雙材料含橢圓熱夾雜的平面應變問題解析解

中圖分類號：034 文獻標志碼：A 文章編號：1000-582X（2025）04-040-14

A closed-form solution to an elliptic cylindrical thermal inclusion in a bi-material under pne strain

LIU Jun'， Feodor M. Borodich'，LYU Ding2，JIN Xiaoqinglb

（. College of Aerospace Engineering； lb. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing

University， Chongqing 40o044， P.R. China； 2.Department of Biomedical Engineering， Wayne State University， Detroit 48201， America）

Abstract： This article addresses the plane strain problem of a bi-material system containing an elliptical cylindrical thermal inclusion. Using Eshelby's inclusion analysis method， we derive closed-form analytical solutions forthe elastic field induced by the thermal inclusion.Inspired by Dundurs' parameters，we introduce a new material parameter （ranging from to 1） and five tensorially structured expressions to succinctly represent the analytical solution， facilitating its practical applications. For circular inclusion scenarios， the analytical solution simplifiessignificantly，and wederiveexplicit jumpconditions fordisplacement，strain，andstres at the bonded interface of thebi-material.Byadjusting theYoung's moduli and Poisson'sratios of thebi-material，the solution can reduce to cases of a full orhalf-plane containing a thermal ellptical inclusion.The accuracy of the proposed solution is validated through consistency with previously published analytical results and by matching numerical solutions from the literature， confirming the correctness and reliability of the derived analytical expressions.

Keywords： elliptic thermal inclusion； perfect bonded interface； bi-material； closed-form solution

雙材料問題的研究在許多工程實際中有重要應用，例如，芯片傳感器、壓電層和壓磁層3。雙材料的理論研究經常使用Dundurs參數，即 a 和β。Dundurs指出，雙材料的應力和應變解可以通過Dundurs參數的組合來表示。將雙材料中含熱夾雜的解析解與Dundurs參數相結合，可以厘清解對材料參數的相關性、簡化公式并促進解析解的推廣[5]。

自從Eshelby取得突破性成果以來，關于材料中含夾雜物的各種問題也得到了廣泛的研究。然而，大多數研究都集中在全空間的夾雜物上，相較之下，對具有更廣泛適用性的雙材料的研究相對較少。結合界面周圍彈性場的分布隨著結合條件的變化而變化，如果考慮到橢球體夾雜的影響，彈性場將變得更加復雜[0]。Mindlin等借助Galerkin矢量應力函數，獲得了無限半空間內含球形熱夾雜物的彈性場解析解。1965年，Dundurs等通過對已知半空間解的疊加，得到了由2個無摩擦接觸結合半空間中點力產生的彈性場解。

Chiu利用了伽遼金矢量法，得到了全空間長方體夾雜應力的三重傅里葉積分表達式，并根據胡克定律和幾何方程求出應變場和位移場。基于鏡像法，將全空間與鏡像空間中的夾雜物分別產生的彈性場進行疊加，再將對稱表面上的殘余應力消除，即獲得半空間長方體夾雜的應力場和表面位移場。Ju等通過引人共焦虛擬橢球的外單位法向量，推導出了全空間橢球夾雜外場點的Eshelby張量。2022年，李璞等等利用數值等效夾雜算法與快速傅里葉變換求解了全空間內夾雜物與刃型位錯的交互能。謝東東研究了半平面矩形夾雜彈性場的基本單元解，通過結合疊加原理和FFT算法可求解出半平面含任意夾雜的數值解。即使是矩形夾雜解的二重積分結果也很復雜，為了更加簡潔明了地呈現出最終的單元解，謝東東在推導半平面矩形夾雜基本單元解時引人了金曉清等 年提出的一種單元解的記號方法。

雙材料中存在的熱夾雜往往會改變其機械性能，從而影響整體的可靠性和疲勞壽命。因此，推導雙材料含熱夾雜的解析解可以從微觀力學角度理解此類材料的潛在失效機制，并為優化相應的材料性能提供理論基礎[2。早期的學者們研究并推導了在2個完全結合或無摩擦接觸結合半空間中由熱膨脹引起的彈性場的解[21-3，這些解相較于Mindlin推導出的半空間基本解更為復雜。Yu等推導了2個完全結合半空間的Galerkin矢量應力函數，并使用勢函數及其導數來簡化位移和應力的隱式表達式。另外，Walpole推導出了雙材料中均勻夾雜物產生的彈性場的隱式解析解。

