基于差分進化算法的轉子有限元模型修正

中圖分類號：TB9；TH133 文獻標志碼：A文章編號：1674-5124（2025）06-0141-09

Rotor finite element model modification based on differential evolution algorithm

HUANG Tianyi， LIANG Jie， YAO Shuang， ZHANG Hao， SHI Zhanqun （School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 30o130， China）

Abstract： In the modeling process，constraints imposed by measurement environments and precision often result insignificant discrepancies between specified parameters and actual values of rotor structures，leading to mismatches between theoretical calculations based on the model and measured values. To address this issue， a model correction method has been proposed，combining experimental modalities with the diferential evolution algorithm. Sensitivity analysis of modal frequencies to rotor material parameters have been initially conducted， establishing an objective function based on the confidence levels of modal frequencies and modal shapes.The diferential evolution algorithm has been applied to correct the model's mass and stiffness matrices，followed by the determination of the Rayleigh damping matrix based on experimental modal frequencies and damping ratios.To validate the applicability of the method，the finite element model of a rotor on a sliding bearing experimental setup has been corrected. Comparative analysis with the initial model reveals that the corrected model exhibits modal frequency errors below 0.02% ，and the modal confidence intervals between computed and experimental modal shapes consistently exceed 0.9. To verify the accuracy of the method， frequency response function and unbalanced response simulations have been conducted on the revised model，and the error between the simulation results and experimental results were both less than 2.5% . This method effectively enhances the precision of the rotor system model， providing a practical reference for dynamic analysis and engineering applications.

Keywords： diffrential evolution algorithm; experimental mode; rotor dynamics; model modification

0引言

在能源、電力、航空航天和水運交通等工業領域中，隨著對高功率、高轉速、高可靠性的大型旋轉設備需求日益增長，準確預測和實時監測轉子系統的動態行為變得至關重要，因此需要建立具有高保真度的轉子有限元模型[1-3]。但是在建模的過程中，因受制于測量的環境和精度等因素，轉子結構的幾何尺寸、質量、剛度等參數往往與真實值相差較大，轉子模型的精確度較低從而導致基于模型的理論計算與測量值不匹配。

目前對有限元模型進行修正的方法分為直接方法和迭代方法[4-6。直接法是在滿足模態正交的條件下，通過最小化測量特征向量與計算特征向量之間的加權歐式范數來直接調整質量和剛度矩陣。雖然直接法計算效率高，但修正后模型通常無法保持連通性并且質量和剛度矩陣的修正缺乏明確的物理意義[7。迭代法本質上是一種多目標優化過程，通過對多個修正參數的靈敏度分析保證修正后模型的可靠性，并將其構建成目標函數來表示有限元模型與真實結構之間的差異，運用優化迭代算法獲得最小化目標函數值，使得有限元模型與實際結構相符[8]。此外，迭代方法還能夠充分利用多種優化算法，例如遺傳算法[]、粒子群算法[10]以及模擬退火算法[11]，以提高迭代方法的計算效率。因此與直接法相比，迭代方法在保證計算效率的同時還保持修正后模型的物理意義。張保強[12]基于二次規劃優化算法對軸承的支承剛度、支承阻尼和轉盤的直徑轉動慣量參數進行修正；劉娟[13]通過粒子群算法對轉子系統柔性部件的有限元建模與修正；王金江[14]等采用基于響應面的模態修正對轉子系統的質量和剛度矩陣進行參數更新。

為了進一步提高轉子有限元模型的精度以及模型修正的計算效率，本文提出一種利用差分進化算法對轉子有限元模型進行修正的方法，根據實驗模態頻率和阻尼比確定瑞利阻尼矩陣。通過模態頻率誤差值與模態振型MAC值的高匹配度驗證修正方法的適用性。通過不平衡響應實驗獲得測試數據，并與修正前后的模型數值仿真結果進行對比，驗證該方法的準確性。

1轉子有限元模型建立

1.1 軸段單元

將彈性軸段離散成多個Timoshenko梁單元[15]。如圖1所示，每個單元都有兩個結點，并且在每個結點有兩個平移自由度和兩個旋轉自由度，每個單元的位移向量表示為：

q_e=（x_i，y_i，ψ_i，θ_i，x_i+1，y_i+1，ψ_i+1，θ_i+1）

軸段的運動方程可表示成為：

式中： M_Te 和 M_Re 一 軸單元的平動質量矩陣和轉動質量矩陣;K_e 、 c_e 和 G_e 一 軸單元的剛度、阻尼和矩陣; 轉軸轉速； -作用在相鄰軸段的作用力和力矩。

