由一道七年級上學期期中考試壓軸題引發的教學思考

壓軸題往往閱讀量大，覆蓋的知識面廣，綜合運用知識的能力要求比較高，解題難度大，易使學生對問題的解決產生恐懼心理。因此，對于壓軸題的分析講解，要有別于其它習題的講解，盡量避免就題論題的講授方式，在講解過程中要注重對通性、通法的總結，使學生再做題時能夠做到心中有想法；要注重數學思想、數學模型的歸納與分析，使學生夠順利突破思維瓶頸，再做題時能做到心中有方向；要注重對解題后的反思，使學生做到知一題而會一片，進而發現命題規律。以下是筆者對由一道七年級上學期期中考試壓軸題引發的教學思考。

一、題目呈現

該題是陽山縣2023-2024學年第一學期期中教學質量檢查七年級數學試題第23題，原題如下：

如圖，點A，B，C是數軸上三點，點C表示的數為9，BC＝6，AB＝18.

（1）寫出數軸上點A，B 表示的數：_________，_________；

（2）動點 P，Q 同時從 A，C 出發，點 P 以每秒 3 個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點 Q 以每秒 2 個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為 t （t＞0）秒．①當 t＝2 時，求出此時PQ的距離；② t 為何值時，點P，Q相距6個單位長度，并寫出此時點P，Q在數軸上表示的數.

二、解題分析

（一）題目考查內容與解題分析

本題主要考查的知識點是：實數與數軸、幾何動點問題、幾何直觀、應用意識、分類討論思想的應用。（1）根據點C所表示的數，以及BC、AB的長度，即可寫出點A、B表示的數。

（2）①根據題意得：AP＝3t，CQ＝2t，從而得到在數軸上點P表示的數是：－15+3t，在數軸上點Q表示的數是：9－2t，把t＝2代入可求得在數軸上點P、Q表示的數，最后根據數軸上的兩數可求得PQ的距離；②此題三種解法，解法一可根據題意分別表示P、Q兩數，再利用絕對值的性質進行求解；解法二可根據題意分別表示P、Q兩數，再利用數軸上兩數的距離等于右邊的數減左邊的數分兩種情況進行解答；解法三則求出P、Q兩點的速度和，然后再分P、Q兩點相遇前、相遇后兩種情況分別計算出運動時間即可求得P、Q兩點表示的數。

（二）解答

（1）設點A表示的數為m，點B表示的數為n，∵點C表示的數為9，BC＝6，∴9－n＝6，解之得：n＝3，∴點B表示的數為：3，∵AB＝18，∴3－m＝18，解之得：m＝－15，∴A表示的數為：－15，故答案依次填：－15；3；

（2）①∵動點 P，Q 同時從 A，C 出發，點 P 以每秒 3 個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點 Q 以每秒 2 個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為 t （t＞0）秒，且t＝2，∴AP＝3t＝6，CQ＝2t＝4，在數軸上點P表示的數是：－15+3t＝－9；在數軸上點Q表示的數是9－2t＝5；∴PQ的距離為：5－（－9）＝14；答：當 t＝2 時，PQ的距離為14。

②解法一：依題意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在數軸上點P表示的數是：－15+3t，在數軸上點Q表示的數是：9－2t；當點P、Q相距6個單位長度時，則有： ，解得：t＝6或t＝3.6，當t＝6時，－15+3t＝3，9－2t＝－3；當t＝3.6時，－15+3t＝－4.2，9－2t＝1.8；綜上所述，當t=6或t=3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應的數分別為：3，－3或－4.2，1.8

解法二：依題意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在數軸上點P表示的數是：－15+3t，在數軸上點Q表示的數是：9－2t；Ⅰ當點P在點Q的左側時，則有： ，解之得：t＝3.6，Ⅱ當點P在點Q的右側時，則有： ，解之得：t＝6，綜上所述，當t＝6或t＝3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應的數分別為：3，－3或－4.2，1.8

解法三：∵BC＝6，AB＝18，∴AC＝AB+BC＝18+6＝24，∵點P以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，∴點P、點Q的速度和為：3+2＝5單位長度/秒，∵點P，Q相距6個單位長度，∴Ⅰ當點P與點Q相遇前，則有：t＝（24－6）÷5＝3.6（秒），即：t＝3.6秒；Ⅱ當點P與點Q相遇后，則有：t＝（24+6）÷5＝6（秒），即：t＝6秒。綜上所述，當t=6或t=3.6時，點P、Q相距6個單位長度，點P、Q對應的數分別為：3，－3或－4.2，1.8

三、教學思考

（1）注重培養核心素養。在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，將數學課程要培養的學生核心素養表述為“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。核心素養在初中階段的主要表現為“三能力、三觀念、兩意識、一直觀”，即“抽象能力、運算能力、推理能力、空間觀念、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識、幾何直觀”。

就這一題而言，綜合考查了學生的運算能力、模型觀念等核心素養。事實上，在初中階段，無論是哪一個年級的壓軸題，都注重考查學生綜合運用知識的能力與注重數學核心素養的考查，因此，在平時的教學中，必須注重數學核心素養的培養，讓學生在初中數學學習中逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，讓學生獲得適應未來發展必需的“四基”，提升學生的“四能”，提高學生學習數學的興趣與學好數學的信心，使學生養成良好的學習習慣，培養學生的科學精神。

（2）注重滲透數學思想。在初中段主是以下幾種數學思想：轉化（或化歸）思想、數形結合思想、分類討論思想、數學建模思想、整體思想。就這一題而言，第（1）小題主要運用數形結合思想與數學建模思想（方程模型）；第（2）小題的第①問主要是運用轉化（或化歸）思想、數形結合思想；第（2）小題的第②問主要是轉化（或化歸）思想、數形結合思想、分類討論思想、數學建模思想等。因此，在平時的教學中，必需注重數學思想的滲透，讓學生在潛移默化中學會運用。如在化簡求值的題目講解時，可適當滲透整體思想；在有理數的混合運算中，利用有理數的減法運算法則把減法轉化成加法，利用有理數的除法運算法則把除法轉化成乘法等，滲透轉化（或化歸）思想；用數軸描述有理數的有關概念和運算（相反數、絕對值等概念，比較有理數的大小，利用數軸探究有理數的加法法則、乘法法則等）時滲透數形結合思想；在絕對值的討論中滲透分類討論思想；在用方程或不等式解決實際問題時透數數學建模思想。

（3）注重建立數學模型。何為數學模型？廣義的數學模型是指一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程以及由之組成的等算法系統；狹義的數學模型是指反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構。

在初中段主是以下幾種數學模型：方程模型（主要有一元一次方程、二元一次方程及方程組、一元二次方程）、函數模型（主要有一次函數、反比例函數、二次函數）、不等式模型（主要有一元一次不等式與一元一次不等式組）、統計與概率模型、三角與幾何模型（主要是解直角三角形的應用）。

就這一題而言，第（1）小題主要運用一元一次方程模型進行解答；第（2）小題的第①問主要是運用正比例函數模型進行解答；第（2）小題的第②問主要一元一次方程模型進行解答。

事實上，在初中數學的教學中，很多時候都是在幫助學生建立數學模型，因此，在平時的教學中，必需注重數學模型的建立，讓學生在潛移默化中學會運用。