2016年，Wang等推導出了2個完全結合半空間之一中含有基本立方體夾雜的彈性場的解析解，Yu等[推導出了2個無摩擦結合半空間之一中含基本立方體夾雜物的彈性場的解析解。Li等27-28已經得到了在2個不完全結合半空間中由均勻立方體夾雜引起的彈性場的解析解。最近，Lyu等推導出了由2個完全結合的半空間之一中含橢球熱夾雜引起的彈性場應力、應變和位移的解析解。目前，關于雙材料中由夾雜引起的彈性場解析解主要是集中在三維條件下研究的，相應解析解表達式比較復雜，也不便于應用。對于雙材料的熱夾雜物問題，現有文獻并沒有針對平面應變情況下相關解析解的報道。事實上，平面應變條件下的解析解能夠以封閉形式給出，更加便于應用，同時也具有重要的理論意義。

筆者在平面應變條件下，推導出了雙材料中位移、應力和應變場的顯式解析解。同時，通過引人取值范圍為-1～1的新型材料參數和5個類張量表達式，能以更為緊湊統一的形式表示最終的解析解，也為深入探索雙材料的力學性能與材料組合參數之間的內在聯系提供了重要的理論支撐。

1雙材料中含橢球熱夾雜的解析解

2 雙材料中含橢圓熱夾雜的解析解

3分析解析解及其在特定案例中的應用

討論了4個相關主題，第1個主題介紹了雙材料含圓形熱夾雜的解析解；第2個主題報告了在雙材料結合界面處的跳躍條件；在第3小節中，通過將雙材料的彈性模量之比設置為1、0或無窮大，研究了雙材料的3種特定組合（即全平面、半平面和剛性基體）；第4個主題使用參數算例來研究雙材料的材料參數組合對彈性場解的影響。

3.1雙材料含圓形熱夾雜的所有封閉解

圓形熱夾雜的所有解可以通過結合公式（33）與公式 （23）～（30） 獲得，這些解的形式仍然與第2節中橢圓夾雜解析解的形式相同，但5個類張量表達式發生了相應的變化。這些類張量表達式便于編程驗證最終解，通過編程驗證，在全平面中含圓形夾雜的解析解在數值上與已發表文獻中的解相同[33]。此驗證也證明了本文所呈現解析解的正確性。

3.2 結合界面處的跳躍條件

3.3當前解析解與已知解析解之間的對比分析和比較驗證

通過改變雙材料的彈性模量比為1，0和無窮大，研究了雙材料的3種特定組合，即全平面、半平面和剛性基體。提出了3個基準示例，以比較和分析當前的解析解與相應文獻中已發表的解析解[332]。在這3個示例中，橢圓熱夾雜嵌入在半平面 I 中，以（0，3）為中心，橢圓的2個半軸的長度分別為3.0和2.0。表1提供了有關橢圓夾雜物的其他幾何信息。

表2列出了在3種條件下雙材料的材料參數。在3種情況下，半平面I的楊氏模量定義為 320GPa 。在全平面、半平面和剛性基體情況下，半平面 I I 的楊氏模量分別定義為 。在這3種情況下，除第2種情況下平半面Ⅱ的泊松比為0外，其余泊松比為0.3。在編程驗證過程中，為了保證數值解的高精度，使用FORTRAN語言對最終解析解進行雙精度編程。先前發表文獻中的解析解被用于驗證本文研究中獲得的解析解的正確性。

3.3.1 全平面

從上述5個方程中可以得出，全平面中含橢圓熱夾雜的正應力之和在橢圓內是恒定的，而在橢圓外消失。這一結果與1999年 論文中得出的結論一致。此外，本文研究表明，上述結論也適用于全平面橢圓

