借助構造法，巧解數學題

構造法是解題時利用常規方式難以解答，可以結合已知條件和問題，從另一個角度入手，觀察、分析和解決問題，分析已知和問題之間的關系，有效利用已知數據、形狀等特點，構造新的數學對象，完成問題的解答[1].在初中數學解題中，對于一些難題或者利用常規方式、正向思維難以解決的問題，教師可以引導學生利用構造法，根據題目構造新的對象，有效解決數學問題

1構造方程解決數學問題

從小學階段開始，學生已經接觸了方程知識，在進入初中之后，學習了更多有關方程的內容，如一元一次方程、一元二次方程、方程組以及分式方程等，在解題中常常被使用.在初中數學解題中，對于一些難度大的問題，教師可以引導學生根據題目構造方程，找到新的解題思路，對數學問題進行轉化，快速解決數學問題，

例1已知三個互不相等的實數 x，y，z ，且 x （20 gt;ygt;z ，滿足 x+y+z=1，x²+y²+z²=1 ，求 解 x+y 的取值范圍.

分析通過觀察題目，可以看出題目中的方程關系是一種特殊的關系，屬于三元一次方程和三元二次方程，采取常規的方式難以解答.因此，教師可以引導學生利用構造法，將已知條件和所求問題聯系起來，結合方程知識解題.

解根據 x+y+z=1 ，可以得到 x+y=1-z ，兩邊同時平方可以得到：x²+2xy+y²=1-2z+z²， 因為 x²+y²+z²=1 得到 xy=z²-z ，根據一元二次方程的根與系數的關系，可以得出 x，y 是方程 m²+（z-1）m+（z²-z）=0 的兩

個不相等的實數根，根據 Δgt;0 .所以－1 ，即 又 xgt;ygt;8 ，得出 x+y 的取值范圍是 =

2構造不等式解決數學問題

對于不等式知識，學生在小學階段已經有了初步了解.在初中數學中，不等式知識內容難度增加，深度和廣度也有所提升，不少數學問題中都涉及不等式知識.在初中數學解題教學時，對于部分題目需要引導學生分析其中的關鍵詞，構造相應的不等式模型，有效解決問題.

例2在某工廠內有甲、乙兩種原料，甲原料質量為 360kg . z 原料的質量為 290kg 準備利用這兩種原料生產 A，B 商品50件，生產 A 商品需要甲原料 9kg ，需要 z 原料 3kg ，產生700元的利潤.生產 B 商品需要甲原料 4kg ，乙原料 10kg ，產生1200元的利潤.

（1）根據題目中的條件和要求，有多少方案可供進行兩種商品生產？

（2）設兩種商品的總利潤是 元， A 商品生產 x 件，寫出 與 x 的函數關系式，并且結合函數性質，說一說哪種生產方案的利潤最大，最大利潤是多少？

分析在解題時，需要仔細閱讀題目，將題目條件轉變成數學語言，構建相應的不等式組，根據不等式知識解決問題，確定最佳的方案.

解 （1）設 A 商品生產 x 件，則 B 商品生產50-x 件，

根據題意可以列出不等式組：

求解得出 30?x?32

因為 x 的值為正整數，所以 x 的值為30，31，32，可以得出 B 商品的生產數量為20，19，18.所以一共存在三種生產方案.

（2）根據題意可以得出 y=700x+1200（50- x）=-500x+60000 ，利用一次函數性質可以得知此，隨著 x 的增加 減小.因此，當 x=30 時，存在最大利潤，即 A 商品生產30件， B 商品生產20件，最大利潤為45000元.即 與 x 的關系式為 y=-500x+ 60000，最大利潤是45000元.

3構造圖形解決數學問題

在初中數學課程中，分為代數和幾何兩個部分.在解決初中數學問題時，不僅可以構造代數式子，還能夠構造幾何圖形，結合數形結合思想，有效解決數學問題[2].

例3如圖1所示，在四邊形ABCD中，兩條對角線 AC，BD 的交點是 O ，并且 AC=BD ，AB的中點為 _E，CD 的中點為 F，EF 與 BD 相交于點 _G，EF 與AC相交于點 H .求證： OG=OH ：

分析對于幾何圖形中存在多個中點的情況，大多運用中位線性質解題，因此可以找出 BC 的中點 M ，連接 ME，MF ，由于 E，F，M 分別是 AB，CD ，BC 的中點，構造中位線 EM，MF ，利用三角形中位線定理，證明 ΔEMF 是等腰三角形，利用等邊對等角的性質，證明 ∠MEF=∠MFE ，結合平行線性質，得出 ∠OGH=∠OHG ，最后通過等角對等邊，完成解題.

證明 如圖1所示，取 BC 的中點 M ，連接ME，MF ，

因為 M 為 BC 的中點， F 為 CD 的中點

所以 MF / BD ，且

同理得出

因為 AC=BD ，

得出 ME=MF ， ∠MEF=∠MFE ，

因為 MF//BD ，

得出 ∠MFE=∠OGH ，

同理得出 ∠MEF=∠OHG ，

所以 ∠OGH=∠OHG ，

所以 OG=OH

4結語

初中數學部分題目的難度大，采取常規方式難以解題，因此對于此類問題，教師可以引導學生利用構造法，結合題目已知條件和問題，構造方程、不等式以及圖形等，將問題清楚展示，結合結論與條件的關系，準確找出問題突破點，幫助學生準確解題.

參考文獻：

[1]李宏.靈活運用構造法，提升初中數學解題效率[J].數學之友，2023，37（17）：79—81.

[2]張梅.構造法在初中數學解題中的有效運用[J].數學大世界（中旬），2020（4）：80-81.