廣義更新過程下生產系統最優維修策略

摘 要：當生產系統的部件發生故障時，選擇何種維修策略進行維修對生產制造企業具有重要意義。以往對維修策略的研究多集中于將維修成本最低作為研究目標，而忽略了維修活動對系統凈收益產生的潛在價值。為此，針對如何最大化系統生命周期內獲得的凈收益問題，設計了基于廣義更新過程的維修/更換策略，該策略通過引入維修次數和虛擬年齡刻畫系統可靠度，利用模擬技術實現相鄰兩次維修策略時的可靠度轉移概率。通過定義維修成本、更換成本、運行收益、運行成本給出每個策略周期內的系統凈收益，以此構造系統生命周期內凈收益的函數表示，以該凈收益的最大值為目標函數建立維修策略模型。為求解該模型，提出了基于半Markov策略過程、參數估計、模擬技術和動態規劃技術的求解算法。為了驗證模型的正確性和求解算法的有效性，以數控機床主軸為研究對象，對維修策略進行數值實驗并與Rosqvist模型結果進行了對比，對比實驗結果驗證了維修模型的正確性和高效性。敏感性分析結果表明，關鍵參數對最優維修活動均具有顯著影響。該模型能夠為企業在系統生命周期內實現凈收益最大化提供有效維修決策。

關鍵詞：維修策略；可靠性；動態規劃；Weibull分布

中圖分類號：TP391.9"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2025）04-025-1150-08

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2024.08.0260

Optimal maintenance strategy of production system under general renewal process

Jin Haibo1， 2， Chen Saidong1

（1.College of Software， Liaoning Technical University， Huludao Liaoning 125105， China; 2. National amp; Local Joint Laboratory of Energy-saving Control Technology for Industrial Equipment， Dalian University of Technology， Dalian Liaoning 116024， China）

Abstract：When a component in a production system fails， selecting an appropriate maintenance strategy is crucial for manufacturing enterprises. Most previous studies focus on minimizing maintenance costs， overlooking the potential impact on the system’s net profit. To maximize net profit over the system’s life cycle， this paper designed a maintenance/replacement strate-gy based on the generalized renewal process. This strategy used maintenance count and virtual age to model system reliability， and simulation techniques to capture reliability transitions between maintenance decisions. This paper established a maintenance model that maximized net profit by defining maintenance and replacement costs， as well as operating profit and cost. This paper solved the model using a semi-Markov decision process， parameter estimation， and dynamic programming. To verify the correctness of the model and the effectiveness of the algorithm， humerical experiments on maintenance strategies were conducted with the CNC machine tool spindle as the research object and compared with the results of the Rosqvist model. The comparison of the experimental results verify the correctness and efficiency of maintenance model. Sensitivity analysis reveals that key parameters significantly affect optimal maintenance decisions. In conclusion， this model provides an effective approach for maximizing net profit in the system’s life cycle.

Key words：maintenance decision; reliability; dynamic programming; Weibull distribution

0 引言

在工業設備維修領域，制定有效的維修策略對生產制造企業至關重要。隨著工業自動化和智能化水平的不斷提升，設備的復雜性和對高效運行的需求日益增加。在此背景下，科學的維修策略不僅能夠確保設備的高效運行、降低故障風險、延長使用壽命，還能對整個生產流程和企業的經濟效益產生深遠影響。因此，有效的維修活動已成為企業運營的重要環節，直接影響運營成本和生產效率，同時也是企業風險管理的重要組成部分。

在維修策略領域，一類重要的研究問題是對于可修系統，何時維修、何時更換以及維修到何種程度，為此學者們提出了許多基于成本、設備使用年限或故障次數的最優策略，這些策略通常被稱為“維修限制”策略。其目標是在保證設備運行效率和運行安全的同時，實現成本或效益的最優化。Wang［1］認為維修限制策略最早是由Gardent等人［2］以及Drinkwater等人［3］提出。Drinkwater等人指出盡管許多生產企業和相關組織使用基于系統類型、年齡或位置的“維修限制”策略，但當時沒有可用的工具和模型指導最優策略，因此Drinkwater等人通過分析和模擬研究如何制定“維修限制”的最優策略，并將該策略應用到一組車輛的年均維修成本最小化上。然而，該方法存在一定問題，即當前維修或更換活動如何選擇，只取決于前一個維修活動而不考慮系統的維修歷史，導致維修活動的選擇并非最優。Beichelt［4］提出了基于維修成本率限制的最優維修策略模型，該模型的核心思想是以歷史維修數據為依據得到單位時間的維修成本，即成本率，當維修活動對應的成本超過該成本率時，選擇更換活動，從而解決何時維修、何時更換的問題。之后，文獻［5，6］將長期單位時間維修成本函數擴展為與維修次數和時間相關的函數C（N，t）。當設備發生第N次故障時，如果維修成本大于C（N，t），則直接進行更換，否則進行小修。該研究進一步拓寬了維修限制策略的應用范圍。

