親歷實踐過程，形成“三會”素養(yǎng)

綜合與實踐活動能幫助學生聯(lián)系數(shù)學知識和生活情境、數(shù)學學科和其他學科，讓學生運用數(shù)學知識解決生活中的實際問題，解釋生活中的具體現(xiàn)象，從而讓學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

綜合與實踐活動“自行車里的數(shù)學”，主要是讓學生在活動中學會學習和理解數(shù)學知識，感悟知識存在的價值。

一、課前思考

“自行車里的數(shù)學”是學生學習“比例”單元后的綜合與實踐活動，目的是讓學生運用學過的圓、排列組合、比例等知識觀察生活中的自行車，感受數(shù)學在生活中的廣泛應用。教師要引導學生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題一提出問題—分析問題一建立模型—尋找答案一解釋應用\"的問題解決過程。

“自行車里的數(shù)學”一課要研究兩個問題：一是研究普通自行車的速度與自行車內(nèi)在結(jié)構(gòu)的關系，讓學生找一輛普通自行車測量其前齒輪齒數(shù)、后齒輪齒數(shù)和車輪半徑，探究前齒輪、后齒輪的齒數(shù)與它們轉(zhuǎn)數(shù)的關系，計算自行車轉(zhuǎn)1圈的路程；二是研究變速自行車能變化出多少種速度，讓學生找一輛變速自行車測量其前齒輪、后齒輪的齒數(shù)，思考轉(zhuǎn)同樣的圈數(shù)哪種組合使自行車走得最遠。

因此，筆者將本節(jié)綜合與實踐活動的教學目標確定為：（1）讓學生經(jīng)歷“自行車里的數(shù)學\"的探究過程，發(fā)現(xiàn)“普通自行車的速度與自行車內(nèi)在結(jié)構(gòu)的關系\"和“變速自行車能變化出多少種速度”；（2）獲得“四能”，形成“三會\"素養(yǎng)，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。

二、教學活動

1.認識自行車的組成，感悟\"一-對應\"思想

師：同學們，你們想過簡單的自行車里藏著我們學過的哪些數(shù)學知識嗎？

學生回答：（1）自行車上面有三角形的架子，運用了三角形具有穩(wěn)定性的特征；（2）自行車的車輪在旋轉(zhuǎn)，是圖形的運動；（3）自行車的兩個輪胎是圓形的，用到了圓形的知識。

師：這節(jié)課我們就來研究“自行車里的數(shù)學”。你們知道自行車是如何行進的嗎？

生1：自行車踏板帶動前齒輪，前齒輪帶動鏈條，鏈條帶動后齒輪，后齒輪帶動后輪，后輪帶動整個車身，車身帶動前輪，于是自行車就往前動起來了。（學生鼓掌）

師：我們知道自行車靠后輪往前推，前輪用于控制方向。當前齒輪、后齒輪、鏈條、后輪、前輪這些零件組合在一起，就變成了自行車里最重要的部分，這便是自行車的動力系統(tǒng)。大家看，當踏板轉(zhuǎn)1圈時，前齒輪剛好轉(zhuǎn)動了1圈。前齒輪上面有一個個尖尖的凸起，我們把它叫作小齒。一個尖尖的凸起叫作1齒，同學們數(shù)一數(shù)前齒輪和后齒輪分別有多少齒？

生2：前齒輪的齒數(shù)是14，后齒

輪的齒數(shù)是 10

師：我們來觀察，鏈條中間有一個個小洞，把齒輪裝在鏈條上面，1個小齒剛好對應1個洞。你們能聯(lián)想到數(shù)學上的哪個詞？

生（齊聲答）：一一對應的數(shù)學思想。

在這個教學片段中，教師采用聊天的方式引導學生思考自行車里藏著的數(shù)學問題，拉近數(shù)學知識與生活實際的關系，促使學生體會自行車的組成里有很多數(shù)學應用。隨著師生之間聊天的層層推進，學生知道了前齒輪、后齒輪和鏈條等名詞，知道了前齒數(shù)和后齒數(shù)，還從前齒輪1個小齒對應鏈條上的1個洞，感悟一一對應的數(shù)學思想。

2.研究走多遠的原因，感悟“變與不變”思想

師：自行車是交通工具。說到交通工具，你們覺得這輛自行車能走多遠，哪些因素會影響它走多遠？

生3：我覺得是車輪的大小和齒槽的多少。一輛自行車如果車輪大一些，肯定會走得遠一些；車輪小一些，就會走得近一些。

生4：我覺得是車輪的周長，車輪的大小和車輪轉(zhuǎn)動的速度都會影響自行車是走得遠，還是走得近。

師：有同學說車輪的周長會影響自行車走多遠，對此你們聯(lián)想到了什么？

生5：車輪旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，自行車轉(zhuǎn)1圈和轉(zhuǎn)10圈的路程肯定不一樣。

