巧用整體思維，妙求分式的值

整體思維，即整體思想，就是從問題的整體入手，注重對問題的整體結構進行分析和構建，把問題的整體結構特征有意識地用到解題中去，從而達到提高解題效率，減少計算量，優化解題過程的目的.整體思想，是一種十分重要的思想方法，在解題中有著廣泛的應用.

1 整體代入

先把待求分式中的某幾個部分看成整體，利用已知條件求出這些整體的值，然后通過整體代入求出分式的值.整體代入法，可以規避解方程，讓解決問題更快捷.

例1 已知 ，則 的1值為

解析 由 知， x≠0 ，1

所以

所以 0

所以 0

所以

所以 ·

因為

所以 故答案為： 業

2 整體變形

代數解題的本質就是變形，而整體變形更顯優越性.所謂整體變形，就是根據已知條件，將待求分式整體恒等變形，最終變成一個與已知條件相關的“式子”，在整體變形過程中，需注意觀察式子的結構特征，以及合理運用代數運算公式.

例2記 (1-x2）(1-y2），若a+b+c=abc ，則

解析 根據題意，可知 _a，b，c 均不為 0 因為 所以 A=A_ab+A_bc+A_ca

因為 a+b+c=abc ，所以A=C-a2c-b2c+a2b2c

c-a2c-b2c+a2b2c+a-c2a-b2a+abc

b2c2a+b-c2b-a2b+c2a2b(a+b+c)-a2c-b2c+ab(a+b+c)-abc

c2a-b2a+bc(a+b+c)-c2b-a2b+ca(a+b+c)abc-a2c-b2c+a2b+ab2+abc-c2a-b2a+abc

故答案為：4.

3 整體設元

整體設元，也叫換元法，就是將某個“式子”當成一個整體，并用其他字母來替代，其目的就是消元、化簡或改變代數式的結構，此法往往能收到“以簡馭繁，化生為熟”的效果.

例3 已知 則 的值為

解析 設 因為 ，

所以 m+n+t=1

因為

所以 .

所以 ，

所以 nt+mt+mn=0 所以 (m+n+t)²-2(mn+nt+mt)=1²-0=1. 故答案為：1.

4整體建構

整體建構，就是將已知條件或待求分式重新建構，如將幾個條件等式相加或相乘，對待求分式實施添項或拆項的“手術”使其發生整體變化等.整體構建的思維層次較高，要求我們不僅具有敏銳的觀察力，即能“識破”已知條件與待求分式之間的聯系，還要有不畏艱難險阻越戰越勇的解題毅力，只有這樣，才能有所發現，從而整體構建出一個與待求分式“匹配”的式子，進而利用這個式子解決問題.這種方法具有前瞻性與預見性，是一種較為高級的數學思維.

例4 已知 那么 ）

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

解析 三式相加得 三式相乘得 （20所以 ，故 xyz=1 故選(A).