理解旋轉本質 發展空間觀念

“圖形的旋轉”是“圖形與幾何”板塊中重要的教學內容。在教學時教師既要關注新舊知識的聯系，又要用原有知識促進新知識的形成。因此，筆者在本節課的設計中更加注重想象操作與數學思維的結合，通過引導學生運用轉化的方法，深化學生對圖形運動的拓展延伸，為學生后續學習打下堅實的基礎。

一、縱橫聯系，分析核心內容

縱觀人教版教材，小學階段關于圖形運動的教學分為三個階段。

圖形的運動（一）：在二年級下冊，主要內容是認識平移、旋轉及軸對稱現象。

圖形的運動（二）：在四年級下冊，主要讓學生通過觀察、操作等活動進一步認識平移和軸對稱。

圖形的運動（三）：在五年級下冊，主要讓學生從定量的角度去分析和學習圖形的旋轉。

橫向對比人教版、北師大版、蘇教版三個版本的小學數學教材，筆者發現：雖然選擇的素材不相同，但都是以“明確三要素一感知旋轉特征—會用旋轉畫圖”的路徑進行教學；三個版本的教材都借助實物讓學生通過畫圖突破難點，理解旋轉運動的本質是“點的運動”。

二、學情調研，把握學習起點

為了更好地研究學生、讀懂學生，更準確地把握學生的學習起點，做到順學而導，筆者對學校五年級3個班的學生進行了前測。

前測題1：寫一寫，如圖1，請描述線段 A B 是怎么旋轉的？

前測題2：畫一畫，如圖2，請在方格紙上畫出線段 繞點 B 順時針旋轉90后的圖形。

前測題3：畫一畫，如圖3，請在方格紙上畫出三角形 A B C 繞點 B 順時針旋轉 后的圖形。

筆者對前測結果進行統計與分析后發現：學生對旋轉過程的語言描述不完整，能用三要素合理描述圖形旋轉的學生僅占 15.7% ；學生畫線段旋轉的正確率較高，但學生面對旋轉制圖普遍存在困難。基于學情分析，筆者提出兩點優化建議：一是教師要重視數學語言表征旋轉的過程與結果，通過“三要素”的對比感悟，引導學生把元認知不規范語言轉化為數學語言，以提升學生的幾何思維水平；二是引導學生打通點、線、面三者旋轉過程的一致性，讓學生理解旋轉的本質就是點的運動。

三、重組思考，統整學習內容

1.學材調整

首先，將鐘面改換成線段。鐘面的中心點只有一個，不易形成對比。指針通常只沿順時針一個方向旋轉，學生感悟到的旋轉含義不夠深刻。教師可以將線段作為主要學材，以有效突破“旋轉三要素\"及畫圖的教學難點。

其次，教師可以通過增加線段與三角形上點的旋轉來突破教學難點，促進學生對旋轉本質的理解。

2.內容整合

教師可以對圖形的旋轉進行整體思考，將旋轉特征融入線段旋轉與三角形旋轉的教學過程中。在教學中教師可以將平面圖形的旋轉化歸為線段的旋轉，線段的旋轉化歸為點的旋轉，進而化解畫平面圖形旋轉的難點。

3.整體關聯

教師要聚焦圖形旋轉運動的本質，重視溝通三種運動方式的一致性；要增加三種運動方式的對比聯系與應用，完善圖形運動知識的結構，深化對圖形運動的拓展延伸。

四、整體架構，促結構化學習

教學內容的結構化是實現整體教學的關鍵，設計結構化的材料是內容結構化的重中之重。筆者從縱向結構化和橫向結構化兩大策略出發進行素材的創編：縱向設計了一組從局部到整體、從一維線段旋轉到二維三角形旋轉的進階性學材；橫向設計了軸對稱運動、平移運動和旋轉運動進行比較的關聯性學材，讓學生有關聯地學，打通點、線、面三者旋轉過程的一致性，理解旋轉的本質就是點的運動，進而實現整體性地學。

整節課教師利用三組材料設計了三個活動，實現了兩次轉化，即將面轉化為線、線轉化為點。

活動1：如圖4，畫出線段 旋轉 后的圖形，并想象線段上點的運動。

活動2：如圖5，想象半成品三角形 A B C 繞點 B 順時針旋轉 后的圖形。

活動3：如圖6，畫出三角形 A B C 及點 E 繞點 B 逆時針旋轉 后的圖形。

1.縱向結構化，實現進階性學習

（1）從整體到局部

教師通過動態演示三角形旋轉的過程，喚醒學生對旋轉現象的認知，將研究復雜的圖案轉化為研究一個三角形的旋轉，再聚焦到三角形的一條邊開始研究。從整體到局部，滲透化繁為簡的數學思想。

