震級、震中距和場地類別對加速度譜與偽加速度譜關(guān)系的影響

杭保健，張海仲，趙衍剛，

（1.北京工業(yè)大學(xué)城市建設(shè)學(xué)部，北京 100124；2.神奈川大學(xué)工學(xué)部建筑學(xué)科，日本橫濱221-8686）

引言

近一個(gè)世紀(jì)以來，反應(yīng)譜理論經(jīng)過不斷的發(fā)展和完善，已被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中。如今，基于反應(yīng)譜的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)成為用于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)最主要的方法之一。世界多數(shù)抗震規(guī)范都是以反應(yīng)譜的形式來表征地震作用力的。我國抗震規(guī)范［1］用加速度反應(yīng)譜標(biāo)定了地震影響系數(shù)［2-3］。加速度反應(yīng)譜表示最大加速度響應(yīng)隨自振周期變化的關(guān)系，它對應(yīng)于作用在結(jié)構(gòu)上的慣性力［4-6］，在數(shù)值上等于恢復(fù)力和粘性力之和。然而，歐美及其他一些國家的抗震規(guī)范使用的則是偽加速度反應(yīng)譜［7］。偽加速度反應(yīng)譜是在小阻尼比的假設(shè)下由加速度反應(yīng)譜近似得到的［8］，它忽略了粘性力的作用，因此恰好對應(yīng)于作用在結(jié)構(gòu)上的恢復(fù)力。既往研究［9-12］表明，加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜在阻尼比相對較小時(shí)非常接近，能夠互換使用。然而當(dāng)阻尼比較大時(shí)，例如基礎(chǔ)隔震系統(tǒng)和附加阻尼結(jié)構(gòu)［13］，兩者相差很大，互換使用會帶來很大誤差。具體地，在大阻尼比情況下，用加速度反應(yīng)譜代替?zhèn)渭铀俣确磻?yīng)譜來估算恢復(fù)力會造成設(shè)計(jì)過于保守，反之用偽加速度反應(yīng)譜代替加速度反應(yīng)譜來估算慣性力則會使設(shè)計(jì)力偏小。為了能夠從規(guī)定譜得到另一種譜（加速度反應(yīng)譜或偽加速度反應(yīng)譜），從而能夠同時(shí)合理地評價(jià)慣性力和恢復(fù)力，并且避免構(gòu)建新的規(guī)范反應(yīng)譜，有必要明確加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系。

加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的相關(guān)研究已經(jīng)取得了一些研究成果。Sadek 等［9］、Song 等［11］和Mentrasti［4］分別基于實(shí)際地震動(dòng)記錄的統(tǒng)計(jì)分析和振動(dòng)理論探討了加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系。這些研究專注于結(jié)構(gòu)阻尼比ξ和周期T對兩個(gè)譜之間關(guān)系的影響。Papagiannopoulos 等［12］通過分析866條地震加速度時(shí)程，發(fā)現(xiàn)震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系也存在影響。然而，這些地震參數(shù)具體如何影響兩者的關(guān)系在其研究中并未討論。而這些具體的關(guān)系對于合理地確立兩個(gè)譜之間的關(guān)系式卻是重要的信息。文中旨在通過對大量地震動(dòng)記錄的統(tǒng)計(jì)分析，系統(tǒng)地探討震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響，并且提出一個(gè)考慮這些參數(shù)的將這兩種譜進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換的表達(dá)式。

1 加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜

為了闡明加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系，本節(jié)從理論定義出發(fā)簡單地討論了兩個(gè)譜和他們的工程應(yīng)用。對于線性單自由度體系考慮粘滯阻尼并遭受地震動(dòng)加速度時(shí)程的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為式（1）或式（2），

式中：m、c、k、ξ、ω分別為質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度、臨界阻尼比（ξ=，以下簡稱為阻尼比）和固有圓頻率，分別為相對位移、相對速度和相對加速度響應(yīng)。由于反應(yīng)譜對應(yīng)于單自由度體系響應(yīng)的最大值，相對位移反應(yīng)譜Sd、相對速度反應(yīng)譜Sv和絕對加速度反應(yīng)譜Sa（以下簡稱加速度反應(yīng)譜）分別定義為Sd=|x(t)|max、。

偽加速度反應(yīng)譜PSa是在小阻尼比假設(shè)下對Sa的近似，可表示為，

從Sa的定義可知，Sa對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的慣性力，并且計(jì)算結(jié)構(gòu)基底剪力V時(shí)需要確定慣性力［5］，所以Sa適合于結(jié)構(gòu)基底剪力V的計(jì)算，表示為，