師：車輪轉(zhuǎn)動的速度由什么決定呢？比如小孩子騎自行車和大人騎自行車，他們的速度肯定不一樣，看來騎車人的能力影響了自行車的速度。剛才我們說很多因素會影響自行車走多遠，數(shù)學要研究的是這些千變?nèi)f化之中不變的東西。你們想一想：如果讓同一個人騎同一輛自行車，自行車能走多遠由什么因素來決定？

生6：這取決于他轉(zhuǎn)幾圈自行車。

師：那我們從簡單的轉(zhuǎn)1圈開始，研究這輛自行車能走多遠，好嗎？

在這個教學片段中，教師借助“哪些因素會影響自行車走多遠\"這個大問題，讓學生先漫無邊際地尋找原因，再從數(shù)學角度尋找原因，尋找在變化中不變的東西，從而發(fā)現(xiàn)自行車能走多遠的根本原因是騎行者轉(zhuǎn)幾圈自行車，在這個思考過程中幫助學生感悟\"變與不變\"的思想方法。然后，教師引導學生從最簡單的自行車轉(zhuǎn)1圈開始研究，體會數(shù)學中“化繁為簡\"的數(shù)學思想方法，這有利于學生探尋問題的答案。

3.探索走多遠的方法，感悟“轉(zhuǎn)化\"思想

師：同學們，想要解決“自行車能走多遠\"這個問題有什么好辦法？

生7：我覺得可以用轉(zhuǎn)的圈數(shù)來乘自行車車輪的周長。

師：意思是用數(shù)學上的“算”，你們覺得最直接的方法是什么？

生8：就是一個人坐在自行車上，另一個人用卷尺量出自行車車輪轉(zhuǎn)1圈的距離。

師：如果要測量自行車車輪轉(zhuǎn)1圈的距離，我們該怎么辦？

生9：我們可以先固定一個點，然后騎著自行車轉(zhuǎn)1圈，在結(jié)束的地方畫一個點，最后用卷尺量出這兩個點之間的距離，就是自行車車輪轉(zhuǎn)1圈走的路程。

師：這個方法很簡單，它有沒有什么不好的地方？

生10：量的時候可能遇到尺子不夠長，會導致我們測量不準確；如果騎車的那個人轉(zhuǎn)1圈的時候不是走的直線，這樣我們量出來的長度就不準確了。

師：量出自行車車輪轉(zhuǎn)1圈的距離可能會有誤差，于是我們想到了更有數(shù)學味的“算”。剛才有同學說計算自行車車輪轉(zhuǎn)1圈走的路程可以用轉(zhuǎn)動的圈數(shù)乘周長，自行車車輪的形狀是圓形的，算自行車車輪的周長就是算圓的周長。接下來我們重點研究后輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。想一想，后輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)就是誰轉(zhuǎn)動的圈數(shù)？

生11：后輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)和后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)有關。

在這個教學片段中，為了解決“轉(zhuǎn)1圈自行車能走多遠”這個實際問題，教師引導學生聯(lián)系\"量\"和\"算”這兩種方法。學生通過分析發(fā)現(xiàn)\"量”雖然直接，但是會有誤差。于是，學生放棄了“量”，采用具有數(shù)學味的“算”。學生在猜想中嘗試將“轉(zhuǎn)1圈自行車能走多遠\"轉(zhuǎn)化為計算轉(zhuǎn)動的圈數(shù)乘周長，由于自行車車輪的周長是固定的，因此將這個問題轉(zhuǎn)化為研究轉(zhuǎn)動的圈數(shù)問題，在不斷思考中逼近問題的本質(zhì)。

4.解決走多遠的路程，感悟“推理”思想

師：以四人為一小組，合作研究自行車轉(zhuǎn)1圈時，前齒輪和后齒輪之間有怎樣的關系？

生12：我們組測出來是前齒輪轉(zhuǎn)1齒，后齒輪也轉(zhuǎn)1齒然后我們把前齒輪轉(zhuǎn)1圈，發(fā)現(xiàn)前齒輪和后齒輪都轉(zhuǎn)了14齒。我不明白為什么前齒輪和后齒輪的齒輪數(shù)不一樣，但是它們轉(zhuǎn)1圈的齒數(shù)是一樣的？

生13：我覺得雖然前齒輪齒數(shù)多于后齒輪齒數(shù)，但是前齒輪是帶動后齒輪在轉(zhuǎn)，所以前齒輪的齒數(shù)和后齒輪的齒數(shù)是一樣的。

師：聽清楚了嗎？前齒輪轉(zhuǎn)1齒的時候，后齒輪也轉(zhuǎn)1齒。（實物演示操作）前齒輪轉(zhuǎn)1圈，也就是前齒輪轉(zhuǎn)過14齒，后齒輪也要轉(zhuǎn)過14齒。但是后齒輪只有10齒，后齒輪要轉(zhuǎn)14齒，說明后齒輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)要比前齒輪多。現(xiàn)在你明白了嗎？我們發(fā)現(xiàn)前后齒轉(zhuǎn)動的總齒數(shù)雖然是相等的，但是它們轉(zhuǎn)動的圈數(shù)是不一樣的。

