解題構圖雙向解析 教學命題二維切換

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用.數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養.模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.能用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義.模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性.

應用意識主要是指有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題.能夠感悟現實生活中蘊含著大量的與數量和圖形有關的問題，可以用數學的方法予以解決；初步了解數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用，通過跨學科主題學習建立不同學科之間的聯系.

1學考一致背景下命題者與教學者的雙向轉化

當前，對素養導向的考試評價改革備受關注.一套試題或者一道題目的命制會遵循如下的考查準則：一是題目的考查內容是關鍵能力 + 學科素養，從關鍵能力角度來說，包含邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力等.數學學科素養包含理性思維、數學應用、數學探究、數學文化等；二是考查要求著重于基礎性、綜合性、應用性、創新性；三是試題情景傾向于課程學習情景、探索創新情景等[2].而對試題研究包含以下三個維度：一是命題者的視角.考查了什么（知識、技能、方法、思想、素養），問題情景的設置與選擇，解題路徑的啟發與創設，思維表達的準確性、完整度與合理性；二是教學者的視角.順利解題所需各要素的培養形成應在哪個階段，哪個知識點，怎樣的教與學中用什么方式完成[3]；三是應考者的視角.閱讀理解、分析聯系、關聯綜合、預設路徑、判斷選擇、反思調整、檢驗評價等.

命題者、教學者、應考者三者之間的橋梁與紐帶就是教學者，教學者與應考者關系緊密，是一個完整的教學體系的構成者，但教學者與命題者之間有一定的脫節，這就無形中要求我們廣大的一線教學者要深度研究教材，研究試題的解法與構造，從設計意圖、考查的知識點和能力等方面學習研究.

2 重溫經典題型，明確解題思路

借助畫板的幾何直觀性，從構圖的角度重新審視數學問題，進而發現新的探究.阿氏圓定理（全稱：阿波羅尼斯圓定理）可具體描述為一動點 P 到兩定點 ^A，B 的距離之比等于定比 m：n ，則 P 點的軌跡是以定比 m：n 內分和外分定線段 AB 的兩個分點的連線為直徑的圓.

在初中數學教學中，阿氏圓定理會被用來解決一些幾何問題.比如找到滿足某種比例條件的點的位置，或者在幾何作圖中構造類似圓；或題目可能給出兩個點，讓學生畫出所有到這兩個點距離比是2：1 的點，然后這個軌跡就是一個阿氏圓.這時，學生需要知道如何用圓規直尺來畫出此圓，或者根據給定的比例確定圓心和半徑.不過，初中階段可能更側重于基礎的幾何知識，比如圓的基本性質、相似三角形、勾股定理等等，而阿氏圓可能會作為拓展內容出現，或者作為競賽題的一部分.例如，可能有一些幾何題目需要利用阿氏圓來找到關鍵點的位置，進

而解決面積、長度等問題

題目 如圖1，正方形ABCD的邊長為 4，?B 的半徑為 ^2，P 是 ?B 上的動點，連接 PD，PC ，則 的最小值是（ ）.

A.6 B.5

解析 解決此類問題的關鍵是轉化 ，變為折線段之和的形式，也就是想辦法借助相似消系數，找到等于 的線段，同時要注意點 P 為動點，所以要構造兩定點一動點的“折線段和”模型，由動點P 所在圓的圓心 B 相關的兩條已知線段 BP=2，BC= 4，正好滿足 關系 ，嘗試在 BC 上截取 BE ，連接 EP （圖2），因為 ∠PBC= A∠EBP ，證得 ΔPBC～ΔEBP ，從而得出 PE= 點 E 在射線 BC 上，且 BE?BR=r² .像這樣的兩個點，被稱為 ?B 的一對“反演點”.

這樣把 轉化為 PD+PE （圖3），轉化為“折線段和最小”問題，當 _D，P，E 三點共線時（圖4）， PD+PE =DE ，此時最小值為5.

此題是典型的阿氏圓問題，解題的關鍵是正確地把握此類題目的基本特征和解題策略，基本特征是兩定點一動點的旋轉運動，含有不是1的系數的折線段和的最值計算，解題的關鍵是將系數不是1的線段等值轉化為系數為1的線段，變成兩定點一動點的折線段和最小的模型，轉化的基本策略是先找到一個定點關于圓的反演點，進而構造共角型相似來解決問題.