盡管這些維修限制策略在一定程度上解決了維修策略中的何時維修、何時更換的問題，但在實際應用中，“維修限制”模型仍存在一定的局限。原因在于，此類模型中的完美維修和最小維修活動在實施后沒有考慮系統的“健康”程度，無法充分反映維修后設備的實際狀態。為解決該問題，Kijima等人［7］提出了廣義更新過程（generalized renewal process， GRP）。該過程通過引入虛擬年齡的概念刻畫設備在維修后其狀態介于“全新”和“故障前”之間的何種狀態，從而更精確地描述和量化不同類型維修活動的維修效果。 自GRP模型提出以來，相關研究發展迅速并取得了許多成果。主要體現在：Wu等人［8］研究了一個由三個子系統組成的可修系統，建立了基于GRP的預防維修策略，該策略考慮了最小維修、完美維修和不完美維修三種維修活動并給出了系統可靠度評估的逼近方法。與GRP模型類似，Doyen等人［9］基于故障強度的視角，探討了維修活動對系統修復后未來故障率的影響，并提出一種降低系統自上次修復后故障率增長的模型。正如Wu等人［10］指出“與傳統的馬爾可夫過程不同，半馬爾可夫過程允許狀態轉移的時間間隔服從任意分布，這使得它特別適用于描述維修效果不確定、維修時間不固定的情況”。通過使用半馬爾可夫過程，可以更靈活地模擬系統在不同維修周期間的隨機轉移行為，從而為決策提供更準確的依據。Martorell等人［11］利用半Markov過程對GRP模型進行了深入研究，通過定義由故障次數和系統實際年齡組成的二元組，設計了最小化單位時間內平均維修成本的最優策略。然而，該方法沒有考慮故障歷史對故障發生概率的影響。為此，Love等人［12］研究了一種基于故障次數與故障時間二元組（n，tn）的半馬爾可夫策略結構，并提出了一種數值搜索算法尋找系統中最小化維修成本的維修策略。該研究中，維修成本和故障發生概率都依賴于系統故障歷史。Wang等人［13］ 通過半馬爾可夫策略過程（SMDP）優化的重新排列和預防性維修策略，以最小化平均維修成本，并通過摩托車系統案例驗證了模型的有效性。張新生等人［14］提出了一種分階段非線性不完美維修模型，該模型同時考慮了維修活動對系統退化量和退化率的影響，利用狀態監測數據和維修數據對退化模型的參數進行極大似然估計和貝葉斯更新，實現了對海底腐蝕管道剩余壽命的精準預測。Zheng等人［15］提出了一種針對依賴軟故障和硬故障系統的狀態維修策略，利用比例風險模型描述硬故障率，并通過策略迭代算法確定最優維修策略，從而最小化長期平均成本。馬驍志等人［16］以預防維修周期和零庫存時間為聯合決策變量，提出新的庫存控制策略，從而降低單位時間內總成本。王紅等人［17］提出了一種基于動態時間窗的兩級非完美機會維修策略，通過引入可靠度，利用價值與延遲懲罰成本優化停機時機，從而減少停機次數和降低維修總成本。

當前該領域中的主要問題在于：許多研究將維修后的部件狀態設定為完美修復或最小修復，未能準確反映維修活動對部件狀態的實際影響［18］。這些模型無法有效應對維修效果介于完美修復和最小修復之間的情況，導致維修決策效果欠佳。為解決這一問題，本文采用廣義更新過程（GRP），通過引入“虛擬年齡”這一概念，描述部件在不同維修活動后健康狀態的變化。此外，正如Dekker［19］指出“維修管理面臨的主要問題是，維修產出是否對公司利潤產生有效貢獻，這點很難回答”。現有的維修模型大多集中于以最小化維修成本為目標，忽視了部件在維修后對系統整體凈收益的影響。因此，本文采用半Markov過程對系統的狀態轉移進行建模，不僅能夠應對維修后狀態的隨機性，還能夠優化系統的長期凈收益，確保維修決策與系統整體盈利能力的提升緊密相關。最后，正如Yang等人［20］指出“動態規劃在優化復雜系統中的多階段維修決策時，能夠有效應對狀態轉移的不確定性和復雜的收益動態，特別是在設備健康管理和長期維修策略制定中具有廣泛應用”。因此，本文采用動態規劃方法來求解最優的維修決策，提升系統的長期凈收益。

