善于換元，讓數(shù)學(xué)解題更精彩

所謂換元法，也叫輔助元素法或變量代換法，即通過引進(jìn)新變量，改變式子形式來變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去考察、研究的解題方法.

1善于換元，妙解一元方程

例1解方程 6x⁴-25x³+12x²+25x+6=0.

解析 根據(jù)題意可知 x≠0 =所以 （204號(hào)即 令 ，所以 6(a²+2)-25a+12=0 整理得 6a²-25a+24=0 解得 或 即 或

整理得 2x²-3x-2=0 或 3x²-8x-3=0 解得 經(jīng)檢驗(yàn) 是

方程的解，所以

2善于換元，妙解方程組

例2 解方程組： 解析 設(shè) ，則 a+b=3，a³+b³=9 ，因?yàn)?a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+ b)[(a+b)²-3ab]， 所以 3(9-3ab)=9 ，即 ab=2 ，與 a+b=3 聯(lián)立可得 當(dāng) （204號(hào)解得 當(dāng) （204號(hào)解得

3善于換元，妙求代數(shù)的值

例3若 （204號(hào) ，則 解析 令a ，則 x=A³+3AB² y=B³+3A²B 所以 x+y=A³+3AB²+3A²B+B³= (A+B)³ （204號(hào) x-y=A³+3AB²-3A²B-B³=(A-B)³ 所以 （204號(hào) (A-B)²=2(A²+B²)

因?yàn)? ，所以 2(A²+B²)= （20 ，故答案為：8.

4善于換元，妙解無理函數(shù)值的取值范圍

例4求函數(shù) 的函數(shù)值的取值范圍.

解析令 ，所以 所以原函數(shù) 可變?yōu)樾潞瘮?shù) z=

函數(shù) 的圖象為開口向下，對(duì)稱軸方程為 t=1 的拋物線，

所以 t=1 時(shí)，函數(shù) 取最大值，最大值為

所以函數(shù) 的函數(shù)值的取值范圍是 y?1

5善于換元，妙解最值問題

例5 若正數(shù) a_λ，b 滿足 ab=1 ，求 的最小值.

解析 因?yàn)?ab=1 ，所以 所以

設(shè) （204號(hào) 則 ，當(dāng) 時(shí)取 得等號(hào).

所以， （204號(hào)

因此，當(dāng) ， 時(shí)， 取得最小值

例6 已知正整數(shù) m，n 滿足 ，求 n 的最大值.

解析設(shè) a=m-70 ，則 =n ，兩邊平方得

令 a²-104²=b²(b 為正整數(shù))，則 b)=104² ·

由于 a-b 與 a+b 同奇偶，即同為偶數(shù)，所以當(dāng)a-b=2 時(shí)， a+b 取最大值 52×104 這時(shí)， n²=2(a +b)=104² 為最大值，所以 n 的最大值為104.

點(diǎn)評(píng)本題屬于正整數(shù)背景下的最值問題，求解過程中進(jìn)行了兩次換元，第一次采用了均值換元，就是將把兩個(gè)根號(hào)里式子的均值作為新元，第二次采用了整體換元，兩次換元是為了將無理式有理化，便于進(jìn)行因式分解.

無需贅述，以上四類問題中我們足以看出換元思想在數(shù)學(xué)解題的作用與功效，真可謂“換元法變換巧，舊瓶新酒換思路，簡(jiǎn)化問題尋突破，復(fù)雜問題變簡(jiǎn)單”