熱夾雜正應變的關系。此外，2方向的正應力是1方向的正應力和3方向的正應力的總和。

3.3.2半平面

設置 和 （即 ），將雙材料問題轉換為半平面問題。將 代入公式 （23）～（30） ，得出半平面橢圓夾雜的解析解，其中，結合界面可以被視為沒有任何牽引力的自由表面。將推導出的半平面橢圓夾雜的解析解與Lyu等推導出的橢球夾雜的解析解進行比較。將橢球的3個半軸分別設為 和 ，并進行數值模擬。結果表明，橢圓夾雜與橢球夾雜的數值解基本一致。如圖3（b）～（d）所示，在橢圓夾雜內，2方向和3方向上的位移與坐標呈線性關系，而其余點的位移與坐標呈非線性關系。半平面 I I 中的正應變之和為0，應力值均為0。在橢圓夾雜物中，正應力和正應變都不是恒定的，而剪切應力和剪切應變均為0。在完全界面處，由于材料參數的變化，應力和應變均有跳變。

3.3.3 剛性基底

當 視為無窮大時，將橢圓熱夾雜物嵌人與剛性基底完全結合的半平面中， 的值為 將 （即 代入公式 （23）～（30） ，得出橢圓熱夾雜的所有解析解。值得注意的是，在半平面 I I 中，所有位移和應變均為0，而應力不一定為0。半平面 I 和 I I 的楊氏模量分別設置為 320GPa 和 320000GPa 。觀測線的數值解結果如圖4（b）～（d）所示，所有位移 和 在雙材料的結合界面處都是連續的，而其余的應變和應力分量在完美界面處跳躍。在橢圓夾雜物界面處，所有位移 和 都是連續的，而其余的應變和應力分量會發生跳躍。在橢圓夾雜物內，剪切應力和剪切應變為零，正應力和正應變非恒定。

本文關于結合雙材料含橢圓形熱夾雜的解與Lyu等[給出的結果完全一致，并且與先前學者的實驗結果[34]有較好的吻合度。

3.4 參數研究

橢圓夾雜物的幾何參數如表1所示。在參數研究中，半平面I的材料參數保持不變（即 GPa， 0.3），半平面 I I 和 I 之間的剪切模量比（即 分別等于 0.2、0.5、2"和5。表3列出了2個半平面的材料參數。圖5和圖6呈現了剪切模量比分別為0.2和5時的彈性場的解。

在點 和 處存在

同時， 和 在上述2點處是連續的，因此， 和 在這2點處是連續的。

從圖（2）～（6）可以看出，在完美界面上（即 ），除全平面算例外， 和 是連續的，而 和 是跳躍的。這與3.2節中結合界面處的跳躍條件相呼應。

圖7呈現了4個不同剪切模量比情況下應力張量跡的值。從圖7中發現，在橢圓夾雜外，當剪切模量比 T 小于1時，應力張量跡的值大于零；當剪切模量比 T 大于1時，應力張量跡的值小于零。這意味著在熱膨脹情況下，當橢圓夾雜位于較軟的相中時，結合界面會吸引它，但如果橢圓夾雜嵌入較硬的相中，結合界面則會排斥它。應力張量跡的值在半平面 I I 中始終等于0，在橢圓夾雜內部始終小于0。

4結束語

在平面應變體系的公式中，推導出了各向同性雙材料中含橢圓熱夾雜引起的彈性場的顯式解析解。然而，二維和三維解析解都存在同樣的問題，即橢圓夾雜外部點的解析解非常復雜。為了解決這一問題，利用假想的共焦橢圓和單位外法向量，使解析解得以更緊湊地表達。受到Dundurs參數的啟發，定義了1個新的材料參數y（取值范圍為-1＼～1），將涉及3個材料參數的解析解簡化到僅與2個材料參數相關。通過提取解析解中的許多相同表達式，最終，二維橢圓熱夾雜的所有解析解都以更加統一簡潔的形式表達，從而極大地簡化了最終的解析解并減少了后續編程驗證時的工作量。