綜上，為了最大化生產系統的長期凈收益。本文以數控機床主軸為研究對象，研究了在有限時間范圍內基于GRP的半Markov策略問題，通過采用極大似然估計確定主軸的故障分布，并利用動態規劃求解最優策略，從而使該部件在各階段的維修活動中，實現系統報廢年限內的最大凈收益。

1 系統維修模型

本文考慮一個多狀態生產系統，該系統部件隨著工作年限的增加逐漸惡化，其惡化過程符合GRP。GRP引入了系統虛擬年齡的概念，即

3 數值算例

為了驗證模型的有效性，以Haas TL-1型號的數控機床的A2-5主軸 （如圖3（a）所示）為研究對象，給出數值算例并對數值結果進行分析。

Haas TL-1是一款經濟型的數控機床，以其簡便易用和高性價比著稱，適合車削和銑削各種材料的簡單和復雜零件，該機床的主軸A2-5（如圖3（b）所示）是核心部件之一，負責夾持和驅動工件進行旋轉加工。主軸的性能直接影響加工的效率和精度。因此，為保證主軸A2-5的性能，對主軸的故障數據進行統計分析，給出最優維修策略，從而分析主軸發生故障后所作維修決策對數控機床整體系統所產生的凈收益的影響。

表1記錄了單臺Haas TL-1數控機床的主軸故障間隔時間［22］。

根據式（14）（15），對表1中的故障間隔時間數據進行參數估計，計算后得到α^=8.12，β^=1.81。因此主軸的概率密度函數為

f（t）=0.04×t0.81×e－t/8.121.81 "t≥00""""""""""" tlt;0

（22）

根據Weibull分布的PDF （如式（22）所示）結合式（16）～（18）可模擬得到轉移概率p（0，0）（1，x）和p（k，v）（k+1，v′+x）。

3.1 計算最優策略

為了計算主軸A2-5的最優維修策略，給出模型中涉及的各項參數值，如表2所示。

圖4給出了主軸從投入使用到報廢年限期間的每次維修時刻的最佳維修活動的選擇區域。選擇區域由實際年齡（x軸）和虛擬年齡（y軸）組成，紅色區域表示維修策略時，更換是最優策略，黑色區域則表示維修是最優策略（見電子版）。例如，圖4中的藍色原點●對應的實際年齡是3.5年，虛擬年齡是0.5年，落在紅色區域。因此此時的最優維修策略是更換。綠色矩形 對應的實際年齡是4.5年，虛擬年齡是0.5年，落在黑色區域，因此此時的最優策略是維修。以上最優結果與實際情況吻合，原因在于：●情況下主軸A2-5虛擬年齡較低，運行狀態良好，可靠性高，距離報廢年限較遠，預期凈收益較高，因此，若此時進行維修策略，更換是最佳策略； 情況下，雖然虛擬年齡是0.5年，設備健康狀態良好，可靠性高，但距離報廢年限較近，若選擇更換新軸，在較短期限內凈收益較低，甚至達不到更換新軸的費用，因此此時維修是最優策略。

至此，通過最優維修活動選擇區域便可得到各維修時刻的最優維修活動。對于主軸A2-5，通過Monte Carlo方法模擬該主軸生命周期（五年）內的故障次數k和故障發生時刻tk，得到以下故障數據（用二元組（k，tk）表示）：{（1，0.216），（2，0.572），（3，1.083），（4，1.846），（5，2.736），（6，3.594），（7，3.749），（8，4.634）}。將以上故障數據和表1中的參數代入算法1得到最優維修策略，即π*={am，am，ar，ar，ar，ar，am，am}。

為了驗證模型的先進性，本文實現了Rosqvist等人［23］建立的系統維修模型的實驗結果，其模型假設部件在發生故障后可以進行維修或更換。模型的核心思想是將成本最小化作為目標函數，系統在每次維修策略時刻需要在維修和更換之間進行選擇，通過部件的維修成本來得出最優維修決策。在同參數值情況下，Rosqvist等人的最優維修策略如圖5所示（見電子版）。從圖5中可以看出，紅色區域明顯變小。原因在于該模型沒有考慮虛擬年齡較低時系統帶來的高收益。此外由于更換費用通常高于維修成本，所以僅當虛擬年齡和實際年齡都較大且距離報廢年限還有一定時間時，更換才是最優策略。

