二次函數中考命題新動向

二次函數，歷來是中考命題的“重頭戲”.隨著高考命題的變革，中考命題發生了微妙的變化.中考對二次函數的考法，正與高考對拋物線考法“無縫對接”，為了增強中考復習的針對性和有效性，這種現象應引起大家的關注.那么二次函數中考命題新動向有哪些？本文舉例說明，供大家參考.

新動向1直線與拋物線的位置關系問題

直線與拋物線的位置關系，一直是高考命題的熱點.而在初中數學中，一次函數代表著直線，二次函數代表著拋物線，于是中考對一次函數與二次函數的綜合考查可以轉化為對直線與拋物線的位置關系的考查，考查數形結合思想的運用.

例1拋物線 y=x²-2x-3（-1?x?3） 與直線 y=x+m 有兩個交點，求 ψ_m 的取值范圍.

解令 y=0 ，則 x²-2x-3=0 ，解得 x₁= -1，x₂=3 ，所以拋物線與 x 軸的交點為 （-1，0） ，（3，0），

線 與拋物線 y=x²-2x- 3（-1?x?3） 有兩個交點，

把（3，0）代人直線 y=x+m ，解得 m=-3 ，直線 再向上平移時，有1個交點，直線 y=x +m 再向下平移時，有2個交點；

當 y=x²-2x-3 與直線 y=x+m 有一個交點時，聯立方程組

整理得 x²-3x-3-m=0 ，所以 Δ=b²-4ac =21+4m=0 ，解得 ，

綜上所述，拋物線 y=x²-2x-3（-1?x? 3）與直線 y=x+m 有兩個交點時，m的取值范圍是－21

新動向2 定點定值問題與拋物線、直線有關的定點定值問題，是高考解析幾何的常考題型，這種題型同樣也出現在中考中，無論是高考題，還是中考題，它們的解法有著驚人相似的一幕，對相關變量設而不求，巧用韋達定理和整體代換，是求解這類常用技巧，

如圖1，當直線 經過（3，0）時，此時直例2如圖2，已知拋物線 y=x²-2x-3 ，過點 D（1，a） 分別作直線 EF：y=k₁x- 十b₁（k₁≠0） ）交拋物線于點 E，F ，直線 GH：y=k₂x +b₂（k₂≠0 ，且 k₂≠k₁ ）交拋物線于點 G，H，M，N 分別為線段 _EF，GH 的中點， k₁k₂=2a ，求證：直線MN必經過一定點，并求該定點的坐標.

分析當 k₁x+b₁=x²-2x-3 時， x_E+x_F ，進而得到 ；同理可得： x_N=1 ，再由直線 _EF，GH 都經過點 D（1，α） 可得（20 k₁+b₁=a，k₂+b₂=a ，則 k2，即M（ ；同理可得 ，再運用待定系數法求出直線 MN 的解析式為 y=（k₁+k₂）x-（k₁+k₂） ，進而完成解答.

證明 因為 k₁x+b₁=x²-2x-3 ，所以 x² -（2+k₁）x-b₁-3=0 ，所以 x_ΠE+x_ΠF=2+k₁ 所以 ，同理可得： 因為直線 _EF，GH 都經過點 D（1，α） ，所以 k₁+ b₁=a，k₂+b₂=a， 所以 ，所以 同理可得： 設直線 MN 的解析式為 y=mx+n ，所以 解得 所以直線 MN：y=（k₁+k₂）x-（k₁+k₂） ，所以直線 MN 必經過定點（1，0）.

新動向3 證明恒等式

這類問題從本質上看，就是定值問題的翻版，不同的是定值已經知道.求解方法與定值問題的求法相似，一般通過整體代換、整體約分或整體消元，來達到某代數值等于定值的目的，從而表明恒等式成立.

例3已知拋物線 y=3x²+bx+c 與 軸交于點 C（0，-3） ，當 x=-1 時，該函數有最小值，設ψ_m 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標.

（1）求 的值；（2）求證：

解 （1）因為當 x=-1 時，該函數有最小值，所以 ，解得： b=6 ，

因為 C（0，-3） ，當 x=0 時， c=-3 ，故 b=6 c=-3 ，

（2）證明：由（1）得 y=3x²+6x-3

因為 ψ_m 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標，所以

3m²+6m-3=0 ，所以 m²+2m-1=0 ，所以 m²+

2m=1 ，

點評本例第二小問屬于恒等式證明問題，由Σ_m 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標得 3m²+6m-3= 0，化為 m²+2m=1，m²-1=-2m ，整體代入進行降次運算，即可求解.能熟練利用二次函數的性質及整體代換進行求解是解題的關鍵.

由此可見，從以上三類二次函數命題新動向的題目分析來看，中考對數學運算的要求又提高了一個層次，它要求我們不僅要會算，更要弄清其中的“算理”.這種中考命題的新方向，體現了中考與高考的銜接，體現了新課標理念對數學運算素養的要求.