相似地，從PSa的定義可以發(fā)現(xiàn)PSa與恢復(fù)力對應(yīng)，并且在確定上層主體結(jié)構(gòu)的地震作用力時(shí)需要計(jì)算恢復(fù)力［4］，所以PSa適用于結(jié)構(gòu)恢復(fù)力F的計(jì)算，即

圖1 不同阻尼比情況下Sa與PSa結(jié)果對比Fig.1 Comparison of Sa and PSa with different damping ratios

2 地震動(dòng)記錄的選擇

文中為了分析震級、震中距和場地類別對Sa與PSa關(guān)系的影響，從日本K-NET 和KiK-net 臺網(wǎng)（https：//www.kyoshin.bosai.go.jp/kyoshin/）選取了大量的實(shí)際地震動(dòng)記錄。K-NET 和KiK-net 臺網(wǎng)是由日本國家地球科學(xué)與災(zāi)害預(yù)防研究所（NIED）建設(shè)和管理的強(qiáng)震動(dòng)臺網(wǎng)，有豐富的地震動(dòng)記錄和翔實(shí)的臺站場地資料，為探討震級、震中距和場地類別對Sa與PSa的關(guān)系提供了必要的條件。文中選取了338個(gè)觀測站的8 330條地震動(dòng)記錄，其中每條地震動(dòng)記錄的2 個(gè)水平分量（EW 和NS 方向）被選用，共計(jì)16 660 條地震加速度時(shí)程，選定震級M為4.0～9.0，震中距R為10～200 km，不考慮近場地震的影響，最大加速度大于20 Gal。為簡化起見，采用分組的形式進(jìn)行討論。根據(jù)NEHRP［15］規(guī)定的30 m 覆蓋土層平均剪切波速將場地分為A、B、C、D、E這5 類。KiK-net 臺網(wǎng)觀測站的土層剪切波速數(shù)據(jù)超過30 m，可直接計(jì)算30 m 覆蓋土層平均剪切波速。K-NET 臺網(wǎng)僅提供了至多20 m 覆蓋土層剪切波速信息，文中根據(jù)現(xiàn)有資料計(jì)算了20 m 覆蓋土層平均剪切波速。根據(jù)Kanno［16］的研究，可通過下式轉(zhuǎn)換為

整理發(fā)現(xiàn)A 類場地很少，所以只分析場地B、C、D、E 的情況。在場地分組內(nèi)，考慮到各組數(shù)據(jù)數(shù)量上的平衡，根據(jù)震級分為4.0≤M＜5.5，5.5≤M＜6.5 和M≥6.5，再根據(jù)震中距分為10≤R＜50 km，50≤R＜100 km 和100≤R≤200 km。基于場地類別、震級和震中距的共計(jì)36組地震動(dòng)記錄分組見表1。

表1 基于震級、震中距和場地類別的地震加速度時(shí)程分組Table 1 Seismic acceleration time histories grouping based on magnitude，epicentral distance and site class

續(xù)表

3 震級、震中距和場地類別對Sa/PSa的影響分析

根據(jù)以上分組，文中對結(jié)構(gòu)周期T=0.01 s～10 s（間隔取0.01 s）、阻尼比ξ=5、10、20、30、40、50%的彈性單自由度體系進(jìn)行計(jì)算，得到Sa與PSa，并對兩反應(yīng)譜取平均值，系統(tǒng)分析了震級、震中距和場地類別對Sa與PSa關(guān)系的影響。

3.1 震級的影響

圖2～圖5分別展示了不同場地類別條件下震級對Sa/PSa的影響，可以得到：（1）Sa/PSa值在4.0≤M＜5.5時(shí)最大，在M≥6.5時(shí)最小，Sa/PSa值隨著震級的增大而減小，即Sa與PSa的差異隨著震級的增大而縮小；（2）隨著震級的增大，Sa/PSa值衰減速率變小，即Sa與PSa的差異在小震級時(shí)對周期的變化更為敏感；（3）任意場地類別、震中距情況下的Sa/PSa值趨勢相同，且不同場地類別下的Sa/PSa值差異很小，可知震級相對于震中距和場地類別起主導(dǎo)作用。從圖中還可以觀察到與以往研究相似的結(jié)果，具體體現(xiàn)為：Sa/PSa值在ξ=10%時(shí)最小，在ξ=50%時(shí)最大，Sa/PSa值隨著阻尼比的增大而增大，即Sa與PSa的差異隨著阻尼比的增大而增大；Sa/PSa值隨著周期的增大而增大，即Sa與PSa的差異隨著周期的增大而增大。50≤R＜100 km、100≤R≤200 km的對比結(jié)果與上述結(jié)論相同，限于篇幅原因不再贅述。

