學生需求 教材要求 課改追求

2024年9月，北師大版初中數學新教材（以下簡稱“新教材\"）在七年級全面使用，與上一版教材相比，新教材中有一個十分明顯的變化就是在一些章節的末尾增添了“問題解決策略”專題，如在七年級上冊“代數式”一章的最后增添了“問題解決策略：歸納”，在七年級上冊“一元一次方程”一章的最后增添了“問題解決策略：直觀分析”。教師在面對這一新增內容時常常犯難，不知這類課到底要讓學生掌握什么，如何更好地掌握，又該如何在教學中體現出教材的設計意圖。為了能更好地將編寫者心中的教材轉變為教師教學中有價值的素材，筆者在“第十屆全國新世紀杯初中數學優質課評比與觀摩活動”中設計了一節“問題解決策略”示范課，呈現出此類課該有的樣態。下面，筆者將從新教材七年級下冊“問題解決策略：特殊化”一課的設計、思考出發，力圖呈現這類課的教學方法、理念，供初中數學教師參考。

一、新教材相關教學內容分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在《義務教育數學課程標準（2011年版）》的基礎上，不僅將“發現和提出問題，分析和解決問題”（“四能”）再次作為數學課程總目標之一，還進一步強調“在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”，具體表現為注重問題解決的全過程，既關注發現問題、提出問題，又關注分析問題、解決問題，同時給出了具體實施建議“探索真實問題”“運用數學和其他學科的知識和方法”，以此發展學生的數學核心素養。教材作為教育教學的重要內容載體，承載著“四能”發展的育人要求，因此教師設計一些讓“四能”外顯，既強調全過程，又凸顯發展路徑的學習資源至關重要。

為了促使學生明確地獲得一些重要的思想方法，提升其后續解決問題的能力，新教材在部分章節末尾增加了“問題解決”專題（共計12個，“問題解決策略”7個，見表1；“問題解決活動”5個，見表2。）本文著重研究“問題解決策略”這一主題。此做法改變了以往教學中慢慢“滲透”思想方法的方式，將一些數學思想方法由隱”變“顯”，從而讓學生更有效地梳理經驗，掌握一類問題的解決方法，真正做到“數學內部規律化”。

“問題解決策略：特殊化”是北師大版初中數學新教材七年級下冊第四章“三角形”的最后一節內容。在本章的學習中，很多地方都體現出研究問題“特殊”的重要性，如在對三角形進行分類時，可以按內角的大小分類，將其與“直角”這一特殊角的大小進行比較繼而分類；又如，在探索三角形全等的條件時，可以先從內角的具體度數或邊的具體長度等這些特殊的情況為切人點進行研究，再推廣到一般的情況加以研究。

“特殊化”不僅是數學學科所獨有的策略，在很多學科中也會用到，如物理、化學、生物學等。它是一種重要的思維方式和問題解決的策略，能夠幫助學生在面對一般性問題或復雜問題時，通過從特殊情形先開展研究，轉化為特殊問題或簡單問題，從而獲得對研究一般問題的初步理解和直觀感受，為最終回到解決一般問題奠定基礎。考慮到“特殊化”策略在數學中的重要價值和意義，本節課的學習目標有如下兩點：一是通過對具體問題的探究、分析，了解“特殊化”策略的意義、使用條件和一般步驟，發展推理能力。二是通過對“特殊化\"策略的理解、內化，能靈活運用其解決一些簡單的問題，提高分析問題、解決問題的能力。

二、指向“特殊化\"策略的教學設計

為了讓學生逐步獲得“特殊化”策略，筆者將本節課的標題確定為“像數學家一樣思考——尋找問題解決的策略”，這樣的方式讓學生獲得策略不是“坐享其成”的過程，而是探索、發現的過程。在具體實施時，教師可以“問題導向”的方式，結合足夠的交流、反思，讓學生自己發現、體會到“特殊化”策略的作用及解決問題的要點。

【問題1】數學的研究總會面對一些問題，如“三角形的三條中線的交點、三條高所在直線的交點、三條垂直平分線的交點是否共線”。又如，“一個三位數除以它各位數字之和，商最大是多少你覺得數學家遇到這些問題時，可能會如何研究它們？采用什么樣的策略呢？”

【設計意圖】教師上課伊始就提出兩個具有挑戰的難題，激發學生的學習興趣，讓學生猜想數學家的解題策略。這一做法，學生易于接受、參與。在猜想的過程中，學生會不自覺地體會到“特殊”的作用，為后續學習作好鋪墊。此處，教師并不需要直接給學生答案，而是讓懸疑留到本節課結束時，到時答案自然會呈現。