為了比較本文模型與Rosqvist建立的模型在凈收益方面的優劣，本文實現了Rosqvist模型在報廢年限（五年）內的凈收益，并與本文模型凈收益進行了對比。

表3為對比兩種模型在上述通過Monte Carlo模擬的故障數據下所做決策以及對應的凈收益對比，并且對比半Markov各決策點的預期最大凈收益，如圖6所示。圖6中上方鋸齒形曲面是本文凈收益，下方鋸齒形曲面是Rosqvist模型的凈收益。本文模型凈收益比Rosqvist模型平均提高19.96%。可見本文模型在系統獲得凈收益方面表現優異。

3.2 關鍵參數對維修模型的影響

模型中幾個關鍵參數：更換費用cr，維修成本c0mkv，運行成本c0okv，系統收益r0kv，最大年限tmax，故障特征和維修程度對系統凈收益均有重要影響，因此為了考察模型的健壯性，以成本結構的方式對這些參數給模型帶來的影響進行定量分析。

3.2.1 更換與維修成本對維修策略的影響

更換成本與維修成本的比例結構對最大凈收益和最優維修策略有影響。通常情況下，更換成本高于維修成本，因此令c0r/c0mkv∈［1，12）在區間內逐漸變化，以此考察成本結構對最大凈收益和維修策略的影響。圖7描繪了最大凈收益隨成本結構的變化情況。

從中可以看出，最大凈收益是成本結構的單調遞減函數，說明當更換費用與維修成本相同時，系統產生的凈收益最大。實際中，如果上述條件無法滿足，但為了獲得較高收益，當維修成本一定時，應盡量降低更換費用。隨著比例結構逐漸增大，當增大到c0r/c0kvm=6.44時，最大凈收益減小到零，說明更換費用過高時，系統無法產生收益。

為了進一步考察成本比例結構對維修策略的影響，分別選取c0r=c0mkv=5和c0r=50，c0mkv=5兩種情況進行分析。圖8顯示了這兩種不同情況下每次策略時刻的最優活動選擇區域。圖8（a）反映了更換費用和維修成本相同時，維修活動沒有任何優勢，即每次策略時刻，更換活動均是最優策略。圖8（b）反映了隨著更換費用相對于維修成本的逐步增加，系統產生凈收益逐漸降低的同時，維修活動逐漸顯現優勢，當超過某一閾值時，由于更換費用遠大于維修成本，維修活動將代替更換活動成為最優策略。

在以上討論中，均是固定維修成本，變化更換費用。然而，在實際生產中，由于設備老化、性能退化、隱性故障積累、零部件供應稀缺以及維修資源消耗增加等多種因素綜合作用下［24］，維修成本通常會隨著設備使用時間的增加而上升。因此本文根據文獻［25］的維修成本隨虛擬年齡變化的如下函數

cm=μ×v1.5+1

（23）

進行分析。圖9為當μ設置為0，0.1，0.2和0.5時該成本函數隨虛擬年齡v的變化曲線。

圖10描繪了這四種不同維修成本下的最優維修策略。隨著虛擬年齡的增加，維修成本逐漸增大，更換費用則相對下降。根據式（23）可知，維修成本在相同的虛擬年齡v下隨著μ的增加而變大。如圖10所示，當設備維修成本迅速上升時，紅色區域的面積顯著增大，此時更換活動將逐漸成為最優策略。

3.2.2 運行成本與收益對維修策略的影響

上述關于維修成本比例結構對凈收益和維修策略影響的分析是基于系統運行成本和收益呈線性變化的理想情況 （如圖11藍色與紅色實線所示，見電子版）。這種情況下，系統惡化并不會加速降低收益，此時更換活動除了能夠降低主軸故障率之外，不會帶來顯著價值。因此，當系統處于較低虛擬年齡的狀態下會增加額外收益未能體現。反之，當系統虛擬年齡較大，狀態惡化加速，消耗能量過多，導致系統凈收益急劇降低時，更換活動方能凸顯其凈收益，因為更換不僅能降低設備故障率，而且能提高凈收益。

因此，首先分析系統收益對維修策略的影響。其次，分析運行成本對維修策略的影響。圖12描繪了在兩種不同收益情況下的最優策略結果，圖12（a）是收益不變的情況，圖12（b）是收益隨系統狀態急劇下降的情況。實驗結果表明，當系統虛擬年齡較低且距離報廢年限較長時，或虛擬年齡較高且接近報廢年限時，收益驟減情況會顯著增加最優策略中更換活動的比例。原因在于收益迅速下降時，更換活動能使系統維持在較低的虛擬年齡，從而保證系統高可靠性，并能實現較高的凈收益。