1.2 剛性圓盤

對于轉子的有限元模型，可假設轉軸上的圓盤組件為剛性[16]。對圓盤節點處的質量和質量慣性矩進行建模，并將其添加到對應節點上，剛性圓盤的動力學方程可以表示為：

式中： M_d 和 G_d —質量矩陣和陀螺矩陣;

Q_d -圓盤兩端的力和力矩；

q_d 圓盤位移向量。

1.3 系統動力學方程

對于具有 n 個單元的轉子系統，將各單元的矩陣進行組合得出系統的運動學方程：

式中： M，C，G 和 K —系統的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；q 系統的位移向量； —系統所受的力和力矩。

2 模型修正方法

該方法首先通過優化算法確定質量和剛度矩陣，隨后利用實驗測量的模態頻率和阻尼比確定阻尼矩陣。圖2給出了模型修正的流程圖。

其中迭代收斂標準是通過允許誤差值計算出目標函數的收斂閾值，當達到收斂閾值后迭代停止。若達不到收斂閾值且在某一點選入穩定狀態可設置最大迭代次數或手動停止來結束迭代。

2.1 差分進化算法

差分進化算法（differentialevolution，DE）是一種用于全局優化問題的進化算法。該理論首先由StornRainer和KennethPrice共同提出。基本流程包括：首先初始化一組種群中的個體，然后通過差分操作生成新的個體，對比新舊個體的適應度，保留適應度更高的個體，逐代迭代這個過程，直到達到停止條件，從而找到最優解[17]。

差分進化的核心是通過變異、交叉和選擇操作來搜索最優解，適用于連續、離散和混合型優化問題。相較于粒子群算法和二次規劃算法，差分進化算法通過引入差異和變異操作來探索解空間，有助于跳出局部最優解的區間，并且由于差分進化算法對初始種群和參數設置的依賴性相對較低。這使得它在處理復雜問題時更具有魯棒性[18]。

2.2基于差分進化算法的模型修正

2.2.1 修正質量矩陣和剛度矩陣

對于轉子的質量矩陣和剛度矩陣修正，先忽略轉子的阻尼矩陣，因此轉子的無阻尼自由振動方程為：

轉子自由振動狀態下做簡諧運動，所以位移向量 q 可表示為：

q=?_Asin（ω_At+θ）

式中： ?_A 1 振型向量;ω_A 1 模態頻率，單位為 Hz θ 相位角，單位為rad。

將位移向量代入運動方程中，得到：

令 λ=ω_A² ，則特征方程為：

det（K-λM）=0

特征方程的 n 個特征根 λ_i（i=1，2，3，…，n） 表示系統的 n 階模態頻率 ，所對應的 ?_Ai 為模態振型。

隨后將有限元模型與實際模型之間的差異轉化為如下的修正變量。

ε_ωi=（ω_Ai（e）-ω_Xi）²

式中： e ——修正變量，例如轉子的彈性模量和密度;ε_ωi 和 —模態頻率誤差和模態振型誤差;ω_Ai（e） 和 ω_Xi 一 為第i階的計算模態頻率和實驗模態頻率。

模態置信區間（modeledassurancelevel，MAC）是一個統計概念，是用來表示計算模態振型與實驗模態振型之間的匹配程度。其定義如下：

式中： {?_X（e）}_i ——第i階實驗模態振型;

{?_A（e）}_i ——第i階計算模態振型。

MAC值的范圍從0到1，其中0表示兩個模態振型之間沒有相似性，而1表示兩個模態振型完全相同。

將 ε_ωi 和 ε_Mi 與權重系數相組合，建立差分進化算法的目標函數如下所示：

其中 K_ωi 和 K_Mi 分別為模態頻率誤差和模態振型誤差的權重系數。

通過差分進化算法對轉子的質量矩陣和剛度矩陣修正：首先利用修正變量計算出 ε_ωi 和 ε_Mi 并將其代入到目標函數中。隨后通過差分進化算法進行迭代，逐步調整修正變量，使得目標函數最小化。得到令目標函數最小化的修正變量即為最優參數值，最后用最優參數值構建質量和剛度矩陣。

2.2.2 修正阻尼矩陣

利用差分進化算法得到修正后的質量和剛度矩陣，進一步可得到修正的阻尼矩陣：

C_update=αM_update+βK_update

式中： M_update 和 K_update （21號 修正后的質量矩陣和剛度矩陣；

α 和 β ——瑞利阻尼系數，可通過下式獲得：

2ζ_iω_Xi=α+βω_Xi²

式中： ζ_i -第i階實驗模態阻尼比，wXi 第i階的固有頻率。

若有多組實驗模態頻率和阻尼比，可采用最小二乘擬合方法求解瑞利阻尼系數。

3修正模型適用性驗證

圖3給出轉子系統模型修正的流程圖，首先對轉子系統先進行計算模態分析和實驗模態分析，通過比較模態參數來進行相關性分析，從而評估有限元模型與實驗模態分析的差異。然后，通過靈敏度分析來選擇修正的修正變量。利用差分進化算法對修正變量進行選優，從而獲得修正后的有限元模型