【問題2】剛剛的話題其實很有意義，因為站在巨人的肩膀上，用他們的思維去研究問題定會事半功倍。但是，猜想別人是怎么想的會有一定的難度，我們如何去尋找一些策略，以便更好、更快、更有方向地解決問題？下面，我們一起來研究這個問題：

有兩個邊長為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點 E 與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點 E 旋轉的過程中（PPT呈現幾何畫板制作的動態圖，即正方形EFGH繞點 E 旋轉的動態圖，不以靜止圖方式出現），兩個正方形重疊部分的面積是多少？請畫圖并計算。

【追問1】黑板上呈現了四位同學的作品（如圖1），請這四位同學分別作出分析和評價，從以下三個方面敘述：你為什么要這樣畫，好處是什么？根據你畫出的圖得到的重疊部分的圖形面積是多少？請你指出別人在畫圖解決問題時的優點或缺點可能是什么？

【追問2】有的同學畫了好幾幅圖，請說一說，你為什么會畫這幾幅圖來解決問題呢？你的思考過程是什么？

【追問3】回顧剛剛這個問題分析、解決的過程，大家有什么感悟？

【追問4】在解決什么樣的問題時，我們可能會從特殊情形人手？又該如何尋找特殊情形？

【設計意圖】教師引導學生從猜想數學家解題的思路跳躍到具體的題目上，聚焦到本節課最為關鍵的環節。學生借助動態圖，自行畫圖解決問題。由于正方形EFGH停留位置的不同，重疊部分的形狀也會不同，可能是特殊的正方形或等腰直角三角形，也可能是一般的四邊形，學生自主嘗試解決。隨后，教師選擇四位學生上黑板畫圖，并通過他們的作品進行追問1，得到不同圖的優缺點（前兩幅圖更容易求出答案，但是不具一般性；后兩幅圖具有一般性，可以轉化為前兩幅圖，但是計算比較麻煩，不容易解決），以及重疊圖形的面積。在學生分別說四幅圖的優、缺點時候，其余學生可以自然地體會到“特殊”與“一般”的關系及優缺點，為后面“特殊化\"的產生作鋪墊。這一追問很有意義，不僅讓學生在\"異中求同、同中辨異\"的過程中了解到各幅圖的優、缺點，也慢慢將其思維“可視化”。追問2揭示了“特殊化”的意義及步驟，即遇到一個一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，這樣更容易、方便。追問3和追問4均為反思性問題，旨在讓學生回看研究的過程，逐步將“意識流”轉變為“有效經驗”，為后續問題的解決提供一般性思路：當一個問題有無數種可能時，可以先從特殊的情況入手，獲得一個猜想，進而擴展到一般情況下進行研究，這一過程中的關鍵是“限制不確定因素，如點的位置、圖形的形狀等”。

值得注意的是，若想讓學生以后可以更好地使用“特殊化”策略，教師一般需要在明確策略后進行升華凝練（如下頁圖2），明確實施路徑及要點，即“特殊化”實際上是一個從一般到特殊再到一般的過程。在從一般到特殊時，關鍵是“有目的地“退'”，所謂的“有目的”就是限制不確定因素，如圖形的形狀、點的位置、數的大小等；“退”到特殊的狀態下便能獲得可能的方法和結論，便可以“有方向地‘進””。這種先“退”后“進”的方式，“退”是為了更好地“進”，最終解決一般性問題。

【問題3】點 P 是等邊三角形ABC內的任意一點，過點 P 向 A B，B C，C A 三邊作垂線，垂足分別為 D，E F 。請探索 A D+B E+C F 與 Δ A B C 周長之間的關系。這個題目你打算如何研究？請給出研究的方案及可能的結果。

【設計意圖】通過設計，學生已經知曉了“特殊化”策略的作用，也明白了其一般步驟及實施要點。問題3可視為策略的鞏固、運用階段。既然之前已經明確了策略，那么本題中解決問題并不是最為重要的。事實上，學生能自然地想到用策略，并再次體會策略的價值，這才是更為重要的。所以，教師在此處選擇了難度較大的問題，旨在讓學生自主設計方案，經歷“弄清題意一擬訂計劃一實施計劃一回顧反思”的過程，體會策略應用的整套流程。由于題目較難，學生可能還會體會到“問題越難，特殊化的意義越大\"這一重要結論。

【問題4】老師一開始就讓同學們猜一猜數學家可能用什么樣的辦法研究問題。現在，大家心中一定有了答案。那么，運用“特殊化”策略，你覺得那兩個問題，遇到特殊的情形會是什么樣的？

【設計意圖】教師設計的這個問題相當于讓學生進行“再思考”，也是給上課之初懸念的一個“答復”。這樣的設計，讓一節課充滿思考，從一開始的“迷茫、猜測”，到最后的“清楚、篤定”，以潛移默化的方式培養了學生質疑問難、自我反思的學習習慣和勇于探索的科學精神。