師：仔細觀察，如圖7，圖案是怎么形成的？

生1：它是三角形一直旋轉得到的。

師：旋轉是圖形的一種重要的運動方式。如果三角形的一條邊，線段AB旋轉了一下，會得到怎樣的圖形呢？全班同學想象到的是不是相同的圖形？

生2：不是，有的旋轉的角度大一些，有的旋轉的角度小一些。

生3：旋轉角度不同，旋轉后的圖形也會不同。

師：是不是只要旋轉角度相同，旋轉后的圖形就會一樣？

教師出示活動1要求：請畫出線段 旋轉 后的圖形。

師：如圖8，這幾幅同學的作品都是旋轉90嗎？為什么結果不一樣？

生4：方向不一樣，有的是向下旋轉的，有的是向上旋轉的。

生5：有些是順時針旋轉的，有些是逆時針旋轉的。

師：與鐘表上時針旋轉方向一樣的叫順時針方向，與時針旋轉方向相反的叫逆時針方向。看來旋轉方向是影響旋轉的一個重要因素。

教師根據學生回答板書：旋轉角度、順時針、逆時針、旋轉方向。

師：這兩位同學的作品都是順時針旋轉 ，為什么旋轉結果還是不同？

生6： ① 是繞A點旋轉的， ③ 是繞 B 點旋轉的。

師：圖形旋轉時繞的點叫作旋轉中心。（板書：旋轉中心）

師：是不是有了旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度就能準確描述旋轉了呢？

教師板書：線段 繞點 B 順時針旋轉 0

生7：確定了旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度，只有一幅圖符合情況

師：所以在數學上我們就把旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度稱為旋轉三要素。（板書：旋轉三要素）

（2）從局部到整體

為了幫助學生突破畫圖的難點，在已經確定一條關鍵線段旋轉后位置的基礎上，教師引導學生利用三角形的兩條邊進行旋轉，從線段的旋轉自然過渡到三角形的旋轉，讓學生通過想象探討將面的旋轉轉化為找關鍵線段的旋轉。

師：根據線段 A B 旋轉后的位置，請你們想象三角形 A B C 繞點 B 順時針旋轉 后的位置。

一名學生邊操作邊表達。

生8：線段BC旋轉到這個位置，再連接 ，就能找到三角形旋轉后的位置。

師：看來畫整個三角形旋轉后的圖形，只要確定兩條關鍵線段的位置即可。

（3）從一次到多次

在學生經過想象操作、語言描述和繪制圖形，可以確定三角形旋轉一次的位置后，教師引導學生想象：三角形繼續多次繞點 B 逆時針旋轉 會形成怎樣的圖形？如果旋轉的角度小一點，形成的圖形會發生怎樣的變化呢？如圖9，教師為學生提供充分的想象空間，逐步發展學生的想象能力和空間觀念。

2.橫向結構化，實現關聯性學習

為了溝通三種運動方式的一致性，筆者設計了將同一個三角形的軸對稱運動、平移運動和旋轉運動進行比較，實現學生有關聯地學，讓學生在對比中完善圖形運動知識的結構，深化對圖形運動的拓展延伸。

師：以這個三角形為例，如果它做軸對稱運動，會得到怎樣的圖形呢？平移運動呢？旋轉運動呢？

學生一邊用手演示圖形的運動，教師一邊用課件展示。

師：如圖10，這三種運動有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生9：三角形的形狀、大小都不變，運動后的位置不一樣。

3.溝通一致性，實現整體性學習

（1）“線\"轉化為“點\"的旋轉

教師引導學生先研究線段中一個點的旋轉，再研究線段上所有點的旋轉，讓學生理解旋轉的本質就是點的運動。

師：線段上有一個點 E ，想象一下，在線段旋轉的過程中，點 E 會怎樣旋轉？

學生一邊用手比畫 E 點的運動軌跡，一邊表述。

生10：點 E 會繞點 B 順時針旋轉 。

師：如果線段上有個點 F ，想象一下，點 F 會怎么旋轉？

師：那線段上所有的點呢？線段上所有的點在旋轉的過程中有什么相同的地方？

生11：它們都會繞點 B 順時針旋轉 ，而且它們到點 B 的距離不變。

師：現在讓你們畫線段""繞點 B 順時針旋轉""后的圖形，你們會 怎么畫？

生12：找到點 A 旋轉后的位置"，然后連接""。

師：看來找到關鍵點，將線轉化為點，就能找到線段旋轉后的位置。

（2）“面\"轉化為“點\"的旋轉

教師要引導學生找到三角形面上的點的旋轉規律，加深對旋轉的本質的理解，讓學生打通點、線、面三者旋轉過程的一致性，實現整體性地學。

師：三角形上的點 E ，它會怎樣旋轉？

生13：點 E 也會跟著三角形繞點 B 按逆時針方向旋轉"

師：怎么看出點 E 旋轉了""2

生14：連接點 E 和點 B ，就可以 看出點 E 會旋轉""到點""。

師：如果三角形 A B C 上有一點F ，想象一下，三角形 A B C 旋轉時，它會怎么旋轉？三角形上任意一點呢？它們的旋轉過程有什么相同的地方？

生15：這個三角形繞點 B 逆時針旋轉后，不管哪個點都是繞點 B 逆時針旋轉""。

師：旋轉時圖形里的每條邊、每個點都在繞不變的旋轉中心按照相同的旋轉方向，旋轉相同的角度。將面轉化為線，把線轉化為點就能畫出旋轉后的圖形（如圖11）。

在教學“圖形的旋轉\"時，教師既要溝通平移和軸對稱在運動方式上的一致性，又要逐步引導學生構建對旋轉的認知及旋轉本質的理解。筆者從整體視角設計任務與問題，從旋轉的圖形引入，以線段的旋轉為切入點，將線的旋轉化歸為點的旋轉；借助找關鍵線段，將面的旋轉化歸為點的旋轉，化解畫平面圖形旋轉圖的難點。因此，教師在教學中要滲透化繁為簡的數學思想，回歸知識本質，能讓學生實現學習遷移，聚焦培養其核心素養，促成其深度學習。