初中數學二次函數動點問題解題方法探究

在初中數學知識體系中，二次函數占據關鍵地位，而二次函數動點問題更是中考的重點與難點.深入探究初中數學二次函數動點問題的解題方法，對提升學生數學學習成效具有重要意義.

1 數形結合法

1. 1 方法概述

數形結合法是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，通過“以形助數”或“以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.在二次函數動點問題中，利用函數圖象的直觀性，能夠清晰地展現動點的運動軌跡和相關幾何圖形的變化情況，從而幫助學生找到解題思路，

1.2 實例分析

例1已知二次函數 y=x²-2x-3， 點 P 是該函數圖象上的動點，點 A 的坐標為 (-2，0) ，點 B 的坐標為(4，O).求：當△PAB的面積是6時，求點 P 的坐標.

其對稱軸為 ，令 y=0 即 x²-2x-3=0 ，可求得該函數與 x 軸的交點是(-1，0) 和(3，0).圖象如圖1所示.

然后確定底邊長度和 P 點坐標：設 P 點坐標為(x，y)，ΔPAB 以 AB 為底邊， .AB=4-(-2)=6 ，三角形面積公式 ah(a為底，h 為高)，因為三角形面積為6，所以 ，解得 ∣y∣=2 ，故 y=2 ，或 y=-2 ：

解方程求 P 點坐標，需要分情況討論：

當 y=2 時，解方程，可求得 ，得到 P 點坐標 和

當 y=-2 時，解方程 x²-2x-3=-2 ，可求得 ，得到 P 點坐標 和 ：

所以 P 點的坐標有4個： （2

檢驗解的合理性：依據 P 點的4個坐標分別求三角形的高，再代人三角形面積公式檢驗，4個解均符合要求，因此 P 點可能有4個坐標點.

通過數形結合，將函數問題與幾何圖形面積問題相結合，使問題解決方法更加直觀、清晰.

2 分類討論法

2.1 方法概述

分類討論法是根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將數學對象區分為不同種類，再分別求解的一種數學思想方法.

2.2 實例分析

解析 首先畫出函數的圖象：

例2在平面直角坐標系中，二次函數一 x²+

2x+3=0 的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點（點A在點B 左側)，與 軸交 C 點.點 P 是拋物線對稱軸上的一個動點，當 ΔPAC 的是以 AC 為腰的等腰三角形時，求點 P 的坐標.

解析首先，求 A，B，C 三點坐標：令 2x+3=0 ，可求得 x=-1 或 x=3 ，所以 A 點的坐標為 (-1，0)，B 點為(3，0)，令 x=0 ，得 y=3 ，所以C 點的坐標為(0，3)，可求出函數的對稱軸為 x=1 即 P 點橫坐標為1.

假設 P 點坐標是 (1，m) .因為 ΔPAC 是等腰三角形，所以需要分兩種情況討論：

情況1當 AC=AP 時，過 P 點作 PD⊥x 軸于 D 點，則 D(1，0) .在 RtΔAOC 中， OA=1，OC= 3，根據勾股定理可得 .在RtΔADP 中， AD=1-(-1)=2，PD=|m| .由勾股定理可知 AP²=AD²+PD² ，因為 ，所以 ，所以 ·

情況2當 AC=CP 時，過 P 點作 PD⊥y 軸于 E 點，則 E(0，m).OC=3 ， OE=|m| ， CE= ∣3-m∣，EP=1. 在 RtΔCEP 中，由勾股定理可知CP²=CE²+EP² ，因為 ，所以 ，所以 m=0 或6.

所以 P 點的坐標為： (1，0)，(1，6) .經檢驗四個解均符合要求.

在本題求解中，通過分類討論，全面考慮了等腰三角形不同腰的情況，避免了漏解.

3建立函數模型法

3.1 方法概述

建立函數模型法就是將問題中的數量關系用函數表達式表示出來，建立函數模型，通過對函數性質的研究來解決問題.

3.2 實例分析

例3在矩形ABCD中， AB=6 BC=8 ，點 P 從點 A 出發，沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向 B 點運動，同時點 Q 從點 B 出發，沿 BC 邊以每秒2個單位長度的速度向 c 點運動，當點 Q 到達點 C 時，兩點同時停止運動.設運動時間為 Ψ_t 秒， ΔPBQ 的面積為 s .如圖3所示.

（1）求 s 與 Ψ_tΨ_Ψ 之間的函數關系式，并寫出 Ψ_t 的取值范圍；

（2）當 Ψ_t 為何值時， ΔPBQ 的面積最大？最大值是多少？

解析在兩點的運動過程中， AP=t PB=6- t ，BQ=2t ：

（1）根據三角形面積公式， ，因為點 Q 從 B 點運動到C 點需要的時間為 8÷2=4 （秒)，所以 Ψ_t 的取值范圍是 0?t?4

（2）對于二次函數 S=-t²+6t ，其二次項系數為負數，函數圖象開口向下，其對稱軸為 t= ，所以當 x=3 時， S 有最大值，其最大值為 -3²+6×3=9

本題通過建立函數模型，將幾何圖形中的面積問題轉化為二次函數問題，利用二次函數的性質求出最值.

4利用相似三角形法

4. 1 方法概述

相似三角形在解決二次函數動點問題中具有重要作用.當動點運動過程中出現可判定的相似三角形時，可利用相似三角形對應邊成比例的性質，建立等式關系，從而求解.

4.2 實例分析

例4如圖4所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線 x-2的圖象與x軸交于A、B兩點（點 A 在點 B 左側)，與 軸交 C 點.點 P 是拋物線上位于 x 軸上方的一個動點，過點 P 作 PD⊥ x 軸于 D 點，交直線 BC 于點 E .當 ΔPEC 與ΔAOC 相似時，求點 P 的坐標.

解析首先容易求出 A，B，C 三點的坐標， A 點坐標是 (- 1，0)，B 點坐標是 (4，0)，C 點坐標是(0，-2) ·

設直線 BC 的解析式為 y=kx+b ，將 B，C 兩點坐標值代入其中，可求出直線 BC 的解析式為 y= x-2，設點P的坐標為（x， 2x-2)，則點E 點坐標是 .

因為 ∠PEC=∠AOC=90^° ，所以當 x=5 與△AOC相似時，需要分兩種情況：

情況1 當 時， AO=1，OC=2，PE= EC= x ·則 ，即 x²-5x=0 ，解得 x=0( 舍去)，或 x=5 ，當 x=5 時， 3，所以 P 點坐標為(5，3).情況2 當 時，則 ，即（20號（20 x²-4x=4x ， x²-8x=0 ，解得 x=0 （舍去）或 x= 8，當 x=8 時， ，所以 P 點坐標為(8，18).

綜上，點 P 的坐標為(5，3）或(8，18).

總之，初中數學二次函數動點問題對學生數學素養提出了較高要求.教師在教學中應當強化基礎知識、注重思路引導、開展針對性練習以及培養數學思維能力，有助于學生更好地掌握這些解題方法，提升解決二次函數動點問題的能力.

5 結語

總之，初中數學二次函數動點問題以其綜合性與復雜性，對學生數學素養提出了較高要求.本文對數形結合、分類討論、建立函數模型以及利用相似三角形等多種解題方法的深入探究，為學生提供了系統的解題方法.

參考文獻：

[1]馬生林.二次函數動點問題解題方法指導[J].科學中考，2024(3):26-27.

[2]高學賢.初中數學二次函數動點問題解題方法探究[J].數理天地(初中版)，2023(17)：8-9.