為了從機理上理解雙材料解析解在結合界面處的連續性，還討論了雙材料中含橢圓熱夾雜物引起的彈性場在結合界面處的跳躍條件。為了確保解析解的正確性，通過調整楊氏模量和泊松比，將當前解與已發表的全平面和半平面中的解析解進行比較并驗證。驗證結果表明，當前解與相應的全平面和半平面中的解析解高度一致，表明推導出的解析解是正確的。在全平面中，橢圓熱夾雜內的正應力值和正應變值保持不變，在橢圓熱夾雜外正應力之和與正應變之和均等于0，2方向的正應力值等于1方向的正應力值和3方向的正應力值的總和。最后，給出了在剛性基底情況下，雙材料含橢圓熱夾雜解析解的示例圖。在這3種情況下，橢圓熱夾雜內的剪切應變和剪切應力始終等于0。

仔細推導并研究了雙材料結合界面處的跳躍條件。在對材料參數進行研究時表明，在熱膨脹情況下，當夾雜物位于較軟的半平面時，結合界面會吸引橢圓夾雜物，而當夾雜物嵌入較硬的相時，結合界面會排斥橢圓夾雜物。

參考文獻

[1]HuS M.Stres-related problems in silicon technology[J].JournalofApplied Physics，1991，70（6）：R5-R80.

[2]LiP，Jin FExcitationandpropagationofshearhorizontalwavesinapiezelectriclayerimperfectlybondedtoametalo elastic substrate[J].Acta Mechanica， 2015， 226（2）： 267-284.

［3]LiuJXWangYHWang BLPropagationofshearhorizontalsurfacewaves inalayeredpiezoelectrichalf-spacewithan imperfec interface[J]IEEETransactionsonUltrasonics，Feroelectrics，andFrequencyControl57（8）：71879.

[4]ChenDH，HironobuN，Toshio.Effectofelasticnstantsonstressinmulti-hasesunderplaneeformation[]Engineering Fracture Mechanics， 1994， 48（3）： 347-357.

[5]HillsDAKellPADaiDNetalolutioofcrackprolems：thedistributeddislocationtechnique[]ouafAplied Mechanics， 1998， 65（2）： 548.

[6]EshelbyJD.Thedeterminationoftheelasticfieldof anelipsoidalinclusionandrelatedproblems[]Proceedingsofthe Royal Society of London Series A， 1957， 241（1226）： 376-396.

[7]Li S F， Wang G.Introduction to micromechanics and nanomechanics[M].Singapore： World Scientific， 2008.

[8] Mura T. Micromechanics of defects in solids[M]. Dordrecht： Springer Netherlands， 1982.

[9]MirsayarMM，ShiX，ZollngerDG.Evaluationofinterfacialbond strengthbetweenPortlandcementconcreteandasphalt concrete layers using bi-material SCB test specimen[J]. Engineering Solid Mechanics， 2017： 293-306.

[10]YuHWang ZJWangQAnalyticalsolutionsfortheelasticfieldscusedbyeigenstrainsintwofrictionlessyjoedhalfspaces[J]. International Journal of Solids and Structures， 2016， 100： 74-94.

[11]MindlihengDherelastictessiemfiiteslid[]uaofAplidyscs1（9）.

[12]DundursJHetenyiM.Transmisionofforcebetweentwosemi-infinite solids[]JournalofAppliedMechanics，1965， 32（3）： 671.

[13]ChiuYPOnthestressfieldduetoinitialstrains inacuboidsuroundedbyaninfiniteelasticspace[]JouralofApplied Mechanics，1977， 44（4）： 587-590.

[14]ChiuYPOnthestressfieldandsurfacedeformationinahalfspacewithacubodalzoneinwhichinitialstrainsareunifo[]. Journal of Applied Mechanics， 1978， 45（2）： 302-306.

[15]JuJWSunLZAnvelfolatioforeexteriorpotEshelby'sensoofanlipsodaliclusion[]JouaofAplied Mechanics， 1999， 66（2）： 570.