【問題5】通過今天的學習和研究，你有什么收獲？

【追問】以后在遇到什么樣的問題時，你可能會采用今天學到的方法？

【設計意圖】反思有利于學生在自己的認知中再思考，更好地建構數學知識體系，不僅能夠達到“溫故而知新”的學習效果，還能促進學生學會學習，逐步形成有效的經驗，并將其遷移、運用到更多的新問題中。正如數學家弗賴登塔爾所說：“沒有反思，學生的理解水平不可能從一個水平升華到更高的水平。”此處的設計就是明顯的“反思”之舉，面向未來。

為了呼應前面的設計，標題應在最后呈現，建議教師最后可以設計這樣的一段話來做總結提升，為這節課的學習畫上句號：進步無止境，今天的學習大家一定對“特殊化”策略有了深刻的認識，“特殊”能為你打開一扇窗，提供思路和方法；“一般”又能讓你看見一片林，獲得普遍性的結論，數學的學習并不簡單，但是如果大家能像數學家一樣“有策略”地去思考，數學學習就會容易得多，相信今天大家就尋找到了一種“有方法\"的問題解決的策略：特殊化（展示課題）。

三、相關教學的思考與建議

基于上述對新教材相關內容的分析及指向“特殊化\"策略的教學設計，教師應思考這樣分析與設計的原因，并總結這類課的整體教學建議。

（一）注重參與、交流，指向學生的需求

學生的需求是什么？新課標中指出，教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引導學生積極思考，鼓勵學生質疑問難。因此，此類課的教學要落實“學為中心”的理念，讓學生在課堂上多參與、多交流，激發他們學習的興趣，使其認知“從無規則到有規則”\"從模糊到清晰”，逐步學會學習。

在本節課的教學中，教師設置了如下頁圖3這樣的教學過程，設置“猜數學家的想法”這樣趣味的問題，引發學生的思考（遇問題），再讓學生自主嘗試解決，“逼”出學生“下意識”的想法（想問題）。然后，教師讓學生交流做法、分析優劣（研問題），不僅能發展學生的批判性思維能力，還能加深學生對問題的認識，繼而使其初步獲得方法并了解到方法的實施要點（獲方法）。接著，教師給予學生足夠的開放空間，讓其用此方法試著獨立解決問題（用方法），加深對方法的認識。最后，教師通過引導學生反思，明晰具體策略（明策略），最終指向新問題的解決。事實上，“問題解決策略”專題的教學都可以采用這樣的學習路徑，讓學生自主建構認知，教師給予足夠的時間和空間，逐步讓學生從“被逼迫\"到“主動明了”。

（二）注重調整、適應，指向教材的要求

教材的要求是什么？教材絕不是學習的終點——教授教材上的知識，讓學生機械化地掌握，解決教材上的題目，每道題都不遺漏地訓練；而應當是學習的起點—基于教材提供的資源學習數學，引發學生持續地思考，最終獲得足夠的經驗解決更多的問題。

“問題解決策略：特殊化”專題的設置目的并非讓學生遇到更多的難題，見到形式多樣的問題后感受到數學的變幻莫測，而是讓學生在研究問題的同時體會到數學的“講道理”，發現數學內在的規律。例如，本節課學到的方法就是數學學習中常常用到的一般策略：特殊化。同時，教師需要讓學生在經歷問題研究的過程中，真正理解數學、愛上數學，并把這種方法運用到生活中的方方面面。因此，教師要根據學生學習能力的強弱、認知的差異及時進行調整，要靈活地使用教材。教師可以采用開放式的教學方式，如本節課采用的方式（即可以采用教材提供的方式），其針對性更強。比如，教材展示了兩位學生的具體做法，讓學生開展分析、對比，最終獲得“特殊化”策略。再好的教材也需要結合學生的實際，落實于行動中，因為適合的才是最好的，這才是教材想要表達的理念。

（三）注重歸納、反思，指向新課改的追求

新課改的追求是以學科核心知識為依托、以學科核心活動為載體，基于新課標和新教材，通過有效的處理方式，實現對學生數學核心素養的培養，讓學生形成“有效經驗”，從而面向未來。

對于“問題解決”專題，教師始終要有這樣的定位：“經驗”往往比“解決這個問題”更為重要。因此在教學時，教師不能將“獲得答案就結束”\"解決題目至關重要”作為信條，而是要關注“策略\"和“辦法”。學生交流后需要多歸納、多反思，對“規律”和“本質”加以提煉，明晰其背后的“邏輯”。教師要讓學生感受到策略的“必然性”和“優越性”，使學生從“自發使用\"到“明晰價值”，最終達到“運用自如”的境界。

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（責任編輯：楊強）