生14：我們發(fā)現(xiàn)了前齒輪轉(zhuǎn)動的 總齒數(shù)等于后齒輪轉(zhuǎn)動的總齒數(shù)，因 為前齒輪轉(zhuǎn)動的總齒數(shù)等于前齒輪 齒數(shù)乘前齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，后齒輪轉(zhuǎn) 動的總齒數(shù)等于后齒輪齒數(shù)乘后齒 輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，所以前齒輪齒數(shù)乘前 齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)等于后齒輪齒數(shù)乘 后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。（學生鼓掌）

師：謝謝你，太了不起了！現(xiàn)在我們要研究的是當前齒輪圈數(shù)為1的時候，求后齒輪的圈數(shù)。

生15：前齒輪轉(zhuǎn)1圈，后齒輪就要轉(zhuǎn)1.4圈。因為“前齒輪齒數(shù) × 前齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù) 后齒輪齒數(shù) × 后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”，我們已經(jīng)知道了三個量，就能算出剩下的量了。

師：當前齒輪轉(zhuǎn)1圈時，后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)等于前齒輪齒數(shù)除以后齒輪齒數(shù)，后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)就是車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。我們只要再知道車輪的周長，利用“車輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù) × 車輪的周長\"就能算出車輪轉(zhuǎn)1圈自行車能走多遠了。

在這個教學片段中，教師放手讓學生通過小組合作討論，發(fā)現(xiàn)前后齒輪圈數(shù)的關系。在教師的層層分析和步步推理中，學生通過動手操作將“自行車轉(zhuǎn)1圈能走多遠\"轉(zhuǎn)化為“前齒轉(zhuǎn)動的總齒數(shù) σ=σ 后齒轉(zhuǎn)動的總齒數(shù)”，再通過數(shù)量關系“齒輪轉(zhuǎn)動的總齒數(shù) ？= 齒輪的齒數(shù) × 齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”轉(zhuǎn)化為“前齒輪齒數(shù) ？× 前齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù) τ=τ 后齒輪齒數(shù) × 后齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)”，最后觀察到前齒輪齒數(shù)是14、后齒輪齒數(shù)是 10 當前齒輪圈數(shù)為1時，學生推理得到\"后齒輪圈數(shù) 前齒輪齒數(shù) ÷ 后齒輪齒數(shù)”。只要知道后輪周長，就能計算出轉(zhuǎn)1圈自行車行進的路程。這個學習過程給學生獨立解決問題做了很好的示范，引導學生先將未知問題逐步轉(zhuǎn)化成已知問題，再進行嚴謹細致的推理，最終解決未知的問題。

三、教學反思

1.用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界

在活動中，教師引導學生用數(shù)學的眼光去觀察自行車的構(gòu)造，特別是前后齒輪的比例關系以及它們與車輪轉(zhuǎn)動的聯(lián)系。這一環(huán)節(jié)的設計，旨在培養(yǎng)學生從日常生活中發(fā)現(xiàn)問題和抽象出數(shù)學問題的能力。筆者注意到部分學生在觀察時缺乏系統(tǒng)性，容易忽略細節(jié)。因此，教師要引導學生進行系統(tǒng)的觀察，從多個角度捕捉問題中的數(shù)學元素。

2.用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界

在深入階段，教師鼓勵學生運用數(shù)學的思維去分析自行車行駛過程中涉及的數(shù)學問題。這一過程中，學生展現(xiàn)出較強的邏輯思維能力，能夠運用比例、代數(shù)等數(shù)學知識解決實際問題。筆者發(fā)現(xiàn)，部分學生在面對復雜問題時，容易陷入思維定式，難以跳出常規(guī)框架去尋找新的解決途徑。因此，教師要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和批判性思維，引導他們學會從不同角度審視問題，運用多種方法解決問題。

3.用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界

在交流環(huán)節(jié)，教師要求學生用數(shù)學的語言來表達他們的觀察結(jié)果、分析過程和解決方案。通過實踐，大部分學生能呈現(xiàn)自己的研究成果，但在口頭表達方面還存在不足。因此，教師要加強學生的數(shù)學口語訓練，提高他們的數(shù)學表達能力；同時，要鼓勵學生多參與小組討論和課堂展示等活動，以增強他們的自信心。

總之，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中關于“應用意識”明確提出：“應用意識有助于用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的習慣，發(fā)展實踐能力。\"綜合與實踐活動\"自行車里的數(shù)學\"表面上看似教師在教學自行車里藏著的數(shù)學知識，其實是在利用學生的已有知識經(jīng)驗解決生活中的實際問題，讓學生在探究活動中感悟數(shù)學思想方法，培養(yǎng)其應用意識和創(chuàng)新精神，提高其解決問題的能力，發(fā)展其核心素養(yǎng)。