圖2 B類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.2 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios

圖3 C類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.3 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios

圖4 D類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.4 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios

圖5 E類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.5 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios

3.2 場地類別的影響

圖6～圖8 分別展示了不同震級條件下場地類別對Sa/PSa的影響，可以得到：（1）在4.0≤M＜5.5 的情況下，場地E的Sa/PSa值最小，且明顯低于其他場地；在T＜8 s時(shí)，Sa/PSa值在場地B條件下最大，其次為場地C和D；在T=8～10 s 時(shí)，場地C 的Sa/PSa值最大。（2）在5.5≤M＜6.5 的情況下，任意阻尼比情況下，場地E 的Sa/PSa值最小；場地C 和場地D 的Sa/PSa值基本相同；場地B 的Sa/PSa值在短周期時(shí)明顯高于其它場地條件，在長周期時(shí)與場地C、D 情況下相當(dāng)。（3）在M≥6.5 的情況下，除場地E 外，Sa/PSa值在場地B 條件下最大，在場地C條件下次之，在場地D條件下最小；場地E的Sa/PSa值隨著周期的增大而增大，在T=10 s時(shí)達(dá)到最大，且增長速率明顯高于其他場地情況。

圖6 4.0≤M＜5.5時(shí)不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.6 Sa/PSa values of 4.0≤M＜5.5 with different damping ratios

圖7 5.5≤M＜6.5時(shí)不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.7 Sa/PSa values of 5.5≤M＜6.5 with different damping ratios

圖8 M≥6.5時(shí)不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.8 Sa/PSa values of M≥6.5 with different damping ratios

3.3 震中距的影響

圖9～圖12分別展示了不同場地類別條件下震中距對Sa/PSa的影響，可以得到：（1）對于場地B，10≤R＜50 km條件下的Sa/PSa值在長周期段最小，且明顯低于震中距為50≤R＜100 km 和100≤R≤200 km 的情況；對于場地C、D、E，Sa/PSa值在不同震中距情況下的差異不明顯。（2）與震級和場地類別相比，震中距對Sa與PSa關(guān)系的作用很小，可不考慮震中距的影響。

圖9 B類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.9 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios

圖10 C類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.10 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios

圖11 D類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.11 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios

圖12 E類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.12 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios

3.4 阻尼比和周期影響的理論分析

通過上述震級、場地類別和震中距對Sa/PSa的分析，可以證實(shí)阻尼比和周期對Sa/PSa存在影響。本節(jié)從理論上分析了阻尼比和周期對Sa/PSa的影響。根據(jù)式（2）、式（3）以及Sd、Sa的定義，Sa/PSa可表示為，

設(shè)tx為相對位移反應(yīng)x(t)達(dá)到最大值的時(shí)刻，這一時(shí)刻x(t)的一階導(dǎo)數(shù)為0，則有|x(t)|max=|x(tx)|、=0，由于全局最大值必然大于或等于某一時(shí)刻的值，所以將其代入式（6）的分子可得，因此≥1，從而PSa總是小于等于Sa，當(dāng)阻尼比為0 時(shí)等號成立。

根據(jù)不等式性質(zhì)，式（7）可表示為：

結(jié)合Sd、Sv和偽速度反應(yīng)譜PSv的定義，引入系數(shù)δ使得上式等號成立，式（8）可表示為：

式中0＜δ≤1，PSv=ω·Sd。

令β=，上式可表示為，

式中β是關(guān)于阻尼比和周期的函數(shù)，且β＞0。

文中計(jì)算了16 660 條地震加速度時(shí)程在不同阻尼比情況下的β值，結(jié)果均顯示β隨周期和阻尼比增大而增大的趨勢。圖13 為16 660 條地震加速度時(shí)程在阻尼比為10%、30%和50%情況下β的平均值，從圖中可看出β隨周期和阻尼比的增大而增大。結(jié)合式（9）可知，Sa/PSa與周期和阻尼比呈正相關(guān)，即Sa與PSa的差異隨著阻尼比和周期的增大而呈增大趨勢。

