所以拋物線解析式為 y=-x²+5x-4

設過點 B(4，0)，C(0，-4) 的直線的解析式為

y=kx+m ， ，

則 解得，

所以直線BC的解析式為 y=x-4

過點 D 作 x 軸的垂線，垂足為 E ，與 BC 交于點

F ，如圖3所示.

設點 D 的坐標為 (m，-m²+5m-4) C (0

<4) ，

則 F(m，m-4) .所以

所以，當 m=2 時， S_ΔBCD 取最大值，最大值為8.

3結語

通過對上述二次函數與三角形相結合問題的深入探討，可以看到，無論是三角形存在性問題，還是面積問題，都需要學生熟練掌握二次函數的性質、解析式的求法以及幾何圖形的相關定理，并能靈活運用它們進行綜合分析與運算.在教學過程中，教師應當引導學生逐步梳理此類問題的解題思路，幫助學生構建系統的知識體系和解題框架，不斷提升學生解決問題的能力和信心.

參考文獻：

[1]鄧文忠.二次函數中直角三角形存在性問題的解題策略[J]數理化學習（初中版），2024(10)：29-33.

[2]袁明俊.如何求解二次函數中的三角形面積問題[J].語數外學習（初中版），2024(9)：30-32.

[3]田雯.利用分類討論思想研究二次函數與等腰三角形結合問題[J].讀寫算，2022(11)：154—156.