為了驗證該方法的適用性，對圖4的實驗臺進行模型建立和修正。滑動軸承轉子實驗臺為無錫厚德自動化儀表有限公司生產。該實驗臺是針對油氣混合潤滑狀態下滑動軸承的潤滑特性與動態特性的研究而設計的綜合型實驗臺。

3.1 計算模態分析

轉子通過兩個滾動軸承支撐兩端，中間通過一個滑動軸承進行支撐。剛性圓盤采用6063-T6，通過套圈由一對螺栓固定在軸上。主軸采用1045鋼，中間軸頸尺寸為 40mm ，滾動軸承和剛性圓盤的配合軸段為 20mm ，其余軸段均為 25mm 。

如圖5所示，通過第1節的方法建立轉子有限元模型，將軸離散成14個Timoshenko梁單元和15個質量結點，圓盤位于3號結點，滾動軸承分別位于2和13號結點，滑動軸承位于10號結點。初始模型的前四階模態根據第2節計算得出，計算結果如表1所示。并計算出前四階的振型，其計算結果如圖6所示。

3.2 實驗模態分析

為獲取實驗模態數據，將轉子通過兩根彈性繩水平懸掛，采用多點激勵、單點拾振的方法，用力錘對圖5所示的質量點進行激勵，并通過安裝在結點上的加速度傳感器采集響應信號。如圖7所示。

實驗中所使用的數據采集分析系統為西門子公司生產的LMSSCADAS-CH24數據采集前端和LMSTest.Lab2021A振動噪聲數據后處理軟件平臺。激勵源選擇的是揚州英邁克公司生產的IH-02脈沖力錘，振動加速度傳感器選擇的是北京啟創莫非生產的MPS-ACC01X單軸ICP加速度傳感器。

利用LMS數據采集和處理平臺對模態參數進行測量與各個輸出點響應整合，基于輸入力和輸出響應之間的頻率響應函數關系，提取出轉子系統的實驗模態頻率、實驗模態振型和實驗阻尼比。由圖8可得知前四階的實驗模態頻率分別為376.41、909.72、2383.02、3701.69Hz，前四階的阻尼比分別為 0.33% 0.34% ， 1.66% ， 0.97% 。

3.3計算模態與實驗模態的相關性分析

為了評估有限元模型與實驗模態分析的差距就，需要對實驗模態與初始模型模態的相關性進行分析。

首先是對模態頻率進行分析。將計算模態頻率與實驗模態頻率之間的相對誤差定義為：

模態頻率的相對誤差結果如表2所示。由表中信息所得知一階模態頻率誤差在 8.6836% 左右，二四階模態頻率誤差較大，三階模態誤差較小。總體來說，實驗模態頻率與初始模型的計算模態頻率之間存在較大差異。

其次是對振型的相關性分析，圖9給出了計算模態振型與實驗模態振型之間的MAC值。可以看出第一、二、四階的MAC值均為0.9左右，但是第三階的模態振型形狀與實驗數據的一致性較差，僅有0.77842，因此需要對結構模態參數進一步修正。

3.4 選擇修正變量

作為模型修正的重要組成部分，在進行模型修正前應優先選定合理的修正變量參數；同時還應考慮修正變量的數量，一方面個數不足會導致模型修正結果不理想；另一方面個數過多可能會導致迭代發生發散，因此需要對初選修正變量進行靈敏度分析，為模型修正中的有效參數設置提供理論基礎。一方面由于轉軸和圓盤因為加工技術的影響，另一方面受螺栓緊固套圈的影響，軸和圓盤之間的剛度無法直接獲得，而這又是影響模態的重要參數，因此預先選擇轉軸的密度、彈性模量和圓盤的密度作為修正變量。轉軸的密度用 ρ 來表示，圓盤質量用M 來表示，轉軸的彈性模量如圖10所示。

在初步選擇了修正變量之后，需要通過模態頻率和目標函數的靈敏度分析，對修正變量進行篩選，并以較為敏感的參數作為最終的模型修正變量。如圖11所示，模態頻率對轉軸的彈性模量變化較為敏感，轉軸的密度雖然對靈敏度影響不大，但是對最終計算結果有一定的影響，因此選擇轉軸的密度和彈性模量作為修正變量。