圖13描繪了在兩種不同運行成本情況下的最優策略結果，圖13（a）是運行成本不變的情況，圖13（b）是運行成本隨系統狀態急劇上升的情況。實驗結果表明，當系統的虛擬年齡較低且距離報廢年限較長時，或虛擬年齡較高且接近報廢年限時，運行成本驟增情況會顯著增加最優策略中更換活動的比例。原因在于運行成本迅速升高時，更換活動能使系統維持在較低的虛擬年齡，從而保證系統較低的運行成本和較高的凈收益。

3.2.3 預期報廢年限對最優策略的影響

最優維修策略同樣受系統剩余壽命的影響，因此最優維修策略也取決于系統預期的報廢年限。圖14描繪了兩種不同預期報廢年限下系統的最優維修策略（見電子版）。實驗結果表明，當預期報廢年限較短時，維修是最優策略結果，其原因主要包括：a）幾乎沒有時間收回對新設備的投資；b）由于系統的虛擬年齡始終很低，所以提高可靠性增加凈收益的效果甚微。反之，隨著預期報廢年限的增加，更換活動將逐漸成為最優策略結果。因此不建議在系統接近報廢時進行更換，除非該操作能夠延長生命周期。

3.2.4 故障率對維修策略的影響

Saleh等人［26］指出當成本和收入保持不變時，提升系統可靠度將顯著提高系統的凈收益。因此，本節對不同故障率對維修策略的影響進行分析。

圖15繪制了兩組不同參數組合下Weibull分布的故障率隨時間變化的函數曲線（見電子版）。實驗結果如圖16所示（見電子版），當系統的故障概率較低且隨時間推移并不顯著增加時（圖15中的藍色曲線），僅在虛擬年齡和實際年齡都處于中間年限時（如圖16（a）所示很小的紅色選擇區域）更換活動是最優策略結果。原因在于，此情況下更換所帶來的可靠性提升效果較小。然而，當系統故障率隨時間增加較為顯著時（圖15中的紅色曲線），多數情況下更換活動會顯著提升系統的凈收益，如圖16（b）所示。原因在于更換能夠將高故障率的設備恢復到較低的虛擬年齡，從而大幅降低設備故障的可能性。

3.2.5 維修程度對維修策略的影響

實際上，設備的修復程度反映了系統修復后其“健康”狀況得到多大程度的改善，本節研究了四組不同維修程度，分別是q=0.98（接近最小維修），q=0.8（不完美維修），q=0.4（不完美維修）和q=0.2（接近完美維修）從大到小變化時，最優維修策略的變化情況。實驗結果如圖17所示。當維修程度接近最小維修（q=0.98）時，由于選擇維修對于減少設備故障概率和增加凈收益的作用均很小。所以，多數情況下更換是最優維修策略。當修復程度逐漸提高（q從0.8變化到0.2），維修活動在減少故障概率和系統凈收益方面均體現出更好的效果，因此，黑色區域面積逐漸變大，維修活動成為最優策略結果情況逐漸增多。

綜上所述，不同的維修程度對維修策略的選擇有顯著影響。在維修程度較低時，應優先選擇更換設備，以確保系統的高效運行。而在維修程度較高時，則可以通過有效的維修手段提高設備的運行狀況，從而降低設備運行成本和故障率，進而實現凈收益的最大化。

4 結束語

本文建立了基于GRP的最優維修/更換模型，該模型通過引入GRP中的虛擬年齡充分刻畫了系統“健康”狀態。通過維修成本、更換成本、運行收益和運行成本等關鍵參數優化了系統生命周期內的凈收益，并通過改進的動態規劃算法得到了每個維修周期的最優維修活動。最后以實際的Haas TL-1型號數控機床的A2-5主軸為實例，進行了數值實驗。數值實驗結果反映了每次維修策略時刻維修/更換活動選擇區域，以此得到最優維修活動序列。之后又與Rosqvist建立的模型進行了對比實驗。對比實驗表明本文模型凈收益比Rosqvist模型平均提高19.96%，可見本文模型在提高系統凈收益方面表現優異。最后對模型中關鍵參數進行了敏感性分析。敏感性結果表明維修成本、更換成本、運行成本和運行收益對最優策略結果均具有顯著影響。由于本文模型的最優策略只考慮維修和更換活動，這種做法符合實際又易于實現。所以，本文模型具有可解釋性強、實現簡單、易于企業實際部署的優點。

未來的研究重點是根據主軸A2-5的實際故障數據對下一次故障時間進行預測，而非用模擬技術得到每次故障時間，從而進一步增加模型的實用性。

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