在明確上面題目的解題思路和過程后，教師在日常教學中用幾何畫板構造圖形時，常常會進行質疑式深度思考：

（1）題目是阿氏圓的典型問題，題目的條件雖然有一個 ?B ，但它就是阿氏圓嗎？（2）如果它就是阿氏圓，依據是什么？為什么沒有明確的兩個定點，確定的比值又對應題目中哪一個條件？帶著這些疑問，可引導學生利用尺規作圖法進一步自主探究，通過設置問題鏈讓學生進行脈絡化的思考.阿氏圓的構造方法有以下5個步驟：（1）確定定點和比例.給定兩定點 A 和 B ，以及比例常數 k≠1 ，如圖5.

·A k=② B（2）作線段 AB （3）找內分點 C

如圖6，在 AB 上找到點 c ，使得 尺規作圖法：從點 A 作射線，截取 k 個單位長度到點 E ，再延長1個單位到點 F. 連接 F 和 B ，過 E 作 FB 的平行線，交AB 于 c

（4）找外分點 D

如圖7，在 AB 的延長線上找到點 D ，使得 尺規作圖法：從點 A 作射線，截取 k 個單位長度到點 ，反向延長1個單位到點 H. 連接 H 和 B ，過 作 HB 的平行線，交 AB 的延長線于 D

（5）構造阿氏圓.如圖8，以CD為直徑作圓，此圓即為阿氏圓，構造圓上任一點 P ，連接 PA，PB ，度量比值恒等于 k

在幾何畫板進行如下操作：新建參數 t₁=2，t₂= ^3，A，B 兩個自由點，也就是要制作一動點 P 到兩定點 ^A，B 的距離之比等于定比 2：3. 先制作線段 _AB 之間的定比分點，以點 A 為縮放中心，計算 為縮放（204號比，將點 B 縮放得到點 c ;再以點 A 為縮放中心，計算 為縮放比，將點 B 縮放得到點 D ;連接線段 CD 并構造中點 E ，點 E 即為阿氏圓圓心，構造 ?E ，以及圓上任意點 F （圖9）.隱藏多余元素，只保留點 ^A，B 圓、兩參數（圖10），全選創建新工具“定比阿氏圓”，注意工具使用的前提條件是兩參數值和兩定點.

阿氏圓不僅僅是作為解題的依據和思路，更多的時候可以把阿氏圓作為工具，能夠快速精準作圖，以下面兩個三角形中定比點為例.

在等腰直角三角形和等邊三角形中有兩個經典的構圖，一個是在等腰直角三角形內部構造一點，使其到三個頂點的距離之比為 1：2：3 元

如圖11，構造基本圖形，新建三個參數t，t2，3，值分別為1，2，3.利用阿氏圓工具，依次選中參數 t₁ t₂ ，點 c ，點 A ，生成阿氏圓，再依次選中參數 t₂，t₃ ，點A ，點 B ，生成阿氏圓.選中兩個圓構造交點 F，F 即為所求點，隱藏其余元素，只保留三角形和點 F ，連接AF，BF，CF ，度量比值，驗證作圖正確

利用阿氏圓精準繪制圖形之后，很多隱含的定量關系與題目構思也就明晰起來，可以較為輕松地進行題目的命制與解析制作.比如在第一個等腰直角三角形中，猜想 ∠CFA 的度數，并加以證明;通過逆時針旋轉 ΔACF90^° 后，如圖12，借助內部線段比例關系就會證得 ΔBFF^′ 為直角三角形，從而證得結論，還可以進一步探究與挖掘其它結論與命題.

同樣在第二個等邊三角形的作圖基礎上可以進行問題的創作與解析：

（1）∠AFB的度數是多少？并加以證明.（2）求ΔABC 的面積.