[16]李璞，朱凱，侯佳卉，等.非均質材料與位錯交互能的數值等效夾雜算法[J].工程力學，2022，39（7）：10-18. LiP， ZhuK，Hou JH，et al.Anumericalequivalent inclusion methodfor determining the interaction energy between inhomogeneities and dislocations[J]. Engineering Mechanics， 2022， 39（7）： 10-18. （in Chinese）

[17]謝東東.半平面含任意本征應變分量夾雜問題的基本單元解研究[D].重慶：重慶大學，2022. XieDD.OntheelementarysolutionofEshelby'sinclusion witharbitraryeigenstraincomponents inanelastichalf-plane[D]. Chongqing： Chongqing University， 2022.（in Chinese）

[18］金曉清，牛飛飛，張睿，等.均布激勵基本單元解析解的一種記號方法[J].上海交通大學學報，2016，50（8）：1221-1227. JinXQ，NiuFF，Zhang R，etal.Anotationforelementarysolutiontouniformlydistributedexcitationoverarectangular/ cuboidal domain[J].Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2016， 50（8）：1221-1227.（in Chinese）

[19]Liu Z，Fang M，ShiL，GuYChen Z，ZhuWCharacteristicsofcrackingfailureinmicrobumpjointsfor3Dchip-chip interconnections under drop impact[J]. Micromachines， 2022，13： 281.

[20]Wang HT，Wang GZ，XuanFZetal.Anexperimentalinvestigationoflocalfactureresistance andcrackgrowth pathsina dissimilar metal welded joint[J]. Materials amp; Design， 2013， 44： 179-189.

[21]AderogbaKOneigenstresses insmthlysolderedsolids[]Internationalournalof Enginering Science，198119（5）： 729-736.

[22]DundursJGuellDL.Centerofdilatationandthermalstressesinjoinedelastichalf-space[MDevelopmentsiTheoetical and Applied Mechanics. Oxford： Pergamon Press， 1965： 199-211.

[23]GuellDL，Dundurs J.Furtherresultsoncenterofdilatationandresidual stresses in joinedelastichalf-spaces[M]/ Developments in Theoretical and Applied Mechanics. Amsterdam： Elsevier， 1967： 105-115.

[24]YuHYSandaySCElastifeldsinjonedalf-spacesduetucleiofstrain[]roceedingsoftheRoaSocietyofon. Series A： Mathematical and Physical Sciences， 1991， 434（1892）： 503-519.

[25]WalpoleLJ.Aninclusioninoneoftwojoinedisotropicelastichalf-spaces[J]IMAJournalofAppliedMathematics，1997， 59（2）：193-209.

[26]Wang ZJYuHWangQAnalyticalsolutionsforelasticfieldsausedbyeigenstrainsintwojoinedandperfectlybodedhalfspaces and related problems[J]. International Journal of Plasticity， 20l6， 76： 1-28.

[27]LiDLWangZJWangQExplicitanalyticalsolutinsforelasticfieldsintomperfectlyndedhalf-spaceswithal inclusion[J]. International Journal of Engineering Science， 2019， 135： 1-16.

[28]LiDLWangZJYuHetal.Elasticfieldscausedbyeigenstrainsintwojoinedhalf-spaceswithaninterfaceofoupled imperfectionsdislocatio-likeandforce-likeonditions[]teatioalJoualofEngineeingScence6：.

[29]LyuD，Jiang ZZZhuKetal.Theexplicitelasticfieldfortwoperfectlyondedhalf-spaceswithanelipsoidaltheral inclusion[J].International Journal of Mechanical Sciences， 2022， 236： 107745.

[30]JinXQKeerLMWangQAclosed-fomslutiofortheEshelbensorandtheelasticfieldutsdeanelipticclidrical inclusion[J].Journal of Applied Mechanics， 201l，78（3）： 031009.

[31]JinXQZhangXNLiPetalOnthedisplacementofadimensioalEshelbyclusnofelipticclindricaae[] Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（7）： 074501.

[32]LyuD，ZhangXNLiPetal.Expliitanalyticalsolutionsforthecompletelasticfieldroducedbyanelipsidalel inclusion in a semi-infinite space[J]. Journal of Applied Mechanics， 2018， 85（5）： 051005.

[33]RuCQAnalytic solutionforEshelby'sproblemofaninclusionofarbitraryshape ina planeorhalf-plane[]Jounalof Applied Mechanics，1999， 66（2）： 315-322.

[34]YuHYWeiYN，ChiangFPLoadransfer atimperfect interfaces：dislocation-likemodel[]InternationalJoualof Engineering Science， 2002， 40（14）： 1647-1662.

（編輯鄭潔）