抓聯(lián)系 找共性 求突破

第8章 整式乘法

領(lǐng)" 銜" 人：黃秀旺（正高級(jí)教師、江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

“整式乘法”這一章由“單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式”“單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”“乘法公式”四個(gè)內(nèi)容組成。要想依托這四個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，我們必須對這些內(nèi)容有一個(gè)整體性的深刻認(rèn)識(shí)。

理清不同內(nèi)容之間的聯(lián)系

回溯七年級(jí)上學(xué)期，我們已初步掌握了整式的加減運(yùn)算。如同數(shù)的運(yùn)算體系需要不斷豐富和完善，整式的運(yùn)算同樣需要我們進(jìn)一步探索與學(xué)習(xí)。在數(shù)的運(yùn)算思路啟發(fā)下，“整式乘法”成為我們當(dāng)下學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

整式，作為代數(shù)表達(dá)的基本形式，包含了單項(xiàng)式和多項(xiàng)式兩大類。因此，整式乘法自然而然地涵蓋了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等多個(gè)層面。其中，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算看似復(fù)雜，但通過類比數(shù)的乘法分配律，我們可以巧妙地將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，并進(jìn)一步簡化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的形式（學(xué)習(xí)思路如下圖）。這一轉(zhuǎn)化過程凸顯了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式在整式乘法中的核心地位。

回顧過往的學(xué)習(xí)歷程，我們不難發(fā)現(xiàn)，冪的運(yùn)算正是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算的基礎(chǔ)?？梢哉f，第7章“冪的運(yùn)算”的學(xué)習(xí)，為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的掌握奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。從這個(gè)角度來看，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式不僅是對過往知識(shí)的鞏固與深化，更是為后續(xù)整式乘法學(xué)習(xí)鋪設(shè)的重要橋梁。

把握探究活動(dòng)中方法的共性

如下頁圖，在探究單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式時(shí)，我們巧妙地借助計(jì)算“電視墻”的面積來揭示其運(yùn)算規(guī)律；在探索單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，是通過計(jì)算窗戶的采光面積來領(lǐng)悟其運(yùn)算本質(zhì)；而在研究“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”時(shí)，我們則是利用計(jì)算長方形綠地的面積來發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算法則。同樣地，當(dāng)我們步入“乘法公式”的探究之旅，也是通過計(jì)算圖形的面積來洞察公式背后的奧秘。回顧這些探究活動(dòng)，我們不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)共通之處：它們都采用了“用不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積”這一策略。通過歸納與總結(jié)，我們得以提煉出相應(yīng)的法則或公式，隨后再經(jīng)由嚴(yán)密的演算來驗(yàn)證這些結(jié)論的正確性。

這一系列的探究歷程，實(shí)質(zhì)上就是我們經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的完整過程。在這個(gè)過程中，我們不僅掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)思考的方法，形成了解決問題的基本思路。

注重發(fā)展運(yùn)算能力及代數(shù)推理能力

在計(jì)算過程中，我們時(shí)常會(huì)犯錯(cuò)，許多同學(xué)往往簡單地將之歸因?yàn)榇中拇笠?，但?shí)際上，這往往源于對運(yùn)算規(guī)則執(zhí)行不夠嚴(yán)謹(jǐn)。因此，計(jì)算時(shí)，我們應(yīng)分步進(jìn)行，并清晰闡述每一步運(yùn)算的理論依據(jù)。在初學(xué)階段，運(yùn)用運(yùn)算法則時(shí)，我們應(yīng)詳盡地書寫運(yùn)算步驟，避免“跳步”，以確保對算理（即運(yùn)算的法則或原理）的深入理解。當(dāng)我們對算理逐漸熟練后，可以適當(dāng)簡化運(yùn)算步驟，追求更高效的計(jì)算方法，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。

對于運(yùn)算法則或公式，我們的掌握不應(yīng)僅停留在簡單的計(jì)算和化簡層面，有時(shí)還需要利用它們進(jìn)行邏輯推理。也就是說，從已知條件出發(fā)，依據(jù)法則或公式，逐步推導(dǎo)出新的結(jié)論。例如，觀察下列式子：2×4+1=9，4×6+1=25，6×8+1=49……探索以上式子的規(guī)律，試寫出第n個(gè)等式，并證明第n個(gè)等式成立。

因此，我們需要進(jìn)行有針對性的練習(xí)，通過不斷實(shí)踐來提升對運(yùn)算法則和公式的理解和運(yùn)用能力，同時(shí)發(fā)展我們的邏輯推理能力。這樣，我們才能更準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，更有效地解決數(shù)學(xué)難題。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）