構(gòu)造正方形解決幾何問題

平面幾何在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位，其豐富多樣的題型和復(fù)雜多變的條件常給學(xué)生帶來挑戰(zhàn).在解決幾何問題時，巧妙地構(gòu)造輔助圖形往往能化難為易.其中，構(gòu)造正方形是一種有效的方法.正方形既是平行四邊形，又是矩形，從而兼具平行四邊形和矩形的性質(zhì)，同時也有其自身特殊的性質(zhì)，如四條邊相等、四個角都是直角、對角線互相垂直平分且相等，這些性質(zhì)為解決幾何問題提供了豐富的條件.

1基于直角和相等線段構(gòu)造正方形

當(dāng)題目中出現(xiàn)直角以及相等的線段時，我們可考慮以這兩條相等線段為鄰邊構(gòu)造正方形．再借助正方形四條邊相等、四個角為直角的性質(zhì)，將原本的問題置于正方形的框架下，通過正方形的邊與角的關(guān)系來探尋解題思路.

例1如圖1，已知 AB=BC=AD AB⊥BC .∠A=30^° ，則 ∠C=

解析如圖2，過點 A 作 AE // BC ，過點 C 作CE/ _AB ，直線 AE 與直線 CE 交于點 E ，則易知四邊形 ABCE 為平行四邊形.

又因為 AB=BC，AB⊥BC 0所以四邊形ABCE為正方形，所以 AE=AB=AD ·

因為 ∠BAE=90^° 新 ∠BAD=30^° .

所以 ∠DAE=∠BAE-∠BAD=60^° 所以 ΔDAE 為等邊三角形.

所以 ∠AED=60^° ，

且 DE=AE=CE ，

所以 ΔDEC 為等腰三角形，

所以 ∠ECD=∠EDC

又因為 ∠DEC=∠AEC-∠AED=30^° 所以

所以 ∠BCD=∠BCE-∠ECD=15^°

點評本題通過構(gòu)造正方形 ABCE ，借助正方形的性質(zhì)，得到 AE=AD ，進而證明 ΔDAE 為等邊三角形，為后續(xù)角度的推導(dǎo)創(chuàng)造了有利條件.這種解法巧妙地將分散的條件轉(zhuǎn)化到正方形中，體現(xiàn)了構(gòu)造正方形在解決角度問題時的優(yōu)勢.

例2如圖： 3，∠BAC=∠BDC=90^°，AD 平分∠BAC， .求 AD 的長.

解析如圖4，過點 D 作 DE⊥AB ，垂足為 E ，過點 D 作 DF⊥AC ，與 AC 的延長線交于點 F 因為 ∠BAF=∠AED=∠EDF=90^° =所以四邊形AEDF為矩形.又因為 AD 平分 ∠BAC ，所以 DE=DF ，所以四邊形AEDF是正方形，所以 AE=ED=DF=FA ·

因為 ∠BDC=90^°=∠EDF

所以 ∠BDE=∠CDF ，

所以 RtΔBDE?RtΔCDF ·

所以 BE=CF ：

設(shè) BE=CF=x ，又因為 AE=AF ，

所以 AB-BE=AC+CF ，

故 ，

解得 ：

所以 ，

所以

點評此例中構(gòu)造正方形 AEDF ，成功地將角平分線的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)相結(jié)合.在解答過程中，利用角平分線的性質(zhì)得到 DE=DF ，從而判定所構(gòu)造的四邊形為正方形，為建立線段之間的等量關(guān)系提供了便利.

2利用翻折變換構(gòu)造正方形

利用翻折變換構(gòu)造正方形，是基于圖形的翻折性質(zhì)，即翻折前后圖形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.在一些幾何圖形中，通過將部分圖形沿著特定直線翻折，再添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可以構(gòu)造出正方形，進而利用正方形的性質(zhì)解決問題.

例3如圖5，已知 ΔABC 中 ∠ACB=45^°，CD⊥ AB ，垂足為 D，AD=2，BD=3 ，則 CD 的長為∠BCG=∠BCD，BG=BD=3. 再延長 EA、GB 交于點 F 因為 ∠ACB=45^° ，所以 ∠ECG=∠ACE+∠ACD+∠BCD+ ∠BCG=2（∠ACD+∠BCD）=2∠ACB=90^°， 所以四邊形CEFG為矩形.又因為 CE=CD=CG ，所以四邊形CEFG為正方形.設(shè)正方形CEFG的邊長為 x ，則 CD=x ，AF=EF-AE=x-2， BF=FG-BG=x-3. 2在 RtΔABF 中，由勾股定理可知AB²=AF²+BF² ，所以 5²=（x-2）²+（x-3）² 解得 x₁=6，x₂=-1 （舍去），所以 CD=6

點評本題借助翻折變換構(gòu)造正方形 CEFG ，充分利用了翻折前后圖形全等的性質(zhì)，將已知的線段長度和角度信息進行整合.通過構(gòu)造正方形，將AD、BD與所求的CD納入一個直角三角形RtΔABF 中，并利用勾股定理建立方程求解.

3結(jié)語

解析如圖6，將 ΔACD 沿 AC 邊翻折得到

ΔACE ，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知 ΔACD?ΔACE ，則 ∠AEC=∠ADC=90^°， ∠ACE=∠ACD，AE=AD=2. 同理，將 ΔBCD 沿 BC 邊翻折得到 ΔBCG ，根

據(jù)翻折的性質(zhì)可知 ΔBCD?ΔBCG ，則 ∠CGB=∠CDB=90^° ，

在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造正方形解決問題的意識和能力.通過豐富多樣的實例，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察題目條件，精準(zhǔn)捕捉適合構(gòu)造正方形的特征，讓學(xué)生熟練掌握不同構(gòu)造方法的適用場景.同時，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生在面對復(fù)雜幾何問題時，嘗試從不同角度構(gòu)造正方形，探索多種解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和綜合運用知識的能力.

參考文獻：

[1]張全香.構(gòu)造正方形在幾何證明中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2023（10）：5-7.

[2]倪明慧.構(gòu)造正方形化歸熟悉圖形妙解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（18）：62—63.

[3]羅強華，構(gòu)造正方形解題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2021（8）：27-29.

[4]呂強.構(gòu)造正多邊形解題的探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2020（10）：10—11.