一道幾何動點問題的解法分析和教學啟示

1引言

在初中數學教學中，幾何動點問題與函數圖象相結合的題型是重點與難點.下面以2024年安徽中考第10題為例，探討此類問題的解決措施及其帶來的教學價值.

2 試題呈現

例題如圖1，在 RtΔABC 中， ∠ABC=90^° ，AB=4 BC=2，BD 是邊 AC 上的高.點 E，F 分別在邊AB、BC上（不與端點重合），且 DE⊥DF .設AE=x ，四邊形DEBF的面積為 y ，則 關于 x 的函數圖象為（ ）

點評此題是幾何動點和函數圖象相結合的綜合性問題，考查直角三角形的性質、勾股定理、等面積法、相似三角形的判定和性質，函數圖象和解析式等內容，具有較強的綜合性.

3解法分析

解法1過點 D 作 DH⊥AB 于點 H ，如圖2所示.

因為 ∠ABC=90^°，AB=4，BC=2

根據勾股定理可知

因為 BD 是邊 AC 上的高，

所以

所以 （2

在 ΔBCD 中，根據勾股定理得

所以

因為 所以 所以S△ADE 因為 ∠BDF=∠EDF-∠BDE=90^°-∠BDE ∠ADE=∠ADB-∠BDE=90^°-∠BDE ，所以 ∠BDF=∠ADE 易知 ∠DBF=∠DAE ，所以 ΔBDF～ΔADE 所以 所以

所以 ，故選（A）.

解法2 過點 E 作 EH⊥AC 于點 H ，如圖3所示.

根據勾股定理可知

因為 ∠BAC=∠CAB ，

∠ABC=∠ADB=90^°

所以 ΔABCΔΔADB ，

所以 A

所以 （204號

（204號

易知 ΔAEH～ΔABD ， （204號

所以 ，

同解法1可知 △ADE，所以

點評解法一先用等面積法求出 BD ，再根據勾股定理求出 CD 和 AD ；解法二則是利用相似三角形的性質直接求出 BD 、 AD 和 CD .求出相關線段的長度后，解法一將四邊形BEDF分割為 ΔBDE 和ΔBDF ，分別求出 ΔBDE 和 ΔBDF 的面積后再相加即可求出四邊形BEDF的面積，從而得到 的解析式.解法二的思路是用 ΔABC 的面積減 ΔADE 和 ΔCDF 的面積，從而得到四邊形BEDF的面積，進而得到 的解析式.

4 教學啟示

在教學過程中，對于此類幾何動點與函數相結合的問題，教師應做到以下幾點：

（1）強化基礎知識的理解與運用，確保學生能熟練運用這些知識解決幾何問題中的證明和計算問題，為解決復雜問題奠定基礎.（2）培養學生分析圖形的能力，通過識別圖形中的直角三角形、相似三角形等基本圖形，找到解題的切入點.（3）鼓勵學生嘗試多種解題思路，提升思維的靈活性與發散性.