初中數學二次函數性質的綜合問題探討

二次函數作為初中數學中一個極其重要的理論板塊，不僅是連接數學代數運算與幾何圖形的重要橋梁，更在實際生活中具有廣泛的應用，例如，投籃時籃球的運動軌跡、衛星軌道的設計等，

1增減性、最值問題

例1新定義：我們把拋物線 y=ax²+bx+ ∣c∣ （其中 αc≠0 ）與拋物線 y=cx²+bx+a 稱為“相關拋物線”.例如：拋物線 y=3x²+2x+1 的“相關拋物線”是 y=x²+2x+3

已知拋物線 C₁:y=(a-4)x²-2ax+a(a≠ 0且 α≠4 ）的“相關拋物線”為 C₂

(1）寫出 C₂ 的解析式（用含有 α_a 的式子表示）及頂點坐標.

（2）若拋物線 C₂ 經過點 (2，-3) ·

① 拋物線上有兩點 M(x₁，x₂) 和 N(x₂，y₂) ，若 x₁<1，x₂>1，x₁+x₂>2 ，試比較 y₁ 與 y₂ 的大小，并說明理由；

② 當 0?x?k 時， 的最大值和最小值分別是m 和 n ，且 m+n=1 ，試求 k 的值.

解析（1）根據題目中“相關拋物線”的定義，可得知 C₂ 的解析式為 y=ax²-2ax+a-4 ·

因為 y=ax²-2ax+a-4=a(x²-2x+1)- 4=a(x-1)²-4，

所以 C₂ 的頂點坐標是 (1，-4) ·(2)①y₁2 ，理由如下：

將點 (2，-3) 代人 C₂:y=ax²-2ax+a- 4中，

可得 4a-4a+a-4=-3

解得 a=1 ，

所以拋物線 C₂ 的解析式是 y=x²-2x-3 ，所以拋物線的對稱軸是直線 x=1

因為 x₁<1，x₂>1 ，

所以點 M(x₁，x₂) 到對稱軸的距離是 1-x₁ ，點 N(x₂，y₂) 到對稱軸的距離是 x₂-1

又因為 x₁+x₂>2 ，

所以 (x₂-1)-(1-x₁)=x₁+x₂-2>0

所以點 N 到對稱軸的距離大于點 M 到對稱軸的距離.

又因為拋物線開口向上，所以 y₁2 ：

② 由 ① 可知，拋物線 y=x²-2x-3 的對稱軸是直線 x=1 ，拋物線開口向上.

當 0?x?k 時，確定 的最大值與最小值需分類討論：

若 0

當 x=0 時， y 取最大值為 m=-3 當 x=k 時， 取最小值為 n=k²-2k-3

因為 m+n=1 ，所以 n=1-m=4 .

即 k²-2k-3=4 ，可解得 （舍去），若 k>1 ，則當 x=1 時， 取最小值為 n=1²-2×1-3=-4 ，

因為 m+n=1 .

所以 m=1-n=5 ，

又因為 x=0 時， y=-3 ，

所以當 x=k 時， 取最大值為 m=5 ，即 k²-2k-3=5 ，

可解得 k₃=-2 （舍去）， k₄=4 ：

若 k=1 ，

則 m=-3，n=-4 ，

則 m+n=-7≠1 ，與已知條件不符.綜上所述， k 的值是4.

2 交點、整點問題

例2已知在平面直角坐標系中，二次函數 y=

mx²+(4m-1)x+4m+3(m 為常數且 m≠0 )（1）當 m=-1 時，求該函數圖象的頂點坐標；(2）若該函數圖象經過點 A(2-a，b) 和點

B(a+4，b) ，求 ψ_m 的值；(3）是否存在 ψ_m ，使一次函數 y=x+4m+3 的

圖象與該二次函數的圖象兩個交點的橫坐標是連續

的整數？若存在，請求出 Ψ_m 的值；若不存在，請說明

理由.解析(1）當 m=-1 時，二次函數的表達式是 y=-x²-5x-1=-

（2 （20所以該函數圖象的頂點坐標為 （2）因為點 A(2-a，b) 和點 B(a+4，b) 的縱

坐標相同，所以點 A 和點 B 關于函數圖象的對稱軸對稱，所以該對稱軸為直線 ， 可解得 中

(3）存在.聯立 得 mx²+(4m-1)x+4m+3=x+4m+3 ，經整理后可得 mx²+(4m-2)x=0 ，解得 因為二次函數的圖象與一次函數的圖象有兩個不同的交點，所以 (4m-2)²>0 ，可解得 又因為兩函數圖象交點的橫坐標為連續的整數，則易得 x₂=-1 或1，所以當x2=-1時，2-4m 0可解得 當x2=1時，2-4m =可解得 0綜上所述，存在 或 ，使一次函數 y=x +4m+3 的圖象與二次函數的圖象兩個交點的橫坐標為連續的整數.

3結語

對初中數學二次函數性質的綜合問題的深入分析，讓學生不僅加深了對二次函數相關知識的理解與掌握，同時還學會了如何將理論知識靈活應用到解決實際問題中，極大地鍛煉了學生的數學邏輯思維和推理解題能力.學生學會利用代數運算求解二次函數的表達式，了解“分類討論”思想在數學解題中所起到的重要作用，這能調動學生對數學這一學科的學習興趣，進一步激發了學生的求知欲.