用一次函數和不等式解生活困惑

現實生活中我們經常會遇到一些選擇型問題，需要我們利用一元一次不等式和一次函數相關知識來解決.解決這類問題的思路如下.（1）選擇方案：解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量之間的關系，從中選取一個取值能影響其他變量的值的變量作為自變量，然后根據條件尋求可以反映實際問題的函數，以此作為解決問題的數學模型.（2）解決步驟：①把實際問題轉化為數學函數問題，列出函數關系式（建立數學模型）；②通過解不等式或畫函數圖像的方式確定自變量的范圍；③利用一次函數的增減性選擇出最佳方案.下面結合例題具體介紹.

例 2024年是中華人民共和國成立75周年，紅旗中學以此為契機，組織本校師生參加紅色研學實踐活動，現租用甲、乙兩種型號大客車（每種型號至少1輛）送549名學生和11名教師參加此次實踐活動，每輛車上至少要有1名教師．

甲、乙兩種型號大客車的載客量和租金如下表所示：

（1）共需租 輛大客車.

（2）最多可以租用多少輛甲種型號大客車？

（3）有幾種租車方案？哪種租車方案最節省錢？

解析：（1）∵549 + 11 = 560（人），560 ÷ 55 = 10（輛）……10（人），10 + 1 = 11（輛），且共有11名教師，每輛車上至少要有1名教師，∴共需租11輛大客車．

（2）設租用x輛甲種型號大客車，則租用（11 - x）輛乙種型號大客車，

依題意，得40x + 55（11 - x） ≥ 560，解得x ≤ 3．

答：最多可以租用3輛甲種型號大客車．

（3）∵x ≤ 3，且x為正整數，∴x = 1或2或3，∴有3種租車方案.

方案1：租用1輛甲種型號大客車、10輛乙種型號大客車.

方案2：租用2輛甲種型號大客車、9輛乙種型號大客車.

方案3：租用3輛甲種型號大客車、8輛乙種型號大客車．

選擇方案1所需租車費用為500 × 1 + 600 × 10 = 6500（元）；

選擇方案2所需租車費用為500 × 2 + 600 × 9 = 6400（元）；

選擇方案3所需租車費用為500 × 3 + 600 × 8 = 6300（元）．

∵6500 gt; 6400 gt; 6300，

∴租車方案3最節省錢．

點評：本題考查了一元一次不等式的應用. 解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式；（2）利用總租金 = 每輛車的租金 × 租車數量，分別求出每種方案所需費用．

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：8分鐘

1.某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產生的熱能發電. 有A，B兩個焚燒爐，每個焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒1噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發電50千瓦時，A，B焚燒爐每天共發電55 000千瓦時．

（1）焚燒1噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發電多少千瓦時？

（2）若經過改進工藝，與改進工藝之前相比，每焚燒1噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發電量分別增加a%和2a%，則A，B焚燒爐每天共發電至少增加（5 + a）%，求a的最小值．

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

2.某銷售商為盡快打開市場，對本地新產品采取線上和線下銷售相結合的模式，具體費用標準如下：線下銷售模式標價5元/千克，8折出售；線上銷售模式標價5元/千克，9折出售，超過6千克時，超出部分每千克再讓利1.5元. 設購買這種新產品x千克，所需費用為y元，y與x之間的函數關系如右圖所示. 根據以上信息回答下列問題：

（1）請求出兩種銷售模式對應的函數解析式；

（2）說明圖中點C坐標的實際意義；

（3）若想購買這種產品10千克，選擇哪種模式購買更省錢？

（答案見第39頁）

（作者單位：沈陽市渾南區第一初級中學）