解題思路還是借助旋轉，利用內部三條線段的特殊比例關系，推導出特殊角來證明結論，求解答案.在借助畫板作圖（圖13）后，很容易對題目進行深加工和延展

3注重應用，深度解決問題

在幾何題中，可利用阿氏圓分析特定點的位置關系.例如，已知某點滿足到兩定點的距離比為

2：1 ，結合阿氏圓求解線段長度或角度

以三角形問題應用為例，如圖14，直線 _AB 與 x 軸交于點 ^A（4，0） ，與 y 軸交于點 B（0，3） ，在 x 軸上有一點 E（2，0） ，將線段 OE 繞點 o 逆時針旋轉得到OE^′ ，旋轉角為 α（0^°lt;αlt;90^°） ，連接 E^′A，E^′B ，求 的最小值.

思考通過前面的解析，我們雖然知道點A（4，0），點 B（0，3），OA=4，OB=3 ，這兩條線段的比值不等于問題中的非1系數，因為在 x 軸上有一點 E（2 0）， OE=2 ，所以 恰好等于問題中的 E^′B 的系數.這是阿氏圓問題，因為點 E^′ 繞點 o 旋轉，點 E^′ 的軌跡為圓，即為阿氏圓.但現在缺少的是第一個定點，也就是需要輔助添加的點.如圖15，在長線段 OB 上截取 ，使得 為后續構造相似做好鋪墊.在圓上構造任意一點 P ，點 P 到 ^B，F 的距離之比始終等于 2：3. 根據條件證得 ΔBOE^′ 相似于 ΔE^′OF ，這樣就將 轉化成 FE^′ ，當 F，E^′ A 三點共線時出現最小值 AF

4命題分析策略

對于具體題目的解析需要從多方面來進行，比如分題型講解，每種題型的命題特點、解題思路和例題.同時，需要注重學生核心素養的培養，比如邏輯推理、幾何直觀、運算能力等，命題可能會圍繞這些方面展開.還要考慮深層需求，比如如何應對考試中的重難點題，幫助學生系統梳理數學知識結構體系.

因此，在分析命題時，除了相關知識要點，還要重點剖析解題策略，比如數形結合、分類討論、方程思想等[4].另外，在幾何命題分析中借助幾何畫板等工具可以使分析更加直觀詳細，比如經歷幾何命題發現和證明的過程，感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，增強推理能力；引導學生經歷針對圖形性質、關系、變化確立幾何命題的過程，體會數學命題中條件和結論的表述，感悟數學表達的準確性和嚴謹性，會借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，發展模型觀念[5].初中數學解題命題分析主要圍繞知識點的綜合運用、思維能力的考查以及實際問題的數學化展開.因此，無論是教學研究人員還是一線教師，都要不遺余力深入研究，總結反思，提升解題、析題、作圖、命題能力[

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]張麗.數學教師關鍵能力評估與發展研究[M].北京：中國社會科學出版社，2023.

[3]張麗，楊鈺辰.突出素養培育，讓思維可視：2024年中考“統計與概率”專題命題分析[J].中國數學教育，2024（21） ：45-54.

[4]張麗，傅海倫.“雙減”背景下教師教育生態系統模型構建[J].現代基礎教育研究，2022（3）：58-66.

[5]傅海倫，張麗.城鄉教師工作現狀差異分析及測評模型構建：以山東省域數據調查為例[J].教育導刊，2021（10）：38-47.

[6]姜興國.初中數學模型求解策略指導[M].北京：現代教育出版社，2019.

作者簡介張麗（1986—），女，山東聊城人，博士，助理研究員，山東省中學數學教研員，中國教育學會中學數學教學專業委員會理事，大中小數學國家教材建設重點研究基地兼職研究員；主要從事數學課程教學論與中考命題研究；主持完成山東省科技廳軟科學、省教育廳高校人文社科項目、市級社科重點項目、省教育科學規劃重點，教育教學研究項目等8項、參與國家級課題多項；獲國家級獎勵2項、省級獎勵2項、市級社科優秀成果獎4項；獲市社會科學“學科新秀”稱號；獲得全國執教微課大賽二等獎；發表論文30余篇，多篇被人大復印資料全文轉載，獲年度自然科學“中國最具影響百篇國內學術論文”.

李慶賓（1984—），男，山東聊城人，中學一級教師；主要從事教學與中考命題研究.