圖13 16 660條地震加速度時(shí)程在不同阻尼比情況下的β的平均值Fig.13 Average values of 16 660 seismic acceleration time histories β under different damping ratios

4 Sa/PSa的非線性回歸分析

本節(jié)建立了考慮以上參數(shù)的Sa與PSa互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)表達(dá)式，由前面分析可知，震級對Sa與PSa關(guān)系的影響最為顯著，場地類別次之，震中距的影響很小。為簡化起見，不考慮震中距對Sa與PSa關(guān)系的影響。使用MATLAB 軟件對同一震級和場地類別情況下的Sa與PSa均值之比進(jìn)行非線性回歸分析，通過嘗試大量函數(shù)形式確定的Sa/PSa經(jīng)驗(yàn)公式為：

式中，ξ、T分別為結(jié)構(gòu)阻尼比和周期，a、b、c為回歸參數(shù)。表2 為利用非線性最小二乘法原理，使用MATLAB軟件求出的對應(yīng)于12組情況的回歸參數(shù)以及擬合優(yōu)度R2。當(dāng)阻尼比為0時(shí)，上式等于1，符合在小阻尼比情況時(shí)Sa與PSa相等的邊界條件。

表2 非線性回歸分析參數(shù)Table 2 Parameters of nonlinear regression analysis

圖14（a）～（c）分別為場地B、C、D，不同震級情況下的實(shí)際地震動(dòng)記錄與擬合曲線之間的對比。可以看出，擬合曲線與實(shí)際地震動(dòng)記錄吻合較好，所提經(jīng)驗(yàn)公式可以很好地反映Sa與PSa之間的關(guān)系。其他的結(jié)果與圖14相似，限于篇幅原因不再贅述。

圖14 實(shí)際地震動(dòng)記錄與擬合曲線的Sa/PSa值對比Fig.14 Comparison of Sa/PSa values between actual ground motion records and fitting curves

最后，文中通過與以上實(shí)際地震動(dòng)記錄結(jié)果對比，對現(xiàn)有Sa與PSa的轉(zhuǎn)換式進(jìn)行了檢驗(yàn)，其代表性結(jié)果如圖15 所示。Sadek 等［9］，Song 等［11］和Mentrasti［4］所提轉(zhuǎn)換式均只與阻尼比和周期有關(guān)，對于不同的震級和場地類別，Sa/PSa的值不變。Papagiannopoulos 等［12］給出了一個(gè)統(tǒng)一的經(jīng)驗(yàn)公式，按照震級、震中距和場地類別的不同分組給出了回歸參數(shù)的值，圖中是其震級分別為6.6～6.6，6.7～7.3，7.4～8.0的結(jié)果。文中選取了阻尼比為30%，場地類別為C，震級為4.0≤M＜5.5，5.5≤M＜6.5，M≥6.5的實(shí)際地震動(dòng)記錄作為對比。可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有轉(zhuǎn)換式均與實(shí)際地震動(dòng)記錄偏差較多，不能較好的反映Sa與PSa之間的關(guān)系。

圖15 現(xiàn)有Sa/PSa轉(zhuǎn)換式與實(shí)際地震動(dòng)記錄的對比Fig.15 Comparison between existing Sa/PSa transformation and actual ground motion records

5 結(jié)論

文中通過分析16 660條地震加速度時(shí)程，對結(jié)構(gòu)周期范圍T=0.01 s～10 s間隔取0.01 s，阻尼比為5、10、20、30、40、50%的單自由度結(jié)構(gòu)體系的反應(yīng)譜進(jìn)行計(jì)算，系統(tǒng)分析了震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響，提出了兩者互相轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn)公式。文中的主要結(jié)論歸納如下：

（1）加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的差異隨著結(jié)構(gòu)阻尼比和周期的增大而呈增大趨勢。

（2）震級對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系有顯著影響。在任意阻尼比下，加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異隨著震級的增大而縮小，且在小震級時(shí)對周期的變化更為敏感。

（3）場地類別對加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響弱于震級且受震級大小影響。震級較小時(shí)，加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異在場地E條件下最小，在場地B、C、D 條件下無明顯差異；震級較大時(shí)，加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異在場地B條件下最大，在場地E條件下的增長速率明顯高于其他場地情況。

（4）與震級和場地類別相比，震中距對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響很小，可不考慮其影響。

（5）與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比，提出的經(jīng)驗(yàn)公式表現(xiàn)良好，可實(shí)現(xiàn)加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜之間的互相轉(zhuǎn)換。