3.5 利用差分進化算法修正模型

在對模型進行修正之前，需要確定目標函數的權重因子。由于低階模態的貢獻量較大、高階振動能量較低，因此主要針對其前兩階的模態頻率和模態振型選取較大的權重系數，如表3所示。

在差分進化算法的迭代過程中，將最大迭代次數設置為60。如圖12所示，目標函數在20步內從96.262逐步減少到7.372，并在60步時達到1.858。圖12還顯示采用蟻群算法（antcolonyoptimization，ACO）和粒子群算法（particleswarmalgorithm，PSO）對目標函數進行優化迭代過程，可以看出差分進化算法相較于其他兩種算法，雖然收斂速度較慢，但由于其全局搜索能力較強，避免陷入最優解，結果最好。最后利用L-BFGS-B對優化后的結果進行微調，目標函數最終結果為0.9004。優化后的彈性模量如表4所示，密度 ρ 從初始的7800kg/m³ 變換為 7858.93kg/m³ 。通過有限元模型可以求解出修正的質量矩陣和剛度矩陣。

迭代后，利用前四階的實驗模態參數和阻尼比，通過式（14）可以計算出瑞利阻尼系數 α 為1.657， β 為 7.516×10^-6 。隨后結合修正后的質量矩陣、剛度矩陣和瑞利阻尼系數，可以通過式（13）得到修正的系統阻尼矩陣。

修正后模型的固有頻率和誤差值如表5所示。可以看出，修正有限元模型的計算模態頻率比以前更接近實驗值，尤其是第一階的計算模態頻率與實驗模態頻率之間的誤差值從 8.6836% 降低到 0.0216% 第二階的計算模態頻率與實驗模態頻率之間的差異從 12.1065% 降低到 0.0182% 。圖13給出了前四階修正模態振型和實驗模態振型的MAC值，與原始模型相比，修正MAC值的匹配度明顯得到了改善；第三階振型的MAC值均有明顯提升。

表4彈性模量修正前后Pa

4修正模型準確性驗證

為了驗證修正有限元模型的準確性，將修正有限元模型的計算頻響函數與實驗頻響函數進行對比。實驗選擇在結點2處施加激勵，同時在結點4處、10處和14處進行測量。圖14、15、16給出實驗頻響與修正有限元模型計算頻響函數的對比結果，可以看出修正有限元模型的頻響函數與實驗頻響函數匹配良好，且修正模型的頻響幅值與實驗測量數據吻合程度高，表6、7、8顯示出實驗頻響函數與修正有限元模型計算頻響函數的共振頻率誤差均在2.5% 以下。這證明了修正有限元模型的阻尼特性得到了更新修正。

為了對修正有限元模型進行進一步的確認，采用不平衡響應的預測對修正模型進行準確性分析。在滑動軸承轉子實驗臺進行轉子不平衡實驗，在圓盤上加載 10g 質量塊并調節電機轉速從 500r/min 變化到 6000r/min ，通過在圓盤附近的電渦流傳感器采集水平和豎直方向的振動位移信號。隨后用修正前后的有限元模型進行仿真計算，并將仿真值與實驗值進行對比如圖17所示，從圖中可以出，實驗結果和修正后模型結果具有較高的一致性。

通過上述實驗可以看出該修正模型對于轉子軸承系統中的階梯主軸有限元模型具有良好的修正效果。由于本文的有限元模型建立將圓盤抽象成質量點施加在節點處，所以理論上是適用于所有多盤轉子。但是需要指出修正效果與圓盤的厚度有關，圓盤厚度與主軸長度的比值越小，修正效果越好。

5結束語

為了進一步提高轉子有限元模型的精度以及模型修正的計算效率，本文提出一種利用差分進化算法對轉子有限元模型進行修正的方法，結論如下：

1）該方法的主要步驟包括兩個階段：首先利用實驗模態數據，應用差分進化算法實現質量和剛度矩陣的修正。然后利用修正后的矩陣和實驗阻尼比確定阻尼矩陣。2）為了驗證該方法的適用性，對滑動軸承轉子實驗臺進行模型建立和修正，通過模態頻率誤差值與模態振型MAC值的高匹配度驗證了修正方法的適用性。3）為了驗證修正方法的準確性，利用仿真與實驗的頻響函數對比和不平衡響應對比，其仿真結果與實驗數據吻合度較高，驗證了方法的準確性。

本方法在轉子穩定運行和振動分析提供一定的實際參考，有利于旋轉機械動態參數的進一步分析。

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（編輯：劉楊）