例談“三線合一”的應用

“三線合一”是等腰三角形所特有的性質，在幾何中有著廣泛的運用.下面結合例題具體介紹.

一、求角度

例1 如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC = 130°，那么∠CAB的大小是（ ）.

A. 80° B. 50°

C. 40° D. 20°

思路分析：因為AB = AC，AD是∠BAC的平分線，根據等腰三角形“三線合一”的性質，得AD也是BC上的高.延長AD交BC于點E，因為∠ADC = 130°，所以∠EDC = 50°，則∠DCE = 40°，又因為CD是∠ACB的平分線，所以∠ACE = 80°，∠EAC = 10°，從而可得∠CAB = 20°，故選D.

方法小結：當題目中明確給出等腰三角形以及底邊上的中線、高、角平分線中的一條時，直接運用“三線合一”的性質得出另外兩條線的身份，再結合等腰三角形的其他性質（如兩底角相等）以及三角形的基本性質（如內角和為180°）求解.

二、求線段關系

例2 在△ABC中，AB = AC，D，E在BC上，AD = AE，求證：BD = CE.

思路分析：如圖2，在△ABC中，AB = AC；在△ADE中，AD = AE. 由此聯想到等腰三角形的“三線合一”，過點A作出這兩個等腰三角形的高（或頂角的平分線、底邊上的中線），則問題迎刃而解.

如圖2，過點A作AF ⊥ BC于F.

在△ABC中，∵AB = AC，∴BF = CF.

在△ADE中，∵AD = AE，∴DF = EF.

∴BF - DF = CF - EF，即BD = CE.

方法小結：如果題目中直接給出等腰三角形，可構造等腰三角形底邊上的中線（或底邊上的高、頂角的平分線），利用“三線合一”的性質及等腰三角形的性質解決問題.

例3 如圖3，在△ABC中，AD ⊥ BC于D，且∠ABC = 2∠C.試說明：CD = AB + BD.

思路分析：證明線段和差的常用思路是“截長補短”，因而本題有兩種方法.

方法一：以A為圓心、AB長為半徑畫弧，交CD于點E，連接AE，只要證明DE = DB，CE = AE即可.

方法二：以A為圓心、AC長為半徑畫弧，交DB的延長線于點E，連接AE，只要證明DE = DC，BE = AB即可.

以方法一為例：如圖3，以A為圓心、AB長為半徑畫弧，交CD于點E，連接AE，則∠AEB = ∠ABC.

∵AE = AB，AD ⊥ BC，∴AD是BE的中線，即DE = BD.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AEB = 2∠C.

∵∠AEB = ∠CAE + ∠C，∴∠CAE = ∠C，

∴CE = AE = AB，∴CD = AB + BD.

方法小結：當題目中給出的條件看似與等腰三角形“三線合一”性質不直接相關時，可以對條件進行變形，從而使用“三線合一”的性質.一般方法是根據已知條件（如角平分線），在合適的線段上截取一段等于已知線段，構造全等三角形得到等腰三角形，然后運用等腰三角形的性質進行進一步的推理和計算.

拓展延伸

例4 只借助一把尺子，可以將一個直角三等分.操作過程如下：第一步，先把矩形紙對折，設折痕為MN（如圖4）；第二步，再把B點疊在折痕MN上，折痕為AE，點B在MN上對應點為H，得Rt△AHE；第三步，延長EH交AD于點F，且EH = HF（如圖5）.此時AE，AH就是直角∠BAD的三等分線.請你說明理由.

思路分析：由折疊過程知，Rt△AHE和Rt△ABE是軸對稱圖形，所以∠BAE = ∠EAH.而AH ⊥ EF，且EH = HF，所以AH是線段EF的垂直平分線，所以AE = AF，所以△AEF是等腰三角形，而等腰三角形底邊上的中線、高線和頂角平分線“三線合一”，所以AH平分∠EAF，故可得到∠BAE = ∠EAH = ∠HAF.

方法小結：在實際應用中，要仔細審題，判斷題目是否涉及等腰三角形或者是否可以通過某種方式構造出等腰三角形.若題中直接給出等腰三角形，則要關注給出的是底邊上的中線、高還是頂角平分線，確定可以直接運用“三線合一”的哪些結論；若沒有直接給出等腰三角形，則要考慮利用已知條件（如2倍角等）構造等腰三角形，再運用“三線合一”的性質.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：6分鐘

1 如圖6，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，點M為BC中點，MN ⊥ AC于點N，則MN = .

2. 在△ABC中，AB = AC，O是△ABC內的一點，且OB = OC．試說明：AO ⊥ BC．

難度系數：★★★★ 解題時間：4分鐘

3. 在△ABC中，已知∠B = 2∠A，AB = 2CB.試說明：△ABC是直角三角形．

（答案見本頁）

（作者單位：江蘇省泰州市孔橋初級中學）

第33頁：1. [--x]

2. 2025

3. x + 6

4. 3.提示：[30-x+9-x] × [30-x-9-x] = [30-x2] - [9-x2] = 21.

5. 原式 = [x+yxy=4].

第39頁：1. 4.8

2. 提示：證明△ABO ≌ △ACO（SSS），得到 ∠BAD = ∠CAD，進而得到AO [⊥] BC.

3. 提示：作 ∠B的平分線BD，取AB的中點E，連接DE，證明△DEB ≌" " " " "△DCB，結合三角形內角和定理即可證明.

第41頁：1.（1）焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發電300千瓦時，B焚燒爐發電250千瓦時；

（2）a的最小值為11．

2.（1）線下銷售y與x之間的函數解析式為y = 4x，線上銷售y與x之間的函數解析式為y = [4.5x（0≤x≤6） ，3x+9（xgt;6）.]

（2）當購買9千克產品時，線上線下都花費36元；

（3）線上購買更省錢．